江苏省南通市崇川区2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题

第 1 页 共 6 页 2023-2024 学年（上）高一期中质量监测 一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有项是符合题目要求的。 1.满足   6,4,22  A 的集合 A的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.命题“ 01, 2  xxRx ”的否定为 A. 01, 2  xxRx B. 01, 2  xxRx C. 01, 2  xxRx D. 01, 2  xxRx 3.已知幂函数 )(xf 的图象如右图所示，则 )(xf 的解析式可能为 A. 2 1 )( xxf  B. 3 2 )(   xxf C. 3 2 )( xxf  D. 3 4 )( xxf  4.若 0 ba ，则 A. b a a b  B. 10  b a C. ab ba  D. baba  5.设函数 1)( 3  bxaxxf ，若 5)3( f ，则  )3(f A.-5 B.-3 C .3 D.5 6.设函数 )( 3 1)( xaxxf  ）（ 在区间 ），（ 02 上单调递增，则 a的取值范围是 A.  4 ， B.  0， C.  ，0 D.   ，4 7.已知函数 )(xf 是定义在 R上的奇函数，若 )(xf 在区间(0,+∞)上单调递增，且 0)2( f ，则满足 0)( xxf 的 x的取值范围是 A. )2,0()2,(  B. )2()2,(  ， C. ），（），（ 2002  D. ），（），（  202  第 2 页 共 6 页 8.火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工 具.1903 年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式: M Muv 0ln .u表 示气体相对于火箭的喷射速度， 0M 表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质 量)，M 表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的 喷射速度约为 4 skm / .理想情况下，对于初始质量为 24 吨的单级火箭，速度要 达到 11.2 skm / ，则需装载的推进剂的吨数约为 (参考数据 7.02ln  ， 1.13ln  ) A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 二、多选题:本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.下列不等关系正确的是 A. 33 9.01.1  B. 9.01.1 33  C. 9.0log1.1log 3 1 3 1  D. 3 1.1 9.03log  10.已知函数 xxxf 4)( 2  ，则 A. )(xf 为偶函数 B. )(xf 恰有 4个单调区间 C. )(xf 的最小值为-2 D. )(xf 的图象与 x轴有 4个公共点 11.下列说法正确的是 A.方程 )2(log)12(log 222  xx 的解集为 31， B.不等式 0824 1  xx 的解集为 ），（ 2 C.已知正数 yx, 满足 1 yx ，则 yx 41  的最小值为 9 D. 3 1ln 4ln 2 2    x x 第 3 页 共 6 页 12.存在函数 )(xf 满足:对任意 Rx 都有 A. xxf )( 2 B. 2)4( 2  xxxf C. 1)22( 2   xf xx D. xf xx   )22( 三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数 3,log 3,4 )( 2 1 {     xx x xf x ,则 ))4(( ff . 14.已知函数 )(xf 是偶函数，当 0x 时， )1()(  xxxf ，则当 0x 时， )(xf . 15.已知函数 3212)(  xxxf ,  mx ,0 的值域为  42， ，则 m 的取值范围 是 . 16.