精品解析：江西省上饶市玉山文苑学校2025届高三上学期第二次检测数学试卷

江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高三上学期第二次检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. 为递减数列 D. 8. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积 B. 直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C. 异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______. 13. 已知为曲线上的动点，则的最大值为______. 14. 已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 16. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 18. 已知为坐标原点，双曲线的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于两点，且． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值． 19. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）求证：对于任意正整数， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高三上学期第二次检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 又由函数有意义，可得，解得，所以， 所以. 故选：A. 2. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 而. 故选：C 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由求出即，接着由余弦定理结合数量积的运算律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解. 【详解】设的角A、B、C的对边为a、b、c， 因为，所以， 所以，故， 所以，即， 所以， 所以 ， ， ， 因为，所以，即. 故选：B. 5. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出圆M与圆N的公共弦，满足，当的坐标为时，，利用余弦定理计算可得,由余弦函数的单调性确定最大，即为最大，计算即可得出结果. 【详解】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为. 故选：D 6. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解. 【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 7. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. 为递减数列 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意公比，利用求出公比为，可判断ABC选项；利用等比数列前项和公式求判断D. 【详解】，，则， 由，且， 得，即，解得，故A对； ，不为单调数列，故B，C错； 又，故D错， 故选：A. 8. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义域上的零点，进而得出结果． 【详解】因为，所以 当时，由，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 又，则需，所以； 当时，令，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 又, 所以仅有一个负数零点， 所以满足题意； 综上，的取值范围是或． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别构造函数，，设，再应用函数的单调性即可判断A,B,C选项，应用基本不等式计算判断D. 【详解】对于A，设在上单调递增， 由，得，即，故A错误； 对于B，设，，则在上单调递减， 由，得，故B正确； 对于C，设，则， 所以，当且仅当时取等号，即，故C正确； 对于D，由，得，所以（当且仅当时等号成立）； 再结合，得，故D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用函数单调性判断选项. 10. 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ） A. 该几何体的体积 B. 直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C. 异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解即可；对于C，由于,则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解即可；对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1， 所以， 所以，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以或其补角为异面直线与的夹角, 且， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为,正弦值为，故C正确； 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点， 且，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确. 故选：ABCD. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关系计算该几何体的体积． 【详解】由五面体ABCDEF可知，四边形与四边形都为平面四边形. 如图所示，分别取，的中点，，连接，，， 因为面为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以， 因为，分别为，的中点，，， 所以， 则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形. 则，平面，平面， 所以平面，同理平面，又， 且平面，平面， 所以平面平面，又四边形也是平行四边形， 所以几何体为三棱柱， 已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点到平面的距离. 由题意，； 又； 所以该五面体的体积 ． 故答案为：. 13. 已知为曲线上的动点，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】化简曲线方程，三角换元，利用三角恒等变换化简后求最值即可. 【详解】曲线即， 由于在曲线上，令， 则， （其中，，不妨设）， ，又，， 当时取得最大值. 故答案为： 14. 已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】曲线与关于直线对称， 又点关于直线的对称点在曲线上， 曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根， 设函数，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增， ，再根据当时，，当时，， 作出的大致图象，如图， 由于直线过定点，当直线与的图象相切时，设切点为，此时， 即，可得，此时切线的斜率为， 由图可知，时，直线与的图象有个交点， 实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 【答案】（1） （2）20万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解； （2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解. 【小问1详解】 因为营运六年时总利润最大，最大为110万元， 所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为， 所以设该函数为， 营运三年时总利润为20万元， 即，解得， 所以. 即. 【小问2详解】 由（1）知， 所以营运的年平均总利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 故营运的年平均总利润的最大值为20万元. 16. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期; （2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期； （2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 【小问2详解】 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在△中，取的中点M，连接， 因为，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面 所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面. （2）证明：由（1）知平面，又平面，所以， 在△中，因为，所以， 所以， 在同一平面中，因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面. （3）2. 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，由得到，再根据侧面平面得到平面，得到 ；进而结合条件即可证得平面. （2）由（1）易得，由可得，从而，进而证得平面. （3）由（1）易得为直线与平面所成的角, ,易得，根据棱锥的体积公式即可求得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt△中，，所以, 在Rt△中，，所以，解得. 故三棱锥的体积. 18. 已知为坐标原点，双曲线的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于两点，且． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，求出过点作的两条渐近线的平行线方程，再利用和解出双曲线方程即可； （2）设直线，，直曲联立，利用韦达定理，三点共线，斜率之积为，列出等式求出点坐标，结合向量关系得到四边形是平行四边形，然后再由弦长公式，点到直线的距离公式，以及换元法求导分析单调性，求最小值即可求解； 【小问1详解】 设，则，即， 过点作的两条渐近线的平行线方程分别为：， 则不妨取， 于是， 又，且， 可得， 所以双曲线方程为， 【小问2详解】 设直线，， 联立方程，可得，① ， ， 由于直线与双曲线的左右两支相交，所以方程①有两个同号的实根，， 故， 由三点共线得，② 由得，③ 由②③解得， 由可知，四边形是平行四边形， 所以， ， ， ， 令，则，则， 令，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，即时取等号. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于利用韦达定理、三点共线、表述出点坐标，再求出面积表达式，然后，得到，求导分析单调性得到最值. 19. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）求证：对于任意正整数， 【答案】（1） （2）证明： 由，得， 则，，， 所以以为首项，为公比的等比数列， 故，则. （3）证明：当时，， . 【解析】 【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到； （2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式推导可得； （3）利用从第二项开始，，进行逐项放缩，进而证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 则 ， 解得， 所以； 【小问2详解】 证明略，通项为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $