第三章勾股定理单元检测2024-2025学年 苏科版数学八年级上册

2024-2025学年度苏科版八年级上册第三章勾股定理单元检测卷 一、单选题 1．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（    ） A．5 B．3 C．2.5 D．2.4 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 4．如图,A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上,且MN∥EF，某施工队在A,B,C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°,∠CBE=25°,AB=160km,BC=120km,则A,C两村之间的距离为（    ） A．250km B．240km C．200km D．180km 5．如图，点，，分别在等边的三边上，且，过点，，分别作，，边的垂线，得到．若要求的面积，则只需知道（ ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 6．如图，在中，，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为2，4，6，正放置的四个正方形的面积依次为，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝ ． 10．在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则AC= . 11．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 12．如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积为 ．    13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则 ．    14．如图，已知为等腰直角三角形，，点D在上，，E为边上的动点，则周长的最小值是 ． 15．如图，在Rt△ACB中，AC＝6、AB＝10，AD平分∠CAB，BD⊥AD，AD的值是 ． 16．观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 三、解答题 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6． （1）求证：∠CDB＝90°；（2）求AC的长． 18．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米． (1)求证：∠ADC＝90°； (2)求图中阴影部分土地的面积． 19．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 20．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合． （1）求证：BE＝BF； （2）求折叠后△BEF的面积． 21．已知：如图，在四边形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在边上点处. （1）求证：； （2）求的长. 22．如图1，在和中，，点在的中点处，交于交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，将绕点旋转，使得经过点，直线交直线于点，连交直线于点，连接，若，求的长度． 23．如图，与都是等边三角形，、、三边长是一组勾股数，且边最长． （1）求证： （2）求的度数． 24．如图，在四边形中，，，，点A，，依次在同一直线上． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 25．如图，在四边形ABCD中，，，，，点E在AB边上，，．求CE的长度；求证：≌；设点P是线段AB上的一个动点，求的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据勾股定理的逆定理的逐项判断即可；掌握两小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形成为解题的关键． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不满足题意； B、，故不是直角三角形，故此选项不满足题意； C、，故是直角三角形，故此选项满足题意； D、，故不是直角三角形，故此选项不满足题意． 故选B． 2．C 【分析】先根据勾股定理求得的长度，再根据中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】∠ACB=90°，AC=4，BC=3， , 点D为斜边AB上的中点, ． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 3．C 【详解】∵，，，∴，∴是直角三角形， ∵是的垂直平分线，∴，，且线段是的中位线， ∴，∴．故选C. 4．C 【详解】分析：直接利用平行线的性质得出的度数,再利用勾股定理得出答案. 详解：,, , ∵∠CBE=25°,∴∠ABC=180°-65°-25°=90°, ∴△ABC是直角三角形, ∴AC=(km) 故选C. 点睛：本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理等知识，解答本题的关键是正确得出△ABC是直角三角形. 5．B 【分析】先证△DEF是等边三角形，可得△DEF的面积=，设AP= BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，利用直角三角形的性质可求DF=，即可求解． 【详解】解：如图，设DR交AB于J．延长QF交AC于N， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵RJ⊥AB， ∴∠AJR=90°， ∵PE⊥BC，∠B=60°， ∴∠JPD=30°， ∴∠PDJ=∠EDF=60°， 同法可证，∠DEF=∠DFE=60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF的面积=， ∵AP=CR=BQ， ∴CQ=AR， 在△ARJ和△CNQ中， ， ∴△ARJ≌△CNQ（AAS）， ∴AJ=CN， 设AP=BQ=CR=a，AC=BC=AB=b， ∴AR=b-a， ∵∠ARJ=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△DEF的面积=， ∴只要知道AP的长，可求△DEF的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用参数求出DF的长是本题的关键． 6．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，过点作于点，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，得到，即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．C 【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可． 【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点， ∴△AEF≌△DEF， ∴AE=DE， ∵点为边的中点， ∴CD=， 设DE=x，CE=6-x， 在Rt△CDE中由勾股定理， 即， 解得． 故选择：C． 【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程． 8．B 【分析】通过证明三角形全等和勾股定理得到，从而得到． 【详解】解：将图形上的点标记如下： 依题意得：∠ACD=90°，AC=CE， ∴∠ACB+∠DCE=90°， 又∵∠CED+∠DCE=90°， ∴∠ACB=∠CED， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴BC=DE， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴， 即：， ∴． 同理可得：， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 9．8 【分析】根据勾股定理及正方形的面积求法得到正方形面积和直角三角形的边的平方之间的关系，进而即可得到AB的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及正方形面积，熟练掌握勾股定理的求法是解决本题的关键． 10． 【详解】分析：由勾股定理计算AC即可. 详解：如图： 在Rt△ABC中，= 故答案为 点睛：此题考查了勾股定理的应用：在直角三角形中，已知两边，求第三边.