抽象函数提升专题训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题 抽象函数提升训练 【题型归纳】 2 题型一 抽象函数的定义域的求解 2 题型二 抽象函数的解析式 3 题型三 抽象函数的单调性及应用 4 题型四 抽象函数的奇偶性及应用 7 题型五 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用 8 一、复合函数和抽象函数定义域的求法 1.若的定义域为，则中，从中解得的解集即的定义域. 2.若的定义域为，则由可确定的范围，设；则，又与是同一函数；所以的范围即的定义域. 3.已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围，求出的取值范围，即中的的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域. 二、消元法(或解方程组法)求函数解析式 在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法(或解方程组法). 即已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解方程组即可求出. 三、赋值法求函数解析式 当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 四、抽象函数单调性的判断方法 抽象函数一般由方程(或不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法. 一是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论； 二是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试. 注意：若给出的是“和型”抽象函数，判定符号时的变形为，； 若给出的是“积型”抽象函数，判定符号时的变形为， . 五、判断抽象函数的奇偶性方法 判断抽象函数的奇偶性，需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出与的关系.解决抽象函数问题，也可以用赋值法；如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1或0或1来达到解题目的. 【题型归纳】 题型一 抽象函数的定义域的求解 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）. A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围 . 题型二 抽象函数的解析式 9．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（多选）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知满足，则解析式为 ． 13．已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 . 14．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 15．已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 16．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于的不等式. 题型三 抽象函数的单调性及应用 17．定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 . 19．定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为 . 20．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 23．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 24．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 25．定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 题型四 抽象函数的奇偶性及应用 26．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 27．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 28．已知对于任意、，都有，，则（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 29．函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 30．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 32．已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 33．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 34．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ） A． B．6 C． D．5 35．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 题型五 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用 36．（多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 37．已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（   ） A．为偶函数 B． C．在上单调递减 D．有最大值 38．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 39．已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41．已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 43．已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 44．若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 . 45．已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为 . 46．已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 47．定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； (3)已知，解关于的不等式. 48．设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性，并加以证明； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围． 49．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 50．“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 抽象函数提升训练 【题型归纳】 2 题型一 抽象函数的定义域的求解 2 题型二 抽象函数的解析式的求解 5 题型三 抽象函数的单调性及应用 11 题型四 抽象函数的奇偶性及应用 19 题型五 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用 24 一、复合函数和抽象函数定义域的求法 1.若的定义域为，则中，从中解得的解集即的定义域. 2.若的定义域为，则由可确定的范围，设；则，又与是同一函数；所以的范围即的定义域. 3.已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围，求出的取值范围，即中的的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域. 二、消元法(或解方程组法)求函数解析式 在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法(或解方程组法). 即已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解方程组即可求出. 三、赋值法求函数解析式 当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 四、抽象函数单调性的判断方法 抽象函数一般由方程(或不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法. 一是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论； 二是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试. 注意：若给出的是“和型”抽象函数，判定符号时的变形为，； 若给出的是“积型”抽象函数，判定符号时的变形为， . 五、判断抽象函数的奇偶性方法 判断抽象函数的奇偶性，需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出与的关系.解决抽象函数问题，也可以用赋值法；如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值-1或0或1来达到解题目的. 【题型归纳】 题型一 抽象函数的定义域的求解 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由且求交集即可求得结果. 【详解】由题意知，. 故选：A. 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数定义域的求法可解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，且， 解得. 故选：A 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用抽象函数定义域的确定方法，先确定的定义域，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，则， 由，解得，所以函数的定义域为， 故选：D. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的定义域，然后结合求得的定义域. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以对于，有，解得，即的定义域为； 由解得， 所以的定义域为. 故选：A 5．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抽象函数定义域问题，要注意两点，一是定义域是指的取值范围，二是同一对应法则下，括号内对应的取值范围相同. 