训练03 基本不等式44道期中期末真题训练-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 训练03 基本不等式44道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西咸阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 2．（2023-24高一上·广西·期中）若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一上·河南·期中）用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二下·安徽阜阳·期中）已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2023-24高一上·江苏镇江·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 6．（2023-24高一上·四川成都·期中）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 7．（2023-24高二下·北京海淀·期末）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 8．（2023-24高二下·吉林长春·期末）命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．（2023-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高三上·河北石家庄·期中）已知非负实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 11．（2023-24高一上·河北沧州·期中）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 13．（2023-24高一上·河南郑州·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑；其中，.则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2023-24高一上·浙江杭州·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 16．（2023-24高三上·江西南昌·期中）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（2023-24高一上·山东济南·期中）（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 18．（2023-24高一上·广东惠州·期中）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，的最小值为3 C．的最小值为2 D．函数的最大值是0 19．（2023-24高一上·福建厦门·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的（    ） A． B． C． D． 20．（2023-24高一上·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 21．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若的最小值为，则 B．若的最大值为4，则 C．若的最大值为m，则 D．若，则的最小值为2 22．（2022·山东菏泽·二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2023-24高二上·云南玉溪·期中）已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 24．（2024高一上·全国·专题练习）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 25．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 26．（2023-24高二下·天津·期末）若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是 . 27．（2023-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 28．（2023-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 29．（2023-24高三上·广东·期中）已知正数满足，则的最小值为 ． 30．（2023-24高一上·江苏扬州·期中）已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为 ． 31．（2023-24高一上·辽宁·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里300步） 32．（2023-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 33．（2023-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 34．（2023-24高一上·浙江宁波·期中）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 35．（2023-24高一上·江西赣州·期中）设，则的最小值为 . 四、解答题 36．（2023-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 37．（2023-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 38．（2023-24高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 39．（2023-24高一上·广东深圳·期中）若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 40．（2023-24高一上·江苏常州·期末）常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中). (1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)； (2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润. 41．（2023-24高一·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 42．（2023-24高一上·江苏南通·期末）已知集合． (1)设，求的取值范围； (2)对任意，证明：． 43．（2023-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 44．（2023-24高一上·四川雅安·期中）若，，满足，则称比更远离． (1)判断“”是“比更远离”的什么条件，并说明理由； (2)已知，，，证明：比更远离2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 训练03 基本不等式44道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西咸阳·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为27. 故选：C. 2．（2023-24高一上·广西·期中）若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得，所以， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：D. 3．（2023-24高一上·河南·期中）用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即. 由，，则，得， 当且仅当时，等号成立. 故该矩形面积的最大值为. 故选：A. 4．（2023-24高二下·安徽阜阳·期中）已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为．所以，，． 当时，，，当且仅当，时等号成立， 当时，，，当且仅当，时等号成立． 故的取值范围为，只有不在此范围内． 故选：B． 5．（2023-24高一上·江苏镇江·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6．（2023-24高一上·四川成都·期中）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【详解】设直角三角形两直角边长分别为、， 依题意可得， 所以三角形的面积，当且仅当时取等号. 故选：B 7．（2023-24高二下·北京海淀·期末）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A． B．3 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：B 8．（2023-24高二下·吉林长春·期末）命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故﹐ 故， 又当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是 故选：A． 9．（2023-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    设，其中，则， 在直角中，由勾股定理得：， 解得：, . 当且仅当，即时等号成立. 故选:B. 10．（2023-24高三上·河北石家庄·期中）已知非负实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 根据不等式性质可知， 当且仅当时等号成立，即满足条件， 所以， 所以的最小值为. 故选：B 11．（2023-24高一上·河北沧州·期中）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以m的取值范围是． 故选：D． 12．（2023-24高一上·江西南昌·期中）正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 13．（2023-24高一上·河南郑州·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑；其中，.