精品解析：2024-2025学年北师大版数学八年级上册期末课堂练习(一)

期末课堂练习(一) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在中，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 5. 如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 6. 已知一组数据为7，2，5，，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为( ) A. 3 B. 4.5 C. 5.2 D. 6 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 相等角不一定是对顶角 C. 若一个等腰三角形的两边长分别是 和，则第三边长是 D. 若方程 是关于的二元一次方程，则 8. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 9的算术平方根是_____． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则______． 13. 若是正比例函数，则m的值为__________． 14. 如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是________． 15. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 计算∶ 17. 解方程组：． 18. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 四、解答题(二)：本大题共 3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图所示，在正方形网格中，若点的坐标为，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出点和点的坐标； （3）作出关于x轴的对称图形．（不用写作法） 20. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解） （2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式． 21. 综合与实践 【项目背景】 某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园，在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用(单位：)表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图如下： 根据所给信息，回答下列问题： （1）求图1中的值． （2），，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在 组；甲园样本数据的众数在 组，乙园样本数据的众数在 组． （4）结合市场情况，将，两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次，试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点B，A．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且 作的垂直平分线l，交直线于点E，交x轴于点G． 知识技能】 （1）求点C的坐标； 【数学理解】 （2）若在的垂直平分线l上有一点M，且点 M与点C位于直线的同侧，使得 ，求点 M的坐标： 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，连接，求证：是等腰直角三角形． 23. 【问题初探】 （1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路： ①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系； ②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系； 请你选择上述的一种思路，说明的内角和为． 【类比分析】 （2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求度数． 【学以致用】 （3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末课堂练习(一) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数，是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数即可得出结论． 【详解】A．，故A正确， B．，故B不正确， C．，故C不正确， D．，故D不正确， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点坐标，根据点横坐标和纵坐标特点判定即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵， ∴横坐标为负和纵坐标为正， 根据平面直角坐标系特点，点在第二象限， 故选：． 4. 如图，在中，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】， 由勾股定理得， ， 正方形的面积． 故选：C． 5. 如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 6. 已知一组数据为7，2，5，，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为( ) A. 3 B. 4.5 C. 5.2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由平均数是5计算的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得． 【详解】解：∵一组数据7，2，5，，8的平均数是5， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，…的平均数为，则方差，是解题的关键． 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 相等的角不一定是对顶角 C. 若一个等腰三角形的两边长分别是 和，则第三边长是 D. 若方程 是关于的二元一次方程，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据无理数的定义、对顶角的定义、等腰三角形的性质和一元二次方程的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、无限不循序小数都是无理数，该选项命题是假命题，符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，该命题的真命题，不合题意； 、若一个等腰三角形的两边长分别是 和，则第三边长是，该命题的真命题，不合题意； 、若方程 是关于的二元一次方程，则 ，该命题的真命题，不合题意； 故选：． 8. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱，抓住等量关系每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱，列方程组即可． 【详解】解：由题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x-3, 每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4， ∴联立方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系：每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱列方程组是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若是正比例函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数为， ，且， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，先根据勾股定理求得，进而求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边 上的中线，则的面积是， 故答案为：． 15. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故答案为： 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，负整数指数幂的含义，二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键，先计算二次根式的乘法运算，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】． 解：，得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，本题使用加减消元法比较简单，当然使用代入消元求解二元一次方程组亦可． 18. 如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面l于点D，在主梁上的点 A 拉两条斜拉索，，经测量， ，求主梁上的点 A 到桥面l的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ． ∴主梁上的点A 到桥面l的高度． 四、解答题(二)：本大题共 3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图所示，在正方形网格中，若点的坐标为，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出点和点的坐标； （3）作出关于x轴的对称图形．（不用写作法） 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，和平面直角坐标系内点的坐标的确定，以及作关于x轴对称的轴对称图形，熟练掌握和灵活运用各知识点是解决此题的关键． （1）根据点的坐标为，即可建立正确的平面直角坐标系； （2）观察建立的直角坐标系即可得出答案； （3）分别作点，，关于轴的对称点，，，连接，，，则即为所求． 【小问1详解】 解：所建立的平面直角坐标系如下所示： 【小问2详解】 解：由平面直角坐标系可知：点和点的坐标分别为：，； 【小问3详解】 解：所作如下图所示： 20. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解） （2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式． 【答案】（1）A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元． （2）利润w（元）与m（件）的函数关系式为： 【解析】 【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可； （2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则 解得：， 答：A，B两种商品每件进价分别每件100元，每件60元． 【小问2详解】 解：由题意可得： 即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或函数关系是解本题的关键． 21. 综合与实践 项目背景】 某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园，在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取个，在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用(单位：)表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图如下： 根据所给信息，回答下列问题： （1）求图1中的值． （2），，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在 组；甲园样本数据的众数在 组，乙园样本数据的众数在 组． （4）结合市场情况，将，两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次，试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）；； （4）乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用分别减去其它各组的频数可得的值； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）分别根据中位数、众数的定义解答即可； （4）根据统计图数据判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（个）， ∴图1中的值为； 【小问2详解】 ∴乙园样本数据的平均数为． 【小问3详解】 由统计图可知： 两园样本数据的中位数均在组，甲园的众数在组，乙园的众数在组， 故答案为：；；； 【小问4详解】 乙园的柑橘品质更优，理由如下： 由样本数据频数分布直方图可得： 甲园一级柑橘所占比例为：， 乙园一级柑橘所占比例为：， 且， ∴乙园一级柑橘所占比例大于甲园， ∴乙园的柑橘品质更优． 【点睛】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，频数分布表，加权平均数、中位数、众数，解题的关键是读懂图象信息． 五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点B，A．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且 作的垂直平分线l，交直线于点E，交x轴于点G． 【知识技能】 （1）求点C的坐标； 【数学理解】 （2）若在的垂直平分线l上有一点M，且点 M与点C位于直线的同侧，使得 ，求点 M的坐标： 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，连接，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1）（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点 H．先求出点 A 的坐标为，点 B 的坐标为．得到．再证明，得到，则，据此可得点C的坐标为． （2）先求出直线l即为直线，则，由勾股定理，得，则，进而得到；设点 M的坐标为， 根据建立方程求解即可； （3）根据（1）（2）所求可得轴，．再证明，即可证明是等腰直角三角形． 【详解】解：（1）如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点 H． 在中，当时，，当时，， ∴点 A 的坐标为，点 B 的坐标为． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）∵直线l是的垂直平分线，， ∴直线l即为直线， 在中，当时，， ∴， 由勾股定理，得， ， ∵， ∴， 设点 M的坐标为， ， 解得． ∴点M的坐标为． （3）如图，连接． ∵点， ∴轴，． 又∵轴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）如图1，在中，请说明：，为解决这一问题，同学们多用于下列两种思路： ①如图2，延长到，过点作射线，相当于把都移到了顶点的位置，利用图形特点获得的数量关系； ②如图3，过点作直线，相当于把都移到了顶点的位置，再利用图形特点获得的数量关系； 请你选择上述的一种思路，说明的内角和为． 【类比分析】 （2）如图4，已知，过点作直线为线段上一点，连接，若，求的度数． 【学以致用】 （3）如图5，，若，，请你判断三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；②见解析；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明和应用，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）①由平行线的性质，得到再结合平角求解即可； ②由平行线的性质，得到，，再结合平角求解即可； （2）作，则，推出，得到，进而得到，即可求出的度数； （3）延长交于点，延长交于点，根据平行线的性质，得到，，由，得出，进而推出，由，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可证明结论． 【详解】（1）选择①，如图2  延长到，过点作射线， ； 选择②，如图3过点A作， ，， ； （2）如图4，作，则， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 如图5，延长交于点，延长交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$