写出一个同时具有下列性质①②的函数 )(xf : . ① 0))()()((  yfxfyx ;② )()(2)( yfxfyxf  四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17.(10分) 记函数 )32(log)( 22  xxxf 的定义域为集合 A，函数 12)(  xxg 的值域为集 合 B . (1)求 )( BCA R (2)设集合 }1|{  mxmxC ，若“ Cx ”是“ BAx  ”的充分且不必要条 件,求m的取值范围. 第 4 页 共 6 页 18.(12分) (1)计算 03 2 5.0 ) 27 102() 4 12(   ; (2)计算 01.0lg50lg2lg)5(lg 2  ; (3)已知 322 1 2 1   aa ，求子 2 1 2 1 1     aa aa 的值. 19.(12 分) 如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ABCD，其中 BCAD // ， 90A ， 2 ADAB 百米， 1BC 百米.规划修建两条直道 FECF , 将广场分割为 3 个区 域: 、 为绿化区域(图中阴影部分)，面积分别记为 21 SS、 : 为休闲区域，面 积记为 3S .其中，区域 是以CD为底的梯形，点 FE, 分别在 ABAD, 上.(道路 宽度忽略不计) (1)试确定道路修建方案，使得 21 2SS  ; (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能 比的最大值. 第 5 页 共 6 页 20.(12分) 已知函数 2)12()( 2  xaaxxf (1)解关于 x的不等式 0)( xf ; (2)当 ax  时， 0)( xf 恒成立，求 a的取值范围. 21.(12分) 设 a为实数，已知函数 12 1)(   xaxf 是奇函数. (1)求 a的值; (2)判断并证明 )(xf 的单调性; (3)若关于 x的方程 0)2()( 2  mmxfxf 在 ），（ 1 上有解，求m的取值范 围. 第 6 页 共 6 页 22.(12分) 已知函数 )5(log)( xxf a  ， )5(log)( xxg a  ，其中 1a . (1)当 5a 时，求函数 )()()( xgxfxh  的定义域与值域: (2)设集合 )}(2)(|{ xgaxfxM  ，证明: M ; (3)已知矩形 ABCD的顶点 CA, 在 )(xfy  的图象上，顶点 DB, 在 )(xgy  的图象 上 xAB // 轴，若 tAD  ，且该矩形的中心为点 ),( tsP ，求 ts aa  的值. 第 1 页 共 16 页 2023-2024 学年（上）高一期中质量监测 一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有项是符合题目要求的。 1.满足   6,4,22  A 的集合 A的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：用列举法可得：集合 A可以为 }6,4,2{},6,2{},42{}2{ ，， ，共 4个。 2.命题“ 01, 2  xxRx ”的否定为 A. 01, 2  xxRx B. 01, 2  xxRx C. 01, 2  xxRx D. 01, 2  xxRx 答案：B 解析：任意量词命题的否定：条件不变，任意“”改为存在“”，结论否定。 3.已知幂函数 )(xf 的图象如右图所示，则 )(xf 的解析式可能为 A. 2 1 )( xxf  B. 3 2 )(   xxf C. 3 2 )( xxf  D. 3 4 )( xxf  答案：C 解析：由图可知：幂函数图像关于 y轴对称，幂函数为偶函数，选项 A 的定义 域为  ,0 ，为既不奇也不偶函数，排除 A；图像中函数在 0x 时， 0)0( f ， 排除 B，选项 B定义域为     ，， 00  ；在第一象限中，幂函数图像的增长速 度平缓，可判断幂函数  xxf )( 中 10  ，选择 C. 4.