则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知： 所以,, , 由基本不等式知， 所以, 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故正确，错误； 又当时， ,故，则错误； 又, , 取,此时，故错误， 故选： 14．（2023-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 15．（2023-24高一上·浙江杭州·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设，，，，，， 解得，即， 故. 当且仅当，即，时等号成立， 故选：B 16．（2023-24高三上·江西南昌·期中）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 二、多选题 17．（2023-24高一上·山东济南·期中）（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时, 等号成立，即的最小值是4，B不正确； 对于C选项，，则， 当且仅当时，等号成立，C选项正确. 对于D选项，，所以，， 当且仅当时，等号成立，D选项正确； 故选：ACD. 18．（2023-24高一上·广东惠州·期中）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，的最小值为3 C．的最小值为2 D．函数的最大值是0 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，故的最小值不是2，A错误， 对于B，，则，， 当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C，由于，而，当且仅当时取等号，但是无实数根，所以取不到等号，故C错误， 对于D，当时，，，故，因此， 当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD 19．（2023-24高一上·福建厦门·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A和C，因为，，所以，即， 当且仅当时等号成立，故，则，故A正确，C错误； 对于B，代入，，故B错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD 20．（2023-24高一上·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 21．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若的最小值为，则 B．若的最大值为4，则 C．若的最大值为m，则 D．若，则的最小值为2 【答案】BC 【详解】由已知得， ，解得，当时取等号，故A错误； ，，当时取等号，故B正确； ，，当时取等号，故C正确； 对于D， ，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误， 故选：BC. 22．（2022·山东菏泽·二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，当时，由C可知，，故D不正确. 故选：AB 23．（2023-24高二上·云南玉溪·期中）已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】因为， 对于A，当时，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于C，当时，，解得（舍负）， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ACD． 24．（2024高一上·全国·专题练习）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】BCD 【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 25．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 三、填空题 26．（2023-24高二下·天津·期末）若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是 . 【答案】8 【详解】设两条直角边分别为， 则由三角形的面积可知： 故，当且仅当时，等号成立. 故答案为：8 27．（2023-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 28．（2023-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 29．（2023-24高三上·广东·期中）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，故，又， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：． 30．（2023-24高一上·江苏扬州·期中）已知圆的半径为，矩形的边长为，，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】圆与矩形的周长均为2， ，即， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 31．（2023-24高一上·辽宁·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里300步） 【答案】 【详解】设里，里，且步里，步里， 因为，所以， 所以，所以， 所以小城周长，当且仅当时取等号， 所以周长的最小值为里， 故答案为：. 32．（2023-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 33．（2023-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 34．（2023-24高一上·浙江宁波·期中）已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，即， 设，则，且， 原式 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4 35．（2023-24高一上·江西赣州·期中）设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 36．（2023-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 37．（2023-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 【答案】(1)81； (2)4. 【详解】（1）由题设知，而，当且仅当时取等号， 所以最大值为. （2）由题设知，即，而， 所以，当且仅当取等号，故最小值是4. 38．（2023-24高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 39．（2023-24高一上·广东深圳·期中）若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1)； (2)时，取最小值为 【详解】（1），，，得，解得，明显可得， 的取值范围为 （2）由得，，结合得 ， 当且仅当时，等式成立，解得，， 即当时，取最小值为 40．（2023-24高一上·江苏常州·期末）常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中). (1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)； (2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当2023年生产10000件时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元 【详解】（1）根据题意，当时， ； 当时， ； 故； （2）根据题意，当时， ， 当时，； 当时， ， 当且仅当时等号成立，则有； 由，故； 故当时，即当2023年生产10000件时， 该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元. 41．（2023-24高一·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，为方程的根，且. 所以，解得，. （2）因为恒成立， 所以即可. 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 所以，解得. 42．（2023-24高一上·江苏南通·期末）已知集合． (1)设，求的取值范围； (2)对任意，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：若，又， 则，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，     故的取值范围为． （2）证明： ，当且仅当时取等号． 43．（2023-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数的图象经过第一象限的点， 则，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由，解得， 即实数的取值范围. （2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为， 可得，则四边形为矩形，所以面积为， 因为，且， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以四边形面积的最大值为. 44．（2023-24高一上·四川雅安·期中）若，，满足，则称比更远离． (1)判断“”是“比更远离”的什么条件，并说明理由； (2)已知，，，证明：比更远离2． 【答案】(1)“”是“比更远离”的充分不必要条件，理由见解析． (2)证明见解析 【详解】（1）解：“”是“比更远离”的充分不必要条件． 理由如下： 由，得，则， 故“”是“比更远离”的充分条件． 由比更远离，可得． 当，，时，满足，但不满足， 则“”不是“比更远离”的必要条件． 综上，“”是“比更远离”的充分不必要条件． （2）证明：因为，，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为，，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以． 由（1）可知比更远离2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$