上海市虹口区复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年上海市虹口区复兴中学高一（上）月考数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.已知全集，集合，，则如图阴影部分表示的集合是(    ) A. B. C. D. 3.方程在区间和各有一个根的充要条件是(    ) A. B. C. D. 4.已知a，b，R，若关于x的不等式的解集为，则  (    ) A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 二、填空题：本题共10小题，共42分。 5.已知集合，，则______. 6.已知集合，，且，则m的值为__________. 7.若，则实数______. 8.命题“a，b是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设______. 9.若集合的子集只有两个，则实数______. 10.设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是______. 11.设、是方程的两个实数根，则______. 12.设关于x的方程集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则______. 13.集合…，，任取，，，，这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为______. 14.设，，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______. 三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题8分 已知集合，集合 若，求； 若，求实数a的取值范围. 16.本小题8分 当时，求证：； 已知，，，试证明a，b，c至少有一个不小于 17.本小题13分 已知关于x的不等式的解集为 若，求x的取值范围； 若，求实数k的取值范围； 是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 18.本小题13分 记，，存在正整数n，且若集合满足，则称集合A为“谐调集”. 分别判断集合、集合是否为“谐调集”； 已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； 若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 利用不等式的基本性质即可判断出正误． 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【解答】 解：，， ，，，a与的大小关系不确定． 则下列不等式成立的是 故选： 2.【答案】C  【解析】解：，， 由题意可知阴影部分对应的集合为， ，， 即或， 或， 故选： 根据阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：令，则解得， 所以方程在区间和各有一个根的充要条件是 故选： 根据一元二次方程根的分布与系数的关系，结合二次函数的图像，求出a的取值范围即可． 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题． 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的求解，属中档题. 【解答】 解：根据题意得， 于是不等式化为： 因为解集为， 所以，是方程的两个不同的根， 且，是方程的两个不同的根， 根据韦达定理得 ， 所以， 于是只要的所有就可以了. 5.【答案】或  【解析】解：， 又集合， 或 故答案为：或 先求出集合A，再利用补集的运算求解即可． 本题主要考查了补集的运算，属于基础题． 6.【答案】0  【解析】【分析】 本题考查实数m的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用． 由，，且，知，由此能求出实数m的值，不满足集合中元素的互异性，舍去． 【解答】 解：，，且， ， 解得，或 不满足集合中元素的互异性，舍去． 符合题意． 故答案是： 7.【答案】  【解析】解：当时，，不满足元素的互异性，舍去， 当时，解得或4， 显然时，不符合题意， 所以 故答案为： 根据元素与集合的关系求解． 本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 8.【答案】a，b不都等于1  【解析】解：由题意，即考虑的否定，由于a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1， 故答案为：a，b不都等于 根据题意，即考虑的否定，由于不是a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1 本题主要考查反证法．考查命题的否定方法，应注意a，b都等于1，的否定为a，b不都等于1，这是容易错的地方． 9.【答案】0或  【解析】解：的子集只有两个， 有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或 故答案为：0或 根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 本题考查了子集的定义，一元二次方程有一个解的充要条件，是基础题． 10.【答案】  【解析】解：根据题意，若，则， 则有，解可得， 即a的取值范围为 故答案为： 根据题意，分析可得，由此可得关于a的不等式，解可得答案． 本题考查充分必要条件与集合的关系，涉及集合之间的关系，属于基础题． 11.【答案】2024  【解析】解：、是方程的两个实数根， 则，， 故 故答案为： 根据已知条件，结合韦达定理，即可求解． 本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：不等式的解集为或， 所以有， 所以或， 故， 所以或， 故 故答案为： 利用一元二次不等式的解法求出集合N，再利用集合相等的定义，将方程转化为，即可求出ab的值． 本题考查了一元二次不等式的解法、含有绝对值的方程的根的求解，涉及了集合相等的概念的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力． 13.【答案】7  【解析】解：不妨设…，若集合A中的正数个数大于等于4， 由于和均大于，于是有， 从而，矛盾，所以集合A中至多有3个正数， 同理可知集合A中最多有3个负数， 取，满足题意， 所以n的最大值为7， 故答案为： 不妨设…，若集合A中的正数个数大于等于4，然后推出矛盾，所以集合A中至多有3个正数，同理可知集合A中最多有3个负数，然后取，满足题意，即可求解． 本题考查了元素与集合的关系，涉及到反证法的应用，考查了学生的理解能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：， ， 若有解， 则， 又， ； 的解为， ， ， 关于x的不等式组有解， ， 即， 令， 则 ， 故在上单调递增； 时，m的值存在且唯一； ， 即； 故答案为： 由不等式有解知，且解为，由不等式组有解知，化简为，构造函数，求导判断函数的单调性，根据单调性及题意可得到不等式，从而解a的取值范围． 本题以不等式是否有解为载体，考查了复合函数的单调性的判断及函数思想，转化思想的应用，属于中档题． 15.【答案】解：若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数a的取值范围是  【解析】当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解； 即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解． 本题考查集合的基本运算，属中档题． 16.【答案】证明： ， ，，  ; 假设a，b，c都小于1，即，，， 则有① 而② ①与②矛盾， 故a，b，c至少有一个不小于  【解析】本题考查反证法的运用，属于基础题.注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定． 根据作差法即可证明; 根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立． 17.【答案】解：当时，不等式为，即，解得， 所以x的取值范围是 当时，解得，或， ①当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为R； ②当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立； ③当时，解得， 所以k的取值范围是； 综上所述，实数k的取值范围是 根据题意，得出解集， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件k的值为  【解析】直接求解不等式，即可得到结果． 讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围． 根据题意得出解集M，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 18.【答案】解：因为，所以E不是“谐调集”， 因为，所以F是“谐调集”； 若存在符合题意的实数z，则， 所以，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意； 当时，，， 由此，x、y是方程的实数解． 但，方程无实数解，所以不符合题意； 当时，同理，可得不符合题意， 综上，不存在符合题意的实数z； 不妨设A中所有元素满足， 则， 于是，， 即， 当时，则，，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”， 当时，则，，，，， 当时，，，⋯，均为正整数，，，⋯， ， 又，，即， 但当时，，矛盾． 所以不存在符合题意的“谐调集” 综上，符合题意的“谐调集”为  【解析】根据新定义计算即可判断； 若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解z后，检验x，y，进而可判断； 不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分、、三种情况求解即可． 本题是新定义的题目，按照定义推理即可，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$