若 0 ba ，则 A. b a a b  B. 10  b a C. ab ba  D. baba  答案：D 解析：选项 A 两边同乘 ab，可化简为 22 ab  ，当 0 ba 时，可得 22 ba  ，A 错误； 第 2 页 共 16 页 选项 B两边同乘b，可化简为 ba 0 ，B错误； 选项 C两边同时取对数可得： ab ba lnln  ，化简得 baab lnln  ，两边同除 ab， 可得 b b a a lnln  ，由题意无法判断对错，C错误； 另法：取特殊值，可以取 3,4  ba ， 813,644 43  ab ba ，C错误； 选项 D 中，左边可化简为 aba 2 ，即为 ba  ，成立，右边可化简为 2bab  ， ba  ，成立，D选项正确. 5.设函数 1)( 3  bxaxxf ，若 5)3( f ，则  )3(f A.-5 B.-3 C .3 D.5 答案：B 解析：整体思想： 5)3( f 代入解析式可得， 51327  ba ， 则 3252)1327(1327)3(  babaf ，选择 B. 6.设函数 )( 3 1)( xaxxf  ）（ 在区间 ），（ 02 上单调递增，则 a的取值范围是 A.  4 ， B.  0， C.  ，0 D.   ，4 答案：A 解析：函数 )( 3 1)( xaxxf  ）（ 分为外函数： ttf 3)(  ，内函数： )( xaxt  ； 根据复合函数同增异减法则， )( 3 1)( xaxxf  ）（ 在区间 ），（ 02 上单调递增，且外函 数单调递减，则内函数 )( xaxt  在 ），（ 02 也单调递减； )( xaxt  为二次函数，开口向下，对称轴为 2 ax  ，所以 2 2  a ，所以 4a ， 选择 A. 7.已知函数 )(xf 是定义在 R上的奇函数，若 )(xf 在区间(0,+∞)上单调递增，且 0)2( f ，则满足 0)( xxf 的 x的取值范围是 A. )2,0()2,(  B. )2()2,(  ， C. ），（），（ 2002  D. ），（），（  202  第 3 页 共 16 页 答案：C 解析：∵ )(xf 为奇函数∴ 0)2()2(  ff 且函数 )(xf 在 y轴两侧单调性相反 ∵ )(xf 在区间(0,+∞)上单调递增 ∴ )(xf 在区间(-∞，0)上单调递减 ∴则对于 0)( xxf 求解集，使用分类讨论思想： ∴（1）当 0)(,0  xfx ，∵ 0)2( f 且 )(xf 在区间(0,+∞)上单调递增 ∴ 20  x ∴（2）当 0)(,0  xfx ，∵ 0)2( f 且 )(xf 在区间(-∞，0)上单调递减 ∴ 02  x 综上所述： ），（），（ 2002 x ，选择 C. 8.火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工 具.1903 年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式: M Muv 0ln .u表 示气体相对于火箭的喷射速度， 0M 表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质 量)，M 表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的 喷射速度约为 4 skm / .理想情况下，对于初始质量为 24 吨的单级火箭，速度要 达到 11.2 skm / ，则需装载的推进剂的吨数约为 (参考数据 7.02ln  ， 1.13ln  ) A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 答案：C 解析：由题意可得 240 M 4u ， 2.11v ∴代入题目公式，可得： M 24ln42.11  ，∴ Mln24ln8.2  ∴ 8.224lnln M ，∵ 2.33ln2ln3)38ln(24ln  ， ∴代入值可得： 4.08.22.3ln M ，∴ 4.0eM  ∴需装载的推进剂的吨数约为 4.0 0 24 eMM  ∵ 6.17.25.04.0  eee ∴ 4.226.12424 4.00  eMM 第 4 页 共 16 页 ∵ 4.17.2333 1 4.0  eee ∴ 6.224.12424 4.00  eMM ∴结合选项，选择 C. 二、多选题:本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.