精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试（第78届联考）数学试题

2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30 B. 60 C. D. 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数f(x)＝ 有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　) A. a<0 B. 0<a< C. <a<1 D. a≤0或a>1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 命题 “，”的否定是“，” 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 图象C关于中心对称 C. 函数在区间内是增函数 D. 函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设，则函数的最小值是__________. 13. 已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是________________． 14. 关于函数，有如下命题： （1）是图象的一条对称轴； （2）是图象的一个对称中心； （3）将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象． 其中真命题的序号为______________． 四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的值域． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）求的最大值. 19. 设函数. （1）求函数的极小值； （2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义求解. 【详解】因为，所以， 故选:A. 2. 已知命题：，，那么命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定变换形式即可求解. 【详解】：，， 则：，. 故选：C 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在定理可判断出函数的零点所在的区间. 【详解】由题可知在上单调递增， 又， 故函数的零点所在区间为. 故选：D. 4. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30 B. 60 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合锐角三角函数的定义，求得，，得解． 【详解】由题意知，，， 所以， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，米， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为米． 故选：D． 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出，结合角的范围求得，即可求得答案. 【详解】由题意， 则，即， 故，即， 由于，所以， 则，即， 故， 故选：B 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解. 【详解】由题， 又由是增函数可知，， ∴， 故选：B. 8. 函数f(x)＝ 有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　) A. a<0 B. 0<a< C. <a<1 D. a≤0或a>1 【答案】A 【解析】 【分析】函数y=f（x）只有一个零点，分段函数在时， 存在一个零点为1，在无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当时，y=，x=1是函数的一个零点， 则当无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D项是冲要条件，容易疏忽而出错. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 命题 “，”的否定是“，” 【答案】AB 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据对数函数的性质判断B，利用平方关系及诱导公式判断C，根据含有一个量词命题的否定判断D. 【详解】对于A：若，，满足，但是，故充分性不成立， 若，，满足，但是，故必要性不成立， 即“”是“”的既不充分也不必要条件，故A正确； 对于B：由，解得，所以函数的定义域为， 又，所以当时函数取得最大值，且，故B正确； 对于C：因为，又，所以， 所以，，故C错误； 对于D：命题 “，”的否定是“，”，故D错误； 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，． 由得，所以的定义域为,． 又因为，故函数与是相同的函数，故A正确． 对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误． 对于C,若在定义域上为奇函数， 当时，x需要满足， 则由奇函数定义域关于原点对称，可得， 此时，，为奇函数， 所以满足题意； 若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意， 所以，故C错误， 对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确， 故选：AD． 11. 已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 图象C关于中心对称 C. 函数在区间内是增函数 D. 函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到 【答案】CD 【解析】 【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可. 【详解】. A：函数的最大值为，因此本选项不正确； B：因为，所以图象C不关于中心对称，因此本选项不正确； C：当时，，所以函数在区间内是增函数，因此本选项正确； D：函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本选项正确， 故选：CD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设，则函数的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值是最小值为. 故答案为：. 13. 已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以， 因为不等式的解集为， 所以， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 关于函数，有如下命题： （1）是图象的一条对称轴； （2）是图象的一个对称中心； （3）将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象． 其中真命题的序号为______________． 【答案】(2)(3) 【解析】 【分析】将函数的解析式化为，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题． 【详解】由题意得， 对于（1），当时，，所以不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确． 对于（2），时，，所以是图象的一个对称中心，所以（2）正确． 对于（3），将的图象向左平移后所得图象对应的解析式为 ，为奇函数，所以（3）正确． 综上可得（2）（3）为真命题． 故答案为（2）（3）． 【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为的形式后，将作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题． 四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出和,再取交集，即可． （2）因为且恒成立，所以，解出即可． 【详解】解：（1）若，则，所以或，又因为，所以 ． （2）由（1）得，，又因为，所以 ，解得． 【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可. （2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由上问得， 因为和均在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为， ， 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以在区间上的最小值为． 17. 已知函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得的最小正周期，由，可解得函数的单调增区间； （2）由的范围求出的范围，进一步求出的范围，从而可得结果． 【详解】（1） ． 的最小正周期， 令，， 得，， 的单调递增区间为，； （2）时，， ， 所以的最大值为2，最小值为 在区间上的值域为． 【点睛】方法点睛：函数的单调区间的求法：若，把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间； 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得，结合角的范围即可求解； （2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 方法1：由及正弦定理可得： ， 所以， 故， 因为，即，故， 所以，又，所以. 方法2：由及余弦定理可得： ， 所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知， 即，其中， , 故当时，的最大值为. 19. 设函数. （1）求函数的极小值； （2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程，设，然后得到函数的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据和函数的图象可得到所求的范围． 【详解】（1）依题意知的定义域为， ∵， ∴， 令解得或 则单调递增， ，单调递减． ∴所以当时函数取得极小值，且极小值为． （2） ， 所以， 只需． 令，则， 由，得；由，得 ∴ 在区间上是增函数，在区间上是减函数. ∴当时函数有最大值，且最大值为， 又， ∴ 当或时，在区间上有唯一解， ∴实数m的取值范围为． 【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $