24.1.2垂直于弦的直径 课件2024－2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 垂直于弦的直径 1 它的跨度为37m, 拱高为7.23m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗(结果保留 小数点后一位) A B 赵州桥的主桥拱是圆弧形, 提出问题 3 它的跨度为37m, 拱高为7.23m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗(结果保留 小数点后一位) 37m 7.23m A B 弧所对的弦的长度 弧的中点到它所对弦的距离 赵州桥的主桥拱是圆弧形, D C 提出问题 4 唤醒旧知 对称性 有关定义 有关性质 圆的定义 圆的相关定义 动态、 弦 r A O B 集合 弧、 圆 探究归纳 探究:请大家拿出圆形纸片(圆指圆周非 圆面)沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么? 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 两条不重合的对称轴的交点就是圆心. 猜想: 6 结论:它是轴对称图形. 题设:有一个图形是圆. O A D C . 命题:圆是轴对称图形. 已知:如图, 求证:点A关于直线CD的对称点也在圆上. 在⊙O中,CD是直径,点A为圆上异于C,D的任意一点. 探究归纳 思路1:作点A关于直线CD的对称点B, 证点B在⊙O上. 思路2:过点A作CD的垂线交⊙O于点B, 证点A与点B关于直线CD对称. (文字语言) 找出题设与结论 (图形语言) 画出图形 (符号语言) 写出已知和求证 逻辑 推理 7 O A D M C B 证明: 过点A作AM⊥CD于点M,并延长AM至点B,使AM=BM, 连接OA,OB ∴CD是AB的垂直平分线 . . ∵CD⊥AB , AM=BM ∴点B也在⊙O上 即点A关于直线CD的对称点也在圆上. 即点A关于直线CD的对称点为点B. ∴ OA=OB ∵点A在⊙O上 探究归纳 命题:圆是轴对称图形. 已知:如图, 求证:点A关于直线CD的对称点也在圆上. 在⊙O中,CD是直径,点A为圆上异于C,D的任意一点. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 8 A B . . D M C 证明: 过点A作AM⊥CD于点M,并延长AM至点B,使AM=BM, ∴CD是AB的垂直平分线 ∵CD⊥AB , AM=BM ∴点B也在⊙O上 即点A关于直线CD的对称点也在圆上. 即点A关于直线CD的对称点为点B. ∴ OA=OB ∵点A在⊙O上 已知:如图, 求证:点A关于直线CD的对称点也在圆上. 在⊙O中,CD是直径,点A为圆上异于C,D的任意一点. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 确定圆的对称轴的方法: 作圆中已知弦的垂直平分线 (以弦定轴) 探究归纳 结论:它是轴对称图形. 题设:有一个图形是圆. O A D C . 命题:圆是轴对称图形. 已知:如图, 求证:点A关于直线CD的对称点也在圆上. 在⊙O中,CD是直径,点A为圆上异于C,D的任意一点. 探究归纳 思路2:过点A作CD的垂线交⊙O于点B, 证点A与点B关于直线CD对称. (文字语言) 找出题设与结论 (图形语言) 画出图形 (符号语言) 写出已知和求证 逻辑 推理 10 AC=BC,AD=BD O A D M C B 证明: 过点A作AM⊥CD于点M,并延长AM交⊙O于点B, 连接OA,OB ∴ . . ∵OA=OB ,CD⊥AB , AM=BM ∴点A与点B关于直线CD对称 即点A关于直线CD的对称点也在圆上. ∴ CD垂直平分AB 探究归纳 命题:圆是轴对称图形. 已知:如图, 求证:点A关于直线CD的对称点也在圆上. 在⊙O中,CD是直径,点A为圆上异于C,D的任意一点. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 圆的轴对称性 11 符号语言: ∵CD为⊙O的直径,CD⊥弦AB于点M ∴AM=BM, AC=BC,AD=BD B 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. O A D M C (一条直线过圆心,垂直于弦) 归纳总结 12 B 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. O A D M C 归纳总结 总结:圆心到弦的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形 弦心距 弦心距2+半弦2=半径2 半弦 圆中相关元素 等腰三角形 直角三角形 转化思想 知二推一 13 解决问题 37 7.23 A B O D C 18.5 R R-7.23 你能求出赵州桥主桥拱的半径(结果保留 小数点后一位) 赵州桥的主桥拱是圆弧形, 它的跨度为37m, 拱高为7.23m, 弧所对的弦的长度 弧的中点到它所对弦的距离 7.23 14 A B C D O R R-7.23 18.5 37 解决问题 解:如图,用 表示主桥拱, 所在圆的圆心为O, 设半径为R.过点O作OC⊥AB于点D,交 于点C. 在Rt OAD中,由勾股定理,得 即 R2=18.52+(R-7.23)2 OA2=AD2+OD2 ∵OC⊥AB,AB=37 解得: R≈27.3(m) 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. ∴CD=7.23, OD=OC-CD=R-7.23 常见辅助线:1、过圆心作弦的垂线 2、连半径 15 A B C D O 归纳总结 E D O A B r d h r d h 知二推二 具体化 收获感悟 圆 1、研究内容: 基本图形 常见辅助线: 2、数学思想与方法: 定义 应用 轴对称性 性质 垂径定理 数学思想:转化、建模 以弦定轴 垂径定理常与勾股定理相结合 布置作业 1、基础性作业:课本83页练习1,2题。 2、探究性作业: 如果把垂径定理中的垂直于弦与结论中的平分弦或者平分弦所对的弧位置互换,可以得到两个新命题。这两个新命题是真命题吗? 命题1:如果圆的直径平分弦,那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧。 命题2:如果圆的直径平分弧,那么这条直径垂直平分这条弧所对的弦。 分层作业 Lavf57.56.101 $$