下列不等关系正确的是 A. 33 9.01.1  B. 9.01.1 33  C. 9.0log1.1log 3 1 3 1  D. 3 1.1 9.03log  答案：ABD 解析：选项 A: 3xy  为单调递增函数， 9.01.1  ，所以 33 9.01.1  ，A正确； 选项 B： xy 3 为单调递增函数， 9.01.1  ，所以 9.01.1 33  ，B正确； 选项 C： xy 3 1log 为单调递减函数， 9.01.1  ，所以 9.0log1.1log 3 1 3 1  ，C错误； 选项 D： 11.1log3log 1.11.1  ， 119.0 33  ，所以 31.1 9.03log  ，D正确. 10.已知函数 xxxf 4)( 2  ，则 A. )(xf 为偶函数 B. )(xf 恰有 4个单调区间 C. )(xf 的最小值为-2 D. )(xf 的图象与 x轴有 4个公共点 答案：AB 解析： xxxf 4)( 2  ， )(4)()( 2 xfxxxf  ， )(xf 为偶函数，A 正确； ∵ )(xf 中含有绝对值，分类讨论去绝对值，得分段函数：       0,4 0,4 )( 2 2 xxx xxx xf 画出对应图像： 第 5 页 共 16 页 由图可知： )(xf 恰有 4个单调区间∴B正确； 由图可知： )(xf 分别在 2,2  xx 时取得最小值-4∴C错误； 由图可知： )(xf 的图象与 x轴有 3个公共点，∴D错误； 11.下列说法正确的是 A.方程 )2(log)12(log 222  xx 的解集为 31， B.不等式 0824 1  xx 的解集为 ），（ 2 C.已知正数 yx, 满足 1 yx ，则 yx 41  的最小值为 9 D. 3 1ln 4ln 2 2    x x 答案：BC 解析：选项 A：∵ )2(log)12(log 222  xx ∴ 212 2  xx 且 012 x （真数大于 0）∴ 3x ，A错误； 选项 B： 0824 1  xx ，换元，设 xt 2 ∴ 082 2  tt ∴ 42  t ∵ xt 2 ∴ 422  x ，∴ 2x ∴解集为 ），（ 2 ∴B正确； 选项 C： 9425441)(4114141  y x x y y x x yyx yxyxyx ）（）（ 第 6 页 共 16 页 当且仅当 3 22  yx 时取“=”，所以 C正确； 选项 D: 1 1ln 41ln 1ln 4ln 2 2 2 2      x x x x ∵ Rx 1ln 2 ∴ 31 1ln 41ln 1ln 4ln 2 2 2 2      x x x x , 21ln 2 x 时取“=”， 或者 51 1ln 41ln 1ln 4ln 2 2 2 2      x x x x ， 21ln 2 x 时取“=”， ∴D错误. 12.存在函数 )(xf 满足:对任意 Rx 都有 A. xxf )( 2 B. 2)4( 2  xxxf C. 1)22( 2   xf xx D. xf xx   )22( 答案：BC 解析：选项 A：设 2xt  ，∴ tx  ， ttf )( ，则取 1t , 11)1( f , 一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义∴A错误； 选项 B：设 222 )2(444,4  xxxtxxt ∴ tx  2 ∴ tttf )( ，符合函数定义∴B正确； 选项 C： xxt  22 ，由复合函数可知;外函数： m mt 1 ，内函数: xm 2 ∵ xm 2 为单调函数，一个 x对应一个m 又∵ ）（ 01  m m mt （飘带函数）为单调函数，一个m对应一个 t ∴ x与 t一一对应，符合函数定义∴C正确； 选项 D：设 4 922  xx ∴ 2x ∴ 2)4 9( f ,一个自变量对应两个函数值，不符 合函数定义∴D错误. 三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数        3,log 3,4 )( 2 1 xx x xf x ,则 ))4(( ff . 答案： 4 1 第 7 页 共 16 页 解析：∵ 24log)4( 2 f ∴ 4 14)2())4(( 21  fff 14.已知函数 )(xf 是偶函数，当 0x 时， )1()(  xxxf ，则当 0x 时， )(xf . 答案： xxxf  2)( 解析：∵函数 )(xf 是偶函数，∴ )()( xfxf  ，当 0x 时 )()( xfxf  ∵ 0x ∴ 0 x ∵当 0x 时， )1()(  xxxf ∴ xxxxxf  2)1)(()( 15.