第24章-解直角三角形课件2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版 数学 九年级上册 24.1 测量 正在观看升旗仪式的小华很想知道旗杆的高度，但是旗杆的高度很难直接测量. 现有一根标杆、一把皮尺、一个平面镜.你能利用所学知识来帮她测出旗杆的高度吗? 情境引入 要求 : （1）画出测量图形 （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量的数据) （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式。 工具: 一根标杆、一把皮尺、一个平面镜. 探索思考 旗杆影长 A B C D E F 标杆影长 影长法 比例式: 人 平面镜 平面镜法 比例式: A B C D E F G H 标杆法 人 标杆 比例式: ∴AB=AE+EB 平面镜法 影长法 A B C D E F x x 比例式: 标杆法 A B C D E F G H 比例式: x 比例式: 探索思考 测量角的工具 假如现在只有皮尺和测量角的工具，那又该怎么办呢？ 0 30 30 60 60 90 90 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下： 1、把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。 P Q 探索思考 度盘 铅锤 支杆 探索思考 0 30 30 60 60 90 90 P Q ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成 测量倾斜角可以用测倾器。 探索思考 0 30 30 60 60 90 90 2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。 M 30° D A B E 1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3、量出测倾器的高度AD=1.5米。 34° 你能利用这些数据算出旗杆的高度吗？ D A B E 1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3、量出测倾器的高度AD=1.5米。 34° 你能按比例将△ABC画在纸上吗？ D A B E 1、在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2、量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3、量出测倾器的高度AD=1.5米。 34° B′ C′ A′ (精确到0.1米) 你知道计算的方法吗？ 你们的结果都相同吗？ 你们所画的三角形都全等吗? 为什么结果会相同呢？ 如果仰角为65°，BC的值还会相等吗？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 D A B E 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系． C 我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？ 34° 本章主要探究的内容就是直角三角形中的边角关系 1、为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） 随堂练习 C B 若点B的位置选取适当，则有利于测量和计算. 学习小结 1、充分利用相似三角形的相关知识在测量中采用不同的方法或者设计不同的方案解决实际问题。 2、我们也可借助于直角三角形来完成测量的方案。 谢 谢！ 华东师大版 数学 九年级上册 24.2 直角三角形的性质 1、判定三角形全等的定理有哪几个？它们有哪些共同点？ 2、什么是直角三角形？他的锐角有什么关系？为什么？ 复习提问 1、在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数         。     2、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，     （1）与∠B互余的角有           。     （2）与∠A相等的角有           。     （3）与∠B相等的角有          。 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 38° ∠A， ∠DCB ∠DCB ∠ACD A C B D 知识回顾 活动1：动脑筋 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么你能说说△ABC是什么样的三角形吗？ 直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 由三角形内角和性质, ∠A+∠B+∠ C=180°,因为∠A+∠B=90°,所以∠C=90°,于是△ABC是直角三角形. 新知探究 活动2：操作 （1）画一画：请在纸上画一个直角三角形ABC，∠C=90°，作出斜边AB边上的中线CD。 （2）量一量：线段CD、AB、BD、AD的长度。 （3）比一比：你发现了这些线段之间的哪些数量关系？你有什么发现？ （4）想一想：请大家交流后，思考如何 证明CD= AB？ A B C D 1 2 新知探究 已知：在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线 求证：CD= AB 1 2 A C B D E 证明：延长CD到E，使DE=CD= CE，连接AE，BE。 ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=DB。 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形 （_________________________________） ∴CE=AB（____________________________）， ∴CD= AB。 1 2 ∵ ∠ACB=Rt∠ ∴四边形AEBC是矩形 （______________________________________） 对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形的对角线相等 新知论证 性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 在Rt△ABC中，ACB=90° ∵CD是斜边AB上的中线。 CD= 。 A C B D 用几何语言表述： AB 新知概述 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD= AB。 1 2 C B A D 几何语言： 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 推论： 几何语言： 在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 ∴ΔABC是直角三角形 新知探索 分析：题中告诉了我们AB与AC相等的关系，要是能把DE、DF转化到AB与AC的问题