第一章 直线与圆 单元测试-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 单元测试 一、单选题 1．在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 4．已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 6．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 7．已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆C始终有两个交点 B．圆C与轴不相切 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为 8．已知圆：，圆：，为圆的动弦，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为1 B．当圆和圆存在公共点时，则实数a的取值范围为 C．存在实数使得两个圆内含 D．若原点始终在动弦上，则 三、填空题 9．已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 . 10．（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． （2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为 ． 11．当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为 . 12．经过点且与直线垂直的直线方程是 ．（用一般式表示） 四、解答题 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率. 14．已知圆，直线. (1)求证：对，直线与圆总有两个不同交点； (2)若圆与直线相交于两点，求弦的中点的轨迹方程． 15．若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离． 若直线是如下几种特殊直线，请直接写出点到直线的距离. （1）点到轴的距离______; （2）点到轴的距离______ （3）点)到直线的距离______； （4）点到直线的距离______ 16．已知点，直线. (1)求经过点P且与直线l平行的直线的方程； (2)求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 参考答案 1．B 【分析】根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，直线的方程为，即， 又由，可化为， 可得圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 2．B 【分析】先根据直线和圆相交求出的范围，再根据充分性和必要性的概念得答案. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为， 直线与圆有两个不同交点， 即直线与圆相交， 则，解得 根据充分性和必要性的概念，直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是 故选：B. 3．D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为判断C，由题知A，B在以为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB的方程判断D. 【详解】由圆C：，则圆心，半径， ∴圆心到直线l：的距离为，而，故A错误； 由圆的性质，切线长， ∴当最小时，有最小值，又，则，故B错误； ∵四边形AMBP面积为， ∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误； 设，由题知A，B在以为直径的圆上，又， ∴，即， 又圆C：，即， ∴直线AB的方程为：，即， 由，得，即直线AB恒过定点，故D正确. 故选：D. 4．B 【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可 【详解】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动，   在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 5．D 【分析】由题可得直线恒过定点，然后结合斜率公式逐项分析即得. 【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误； 当时，直线，斜率，故选项B错误； 当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C错误； 当时，直线，斜率，， 故，故直线l与直线垂直，选项D正确. 故选：D. 6．B 【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得. 故选:B. 7．BD 【分析】求出圆C的圆心坐标和半径，求出直线过的定点判断A；求出点C到x轴距离判断B；求出m值，再计算斜率判断C；求出长并求出范围判断D作答. 【详解】依题意，圆C：，圆心，半径， 对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，A不正确； 对于B，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，B正确； 对于C，点在圆C上，则，解得，而点， 则直线PQ的斜率为，C不正确； 对于D，，点Q在圆C外，由得：，D正确. 故选：BD 8．AD 【分析】根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值，判断出A的真假；根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围，判断出BC的真假；分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解，判断出D的真假． 【详解】对于A，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，所以A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为,，所以B错误； 对于C，当圆和圆内含时，， 即得，显然不成立， 故不存在实数a使得两个圆内含，C错误， 对于D，当弦垂直轴时，，，所以， 当弦不垂直轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设,，,，则，， 综上，恒为定值，所以D正确. 故选：AD． 9． 【分析】，则，可看成点到两定点，的距离和，而两点在轴的两侧，所以连线与轴的交点就是所求点. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， 所以， 取， 则， 当三点共线时取等号， 此时直线： 令，则，， 故答案为：    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点到两定点，的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 10． 或 【分析】（1）根据直线l过点，分若直线l经过原点和不经过原点求解； （2）设直线的方程为，将点代入和在两坐标轴上的截距和为4求解. 【详解】解：（1）若直线l经过原点，则其斜率为，故其方程为，即； 若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则， 解得，故直线l方程为，整理可得； 综上所述，满足题意的直线方程为或. （2）设所求直线的方程为，由题意得，解得， 所以直线方程为，即. 故答案为：或; 11． 【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m的值. 【详解】由已知可将直线的方程化为， 解可得，所以直线过定点. 又由圆的方程可得圆心，半径， 则，所以点在圆内. 当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短. 因为，所以直线的斜率为，即，所以. 故答案为：. 12． 【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 于是，解得， 所以所求的直线方程为. 故答案为： 13．(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标，相切转化为斜率关系即可求解； （2）直线与圆相切转化为圆心到直线的距离即可求解. 【详解】（1）由题意，圆心在直线上，可设圆心坐标为， 圆与直线相切，圆过点且在直线，. ，解得， 所以圆心坐标，半径， 所以圆的方程为 （2）由题，设切线方程是，即， 由于直线与圆相切，故，解得    14．(1)证明见解析； (2)，除去点. 【分析】（1）直线恒过定点，求出点到圆心的距离，并与圆的半径比较大小，即可得解； （2）设中点的坐标为，在中，利用勾股定理可求得，再由直线的斜率存在，可排除圆心，从而得解． 【详解】（1）直线经过定点， 点到圆心的距离等于1小于圆的半径， 故定点在圆的内部，故直线与圆总有两个不同交点； （2）设中点的坐标为，则由直线和圆相交的性质可得. 由于定点､圆心､点构成直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴，即， 由于直线的斜率一定存在，故排除圆上的点. 此圆在圆的内部， 故点的轨迹方程为：，除去点. 15．答案见解析 【详解】（1）点到x轴的距离； （2）点到y轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． 16．(1) (2) 【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用点坐标求得正确答案. （2）利用点斜式求得所求直线的方程. 【详解】（1）设经过点P且与直线l平行的直线的方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为 （2）直线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为， 所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$