已知函数 3212)(  xxxf ,  mx ,0 的值域为  42， ，则 m 的取值范围 是 . 答案：     2 2 1 ， 解析： 3212)(  xxxf ，函数中含有绝对值，去绝对值，可得分段函数             2 1,44 2 3 2 1,2 2 3,44 )( xx x xx xf ，画出对应函数图像： ∵  mx ,0 由图可知在 0x ， 4)( max xf ∵  mx ,0 的值域为  42，，所以m的值能使得 )(xf 取得 2)( min xf ； 由图可知：     2 2 1 ，m 第 8 页 共 16 页 16.写出一个同时具有下列性质①②的函数 )(xf : . ① 0))()()((  yfxfyx ;② )()(2)( yfxfyxf  答案： 12)(  xxf （答案不唯一，形如 1, 2 1)(  aaxf x ） 解析：由性质① 0))()()((  yfxfyx ，可得 )(xf 单调递增函数； 由性质② )()(2)( yfxfyxf  ，可联想到指数运算性： nmnm aaa  ，自变量相 加时对应函数值相乘，可以设 xaxf )( ，代入性质②可得： yxyx aaa   2 ， ∴ 22  ∴ 2 1,0   ∵ )(xf 单调递增函数 ∴ 2 1  ∴ 1, 2 1)(  aaxf x 的形式均可. 四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17.(10分) 记函数 )32(log)( 22  xxxf 的定义域为集合 A，函数 12)(  xxg 的值域为集 合 B . (1)求 )( BCA R (2)设集合 }1|{  mxmxC ，若“ Cx ”是“ BAx  ”的充分且不必要条 件,求m的取值范围. 解析：（1）由 0322  xx ，得 0)3)(1(  xx ∴ ),3()1,(  x ∴ A ),3()1,(   又∵ 12)(  xxg ， 02 x , 112 x ∴ ），（  1B ∴  1,BCR ∴  1)(  ，BCA R （2）由于（1）可得     ，， 11  BA ∵“ Cx ”是“ BAx  ”的充分且不必要条件 ∴ )( BAC    ，∴ 11 m 或 1m 第 9 页 共 16 页 所以m的取值范围为    ，12,(  . 18.(12分) (1)计算 03 2 5.0 ) 27 102() 4 12(   ; (2)计算 01.0lg50lg2lg)5(lg 2  ; (3)已知 322 1 2 1   aa ，求子 2 1 2 1 1     aa aa 的值. 解析： （1） 16 11 16 9 2 31 )) 3 4(( 1 4 91 ) 27 64( 1) 4 9() 27 102() 4 12( 3 2 33 2 2 1 03 2 5.0    （2）∵ 5lg15lg2lg5lg2lg5lg2)225lg(50lg  又∵ 110lg5lg2lg  ∴ 12)5lg1)(5lg1()5(lg01.0lg50lg2lg)5(lg 22  （3）∵ 322 1 2 1   aa ∴ 1222 1 2 1   ）（ aa ∴ 141  aa ∵ 164)()( 22 1 2 1 22 1 2 1   aaaa 且 012 1 2 1   a aaa ∴ 42 1 2 1   aa ∴ 2 7 4 14 2 1 2 1 1      aa aa 第 10 页 共 16 页 19.(12 分) 如图，某小区有一个直角梯形休闲广场 ABCD，其中 BCAD // ， 90A ， 2 ADAB 百米， 1BC 百米.规划修建两条直道 FECF , 将广场分割为 3 个区 域: 、 为绿化区域(图中阴影部分)，面积分别记为 21 SS、 : 为休闲区域，面 积记为 3S .其中，区域 是以CD为底的梯形，点 FE, 分别在 ABAD, 上.(道路 宽度忽略不计) (1)试确定道路修建方案，使得 21 2SS  ; (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能 比的最大值. 