【详解】函数的定义域是，故， 所以，故， 解得：. 故选：D 6．已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域，得到答案. 【详解】A选项，由题意得且，解得且，不合要求，A错误； B选项，中，且，解得，不合要求，B错误； C选项，中，令且，解得且，满足要求，C正确； D选项，中，令且，解得且，不合要求，D错误. 故选：C 7．已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域求得集合，利用分离常数法、基本不等式求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，即， 所以，所以的定义域， 由于，， 所以在区间上恒成立， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8．已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数 的图象，      如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为. 题型二 抽象函数的解析式的求解 9．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 10．若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解. 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 11．（多选）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，令，可得，A正确；再令，可得，据此变形，可得，故C正确；此时可解出，求得，故BD错误. 【详解】对于A，中令， 则，A正确； 对于BCD，再令，则， 即① 所以 即②， 又因为也符合上式，C正确； 联立①②，解得 ，D错误 ，B错误. 故选：AC. 12．已知满足，则解析式为 ． 【答案】 【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式. 【详解】由   ① 用代可得，  ② 由①②可得： 故答案为： 13．已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 . 【答案】 【分析】根据已知把换成，建立方程组求解. 【详解】因为，把换成有：， 联立，解得. 故答案为： 14．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可求． 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求， 故答案为： 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是解决本题的关键． 15．已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法即可得解； （2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解； （3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解. 【详解】（1）因为， 令，则， 又，有，故. （2）令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 令，有，则， 联立，解得， 所以. （3）由（2）得，， 其图象开口向上，对称轴为，又， 当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时， . 16．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）用方程组法求，用待定系数法求； （2）先将不等式化为，根据分类求解即可. 【详解】（1）①， 用代替上式中的， 得②， 联立①②，可得； 设， 所以， 即 所以，解得，， 又，得，所以. （2）因为， 即， 化简得，， ①当时，，不等式的解为； ②当，即，即时，不等式的解为或； ③当，即，即或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， ④当，即时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为且； 当时，不等式的解为或. 题型三 抽象函数的单调性及应用 17．定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 18．已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案. 【详解】因为对任意给定的实数，恒有， 即成立， 所以函数在上单调递减，又， 所以不等式等价于 或， 等价于或， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 19．定义在上的函数满足：对于任意的，，都有恒成立，且对于任意，都有，同时，则不等式的解集为 . 【答案】/ 【分析】由分析得到函数的单调性，由，同时，得到，原不等式转化为，进而结合单调性转化求解. 【详解】不妨设<，由恒成立，得恒成立，可知函数在上单调递增， ，同时，可知, ∴不等式即为，等价于，解得， ∴所求不等式的解集为， 故答案为：. 20．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式. 【详解】由且，， 则两边同时除以可得， 令，则在单调递增， 由得且， 即解得， 故选：D. 21．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式构造函数，进而可以判断构造函数的单调性，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 构造函数，由， 因为，所以函数是上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数的对称轴为：， 当时，显然函数是上的增函数，符合题意； 当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点睛：由构造新函数是解题的关键. 22．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用的单调性可得，分类讨论可求不等式的解集. 【详解】（1）因为，都有， 所以令，得，则， 因为时，， 所以当时，，则， 令，得， 所以，证毕. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令， 则，所以， 即，所以在上单调递减； （3）由，得， 又，所以， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 所以， 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为，所以不等式的解集为； 当时，不等式为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 若时，则，所以不等式的解集为， 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【点睛】思路点睛： 1，对抽象函数求函数值的题型，主要是赋值法， 2，解含参数的不等式，通常是对参数分类讨论求得不等式的解集. 23．已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 24．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，即可求出； （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）因为对任意，都有， 所以，令，则，所以； 令，，则，因为， 所以； （2）任取，且， 则 当时，，，，，， 在上单调递增； （3） ， ，得 所以原不等式可化为； 由和（1）可得， ，所以，， 根据（2）得，为单调递增函数，所以，， ，得， 所以，不等式的解集为： 【点睛】第一问根据已知条件分别赋值和，即可求出；第二问利用单调性的定义证明函数单调递增；第三问将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可 25．定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及所给函数的性质证明即可； （2）利用函数的单调性及定义域解不等式即可； （3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，建立不等式组求解即可. 【详解】（1）任取，且， 设，则， 则， 即， 所以在上是单调递增函数. （2）由（1）知，， 解得， 所以不等式的解集为. （3）因为， 所以由对所有的成立， 可得对恒成立，即恒成立， 令， 则不等式恒成立只需满足， 解得或， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第一问证明抽象函数的单调性关键在于函数单调性的定义证明格式与抽象函数所给性质的结合，第三问恒成立问题关键在于转化，首先转化为恒成立，再利用构造关于的函数，由函数性质建立不等关系是关键所在. 题型四 抽象函数的奇偶性及应用 26．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由于，所以，令， 因为，所以此函数不是偶函数，所以A错误， 对于B，由于，所以，令， 因为，所以此函数不是偶函数，所以B错误， 对于C，由于，所以，令， 因为，所以此函数不是偶函数，所以C错误， 对于D，由于，所以，令， 因为，所以此函数为偶函数，所以D正确， 故选：D 27．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义即可判断. 【详解】，则，因为是偶函数，故为偶函数. 故选：A 28．已知对于任意、，都有，，则（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【分析】根据等式特征，先令,由,可以求出的值；再令代入等式,可以得到和的关系,根据函数的奇偶性定义选出正确答案. 【详解】令,可得. 再令,可得,所以函数是偶函数.又因为,所以函数不是奇函数,所以是偶函数但不是奇函数. 故选D 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性的判断,根据所给的等式进行取值是解题的关键. 29．函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得（），再利用奇偶性定义判断作答. 【详解】对任意的实数x，y，，有成立， 令，则有，又， 因此，显然，得，， 又，于是， 当且时，，整理得，于是， 因此，，有且， 所以函数（）既是奇函数又是偶函数． 故选：C 30．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 31．已知函数满足，下列四个选项一定正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据，结合奇函数的定义可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以函数为奇函数. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用奇函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 32．已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】对于①②③：根据题意赋值即可得结果；对于④：结合奇函数的定义分析判断. 【详解】因为， 对于①：令，可得，故①正确； 对于②：令，可得，解得； ③令，可得，解得，故③错误； 对于④：令，可得， 且的定义域为，所以是奇函数，故④正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：对抽象问题，要紧扣题中抽象函数的性质，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用赋值法或特殊值法进行验证． 33．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】C 【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【详解】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 34．若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值，再判断的奇偶性，由此判断出为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果. 【详解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函数，令，则，是奇函数，∴在对称区间上，当时，，，∴． 故选:B 35．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值. 题型五 抽象函数单调性与奇偶性的综合应用 36．（多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一判定选项. 【详解】A选项，中，令得，故A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得，故为奇函数，B正确； C选项，中，令，，且． 故，即， 当时，，故，即，故为增函数，C错误； D选项，，则， 又，故，是增函数，所以，D正确 故选：ABD 37．已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（   ） A．为偶函数 B． C．在上单调递减 D．有最大值 【答案】D 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，B不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，A不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递减，C不确定， 由于表示开口向下的抛物线，故函数必有最大值，D正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 38．已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据题意，得到在区间上为增函数，且为偶函数，把不等式，转化为，得出，即可求解. 【详解】由题意，令函数， 因为若且，都有， 即，所以函数在区间上为单调递增函数， 又因为为上的奇函数，即， 所以，所以函数为上的偶函数， 又由，可得，则， 所以不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 39．已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，分和两种情况，利用单调性求解不等式即可． 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称， 则函数的图象关于点成中心对称， 所以函数是定义在，，上的奇函数， 令，则， 所以函数为偶函数， 因为对于任意，，，都有成立， 即， 故函数在上单调递增，且， 当时，不等式即为，即， 所以； 当时，不等式即为，函数在上单调递减， 即，解得， 综上所述，不等式的解集为,,． 故选：A． 40．设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数将转化为，进而转变为或，然后根据函数的单调性与奇偶性解不等式即可． 【详解】因为为奇函数，所以， 所以， 因为对任意，且，都有， 所以在单调递减， 因此在单调递减， 且，所以， 故或， 故或， 故选：C． 41．已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：令，求出，令，可证得函数是奇函数，再由单调性的定义可得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围；法二：令可得函数的单调性，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】法一：令，得，所以； 令，则有，即，则， 故是定义在上的奇函数． 设，则，又当时，， 则有，即， 则，故在上单调递增． 所以当时，． 又因为存在，使得成立， 所以，解得．故选D． 法二：令，则．因为， 当时，，所以，即函数在上单调递增． 因为存在，使得成立， 所以为在区间上的最大值． 因为在上单调递增，，所以， 所以．解得，即实数的取值范围为． 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围. 42．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得，所以. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 43．已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是偶函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，，则， 所以在上单调递增，则在上单调递减. 对于，且， 若，可得，即，可得； 若,可得，即，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型，任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 44．若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】不妨设，则， 由，得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上单调递减， 因为为偶函数，所以， 则， 所以函数为偶函数，且函数的定义域为， 由，得，即， 所以，解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数. 45．已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，构造，判断出的奇偶性和单调性，把不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】由题知， 记， 因为是奇函数， 所以， 所以， 所以为偶函数， 由题知，记，即， 因为， 所以，即， 所以在上，为减函数， 因为为偶函数， 所以在上，为增函数， 因为不等式可化为，即， 又因为，可得， 所以可化为，解得，或， 所以解集为 故答案为： 46．已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)， (2)为奇函数，理由见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减． 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 47．定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； (3)已知，解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定等式，利用赋值法，结合奇函数的定义推理即得. （2）根据给定条件，利用增函数的定义推理得证. （3）变形给定不等式，利用函数单调性脱去法则，再分类讨论求解含参不等式即可. 【详解】（1）对任意都有， 取，则， 解得， 对任意，令，则， 于是，所以为上的奇函数. （2）任意，则， 而当时，， 于是， ， 所以为上的增函数. （3）由（1）及，得， 不等式， 则，因此， 整理得， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为， 若，则不等式无解， 若，解得， 若，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 48．设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，． (1)判断的奇偶性，并加以证明； (2)判断的单调性，并加以证明； (3)设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)是奇函数；证明见解析 (2)为减函数；证明见解析 (3) 【分析】（1）令可求得，令可得，由此可得奇偶性； （2）设，由可得，由此可得单调性； （3）利用单调性可将恒成立的不等式化为，利用二次函数性质可求得，由此可得的取值范围. 【详解】（1）令，则； 令，则，即， 为定义在上的奇函数. （2）设，则，， 又，，为定义在上的减函数. （3）由得：， 在上单调递减，； 当时，取得最大值，最大值为， ，即实数的取值范围为. 49．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或或 【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性； （2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果； （3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）取任意，且； 由是定义在上的奇函数，可得， 又因为对任意的且时，有成立， 所以，且； 因此可得，即. 所以在上单调递增； （2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形 可得； 由（1）可知函数在上单调递增， 所以不等式需满足， 解不等式可得； 解不等式可得或； 解不等式可得或； 综合可得； 即不等式的解集为 （3）由（1）可知，在上的最大值为， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立， 令，即对所有的恒成立， 所以，即， 解得或或. 所以实数的取值范围为或或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可. 50．“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$