此题较简单，直接利用勾股定理计算即可. 11．36 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 12．36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运用，连接，先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，    在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：36． 13．41 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ． 故答案为：41． 14．12 【分析】此题考查了轴对称-线路最短的问题，勾股定理，等腰三角形的性质，确定动点E何位置时，使的值最小是解题的关键．作点关于的对称点，连接交于，连接，连接交于点P，得到，，，推出，当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，连接交于点P， ∵为等腰直角三角形，点关于的对称点为， 是的垂直平分线，， ∴，，， ， ， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为：， 故答案为：12． 15．4 【分析】延长AC、BD，相交于点E，可求得BC的长，根据角平分线的定义及BD⊥AD，可证得，可得，可求得BE，再根据等腰三角形的性质，可求得BD，最后再根据勾股定理即可求得． 【详解】解：如图：延长AC、BD相交于点E 在Rt△ACB中，AC＝6、AB＝10 AD平分∠CAB BD⊥AD 在与中 在中， 又AB=AE，BD⊥AD 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 16． 11，60，61 ，， 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 17．（1）见解析；（2）AC＝． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）设AC＝x，由题意得到x2＝（x﹣6）2+82，计算即可得到答案. 【详解】解：（1）∵BC＝10，CD＝8，BD＝6， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠CDB＝90°； （2）∵AB＝AC， ∴设AC＝x，则AD＝x﹣6， ∴x2＝（x﹣6）2+82， 解得：x＝， 故AB＝AC＝． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. 18．(1)见解析 (2)阴影部分土地的面积为6平方米 【分析】（1）先由勾股定理求出AC=2.5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC=90°即可； （2）由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，BC=6米，AB=6.5米， ∴AC==2.5（米）， ∵CD=1.5米，AD=2米， ∴AD2+CD2=4+2.25=6.25， ∴AD2+CD2=AC2=6.25， ∴∠ADC=90°； （2）解：图中阴影部分土地的面积=AC•BC-AD•CD =×2.5×6-×2×1.5 =6（平方米）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 19．(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明：， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 20．（1）证明见解析；（2）10 【分析】（1）根据轴对称的性质，得∠BEF＝∠DEF；根据长方形和平行线性质，得∠BFE＝∠DEF，从而得∠BFE＝∠BEF，结合等腰三角形性质，即可完成证明； （2）结合题意设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x；根据勾股定理的性质，通过列方程并求解，即可得到AE；再结合三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）由折叠的性质得：∠BEF＝∠DEF， ∵ADBC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF； （2）设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2 解得，x＝3， ∴BE＝BF＝5， ∴△BEF的面积＝×BF×AB＝×5×4＝10． 【点睛】本题考查了轴对称、矩形、平行线、等腰三角形、一元一次方程、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、轴对称、勾股定理的性质，从而完成求解． 21．（1）见解析；（2）5. 【分析】（1）利用平行线的性质及翻折的性质可证明∠CDB=∠CBD，从而证明结论； （2）利用翻折的性质，然后设，则，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：（1）证明：由翻折可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由翻折可知，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的长是5. 【点睛】本题考查了图形翻折，平行线，勾股定理，熟练掌握翻折、平行线的性质以及利用勾股定理建立方程是解题的关键. 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长至点G，使，连接，证明，则有，进而可得，，由勾股定理即可证得结论成立； （2）作交的延长线于N，作交的延长线于P，利用直角三角形的性质及勾股定理分别求出，，由，可求得的长，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点G，使，连接， ∵点D是的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：作交的延长线于N，作交的延长线于P， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理；用到倍长中线法，等面积法等数学方法． 23．（1）见解析，（2）∠ADB=150°． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD=EC，∠ADB=∠BEC，由勾股数可得结论； （2）由勾股定理的逆定理可得∠DEC=90°，由全等三角形的性质可求解． 【详解】证明：（1）∵△ABC与△DBE都是等边三角形， ∴AB=BC，BD=DE=BE，∠ABC=∠DBE60°， ∴∠ABD=∠CBE，且AB=BC，DB=BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS） ∴AD=EC，∠ADB=∠BEC， ∵DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长． ∴ ∴ （2）∵， ∴∠DEC=90°， ∴∠BEC=150° ∴∠ADB=∠BEC=150°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABD≌△CBE是本题的关键． 24．(1)证明见解析 (2)17 【分析】（1）根据，可知，再结合、，即可证明； （2）由，可知，再在中由勾股定理计算AE的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）由（1）可得， 在中，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的知识，解题关键是熟练进行三角形全等的证明． 25．（1）5，（2）见解析，（3） 的最小值为． 【分析】由，，，根据勾股定理求出CE； 先证出，即可证明≌； 作点D关于AB的对称点F，连接CF交AB于点P，再用勾股定理求出CF的长即为的最小值． 【详解】解：，，， 根据勾股定理可得：； ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ≌； 延长DA至F，使得，并连接CF，此时CF与AB的交点为点P，连接PD； ，且， 是等腰三角形， ， 的最小值为CF， 过点F作FH垂直CB的长线，垂足为H，如图所示： 根据题意得：，， 根据勾股定理可得，， 即的最小值为． 故答案为（1）5，（2）见解析，（3） 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称以及最短路线问题；熟练掌握勾股定理和最短路线的作图是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$