解析：（1）延长 DCAB, 相交于点 P . ∵ BCAD // ， 2 ADAB ， 1BC ∴ PBC ~ PAD ∴ 2 1  AD BC PA PB ∴ 2PB 又∵ PDEF // ∴ AEF ~ ADP ∴ AP AF AD AE  ,设 nAFmAE  , ∴ 42 nm AP AF AD AE  ，∴ mn 2 由图可知      20 20 n m ，∴ 10  m ∴ mnBFBCS  1)2(1 2 1 2 1 1 第 11 页 共 16 页 2 2 2 1 2 1 mmnAFAES  ∵ 21 2SS  ∴ 221 mm  ∴ 2 10  m 所以当道路 50AE 米时， 21 2SS  （2） 2)1(3 22213  mmmmSSSS ABCD梯形 广场效能比为： 1 1 3 1 2 22 2 21 3        mmmm mm SS S 设 12  mmt ，二次函数，开口向上，当 2 1 m 时取得 4 3 min t ∴ 31 4 3 3)( max 21 3   SS S ∴此规划下该广场效能比的最大值为 3. 20.(12分) 已知函数 2)12()( 2  xaaxxf (1)解关于 x的不等式 0)( xf ; (2)当 ax  时， 0)( xf 恒成立，求 a的取值范围. 解析：（1）∵ )2)(1(2)12()( 2  xaxxaaxxf 要求 0)( xf ，对于 a进行分类讨论 ①当 0a 时， )2()(  xxf ， 0)( xf 可得： 2x ； ②当 0a 时， )(xf 为二次函数，开口向下， 0)( xf 可得： 21  x a ； ③当 0a 时， )(xf 为二次函数，开口向上， 0)( xf 可得： )2)(1()(  xaxxf ，此时 0)( xf 的两根为 2,1  x a x ， 针对两根大小关系再次分类讨论， ⅰ) 2 1 a 时， 21  a ，此时 2x . 第 12 页 共 16 页 ⅱ) 2 10  a 时， 21  a ，此时 2x 或 a x 1 ⅲ） 2 1 a 时， 21  a ，此时 a x 1 或 2x ∴综上所述：当 0a 时，解集为 )2,1( a ； 当 0a 时，解集为 )2,( ； 当 2 10  a 时，解集为 ),1()2,(  a  ； 当 2 1 a 时，解集为 ),2()2,(   ； 当 2 1 a 时，解集为 ),2()1,(   a （2）当 ax  时， 0)( xf 恒成立 )2)(1()(  xaxxf ①当 0a 时， )2()(  xxf ，当 0x 时， 0)( xf 不恒成立 ∴不符合题意，舍去； ②当 0a 时， )2)(1()(  xaxxf 为二次函数，二次函数开口必须向上 所以 0a 由（1）可得：       a a a 2 1 ，解得： 2a 21.(12分) 设 a为实数，已知函数 12 1)(   xaxf 是奇函数. (1)求 a的值; (2)判断并证明 )(xf 的单调性; (3)若关于 x的方程 0)2()( 2  mmxfxf 在 ），（ 1 上有解，求m的取值范 围. 解析：（1）由题意可得： )(xf 定义域为 R ∵ 12 1)(   xaxf 是奇函数∴ 0)0( f ，代入得 2 1 a ； 第 13 页 共 16 页 代入特殊值时，需要检验： ∴当 2 1 a 时， 12 1 2 1)(   xxf ； )( 12 1 2 1 12 112 2 1 12 2 2 1 1 2 1 1 2 1 12 1 2 1)( xfxf xx x x x x x             ∴ )(xf 为奇函数∴ 2 1 a （2）函数 )(xf 是 R上的减函数. 由定义法证明单调性： 在 Rx 上任取 21, xx ，不妨设 21 xx  ，作差得： 12 1 12 1) 12 1 2 1() 12 1 2 1()()( 212121         xxxxxfxf 经化简可得  12)12( )21(2)()( 21 212 21     xx xxx xfxf 因为 21 xx  ，所以 021  xx ，∴ 122 021 xx ∴ 021 21  xx ∴ 0)()( 21  xfxf ，即为 )()( 21 xfxf  ∴函数 )(xf 是 R上的减函数. （3）∵ 0)2()( 2  mmxfxf 在 ），（ 1 上有解， 由（1）、（2）可知 )(xf 为奇函数且在 R上单调递减， ∴ )2()( 2  mmxfxf ∵ )(xf 为奇函数∴ )2()2(  mmxfmmxf ， ∴ )2()( 2  mmxfxf 又∵ )(xf 是 R上的单调函数， ∴ 22  mmxx 在 ），（ 1 上有解， ∴ 022  mmxx 在 ），（ 1 上有解， 根据一元二次方程根的分布： ①当 0 时， 0)2(42  mm ，即为 012)2( 2 m ，∴ 322m 若 322m 此时方程 022  mmxx 的解为 31x ，不符合题意，舍去； 第 14 页 共 16 页 若 322m 此时方程 022  mmxx 的解为 31x ，符合题意； ② 当 0 时 , 0)2(42  mm , 即为 012)2( 2 m , ∴ 322m 或者 322m ； ⅰ) 当 322m 时 ， 022  mmxx 在 ），（ 1 上 有 解 ， 可 转 化 为 2)( 2  mmxxxg 在 ），（ 1 与 x轴有交点，二次函数，对称轴 2 mx  ∵ 322m ，所以 312  m ∴对称轴在区间 ），（ 1 左侧，此时 0321)1(  mmg 此时 2)( 2  mmxxxg 在 ），（ 1 与 x轴没有交点，不合题意，舍去； ⅱ) 当 322m 时， 31 2  m ∴对称轴在区间 ），（ 1 上，此时 0321)1(  mmg 此时 2)( 2  mmxxxg 在 ），（ 1 与 x轴有 2个交点； 综上所述：  322, m 22.(12分) 已知函数 )5(log)( xxf a  ， )5(log)( xxg a  ，其中 1a . (1)当 5a 时，求函数 )()()( xgxfxh  定义域与值域: (2)设集合 )}(2)(|{ xgaxfxM  ，证明: M ; (3)已知矩形 ABCD的顶点 CA, 在 )(xfy  的图象上，顶点 DB, 在 )(xgy  的图象 上 xAB // 轴，若 tAD  ，且该矩形的中心为点 ),( tsP ，求 ts aa  的值. 解析： （1）由题意可得：      05 05 x x ，得 55  x ∴ )(xh 定义域为 )5,5( . 当 5a 时, )25(log)()()( 25 xxgxfxh  ∵ 25250 2  x 第 15 页 共 16 页 ∴ 2)25(log)25(log 5 2 5  x ，∴ )(xh 值域为 2,( . （2）∵ )}(2)(|{ xgaxfxM  ∴ )5(log2)5(log xax aa  ∴ 2)5(log)5(log xax aa  又因为 1a ，所以可得 2)5(5 xax  ∴要证明: M 即证明 2)5(5 xax  在 )5,( 上有解 ∴存在  5，x ，使得 2)5(5 xax  成立 ∴ 210255 xxax  ，即为 21020 xxax  ∴当  50，x 时，不等式两边同除 x∴ 1020  x xa ∴ min)10 20(  x xa ，设 1020)(  x xxM 对于 1020)(  x xxM ， 10210  x x ，当且仅当 10x 时取“=” ∴当  50，x 时， 10102)( min xM ∴ 10102 a ， 1010102  ∴由题意可得： 1a ，所以当  50，x 时满足题意； ∴ 2)5(5 xax  在 )5,( 上有解 ∴即可证明: M （3）∵ )()5(log)( xgxxf a  ∴ )()( xgxf 与 关于 y轴对称 由题意可知，矩形 ABCD关于 y轴对称，所以 1,0  sas . 第 16 页 共 16 页 所以设点 A坐标 )0))(5(log,( 000  xxx a 因为矩形 ABCD且 xAB // 轴，∴ yAD // 轴 ∴点D坐标 ))5(log,( 00 xx a  又∵矩形 ABCD关于 y轴对称 ∴点 B横坐标为 0x ，同理可得点C坐标 ))5(log,( 00 xx a  ∵ tAD  ，且该矩形的中心为点 ),( tsP 所以可得：      txx txx aa aa 2)5(log)5(log )5(log)5(log 00 00 ，消去 t 得： )5(log3)5(log 00 xx aa  所以 3 00 )5()5( xx  ，展开可得： 3 00 2 00 75151255 xxxx  ∴ 01207615 0 2 0 3 0  xxx 因式分解可得：   04)6()3()4012)(3( 2000200  xxxxx ∴ 30 x ∴ 4log2log8log)5(log)5(log 00 aaaaa xxt  所以 5411 4log  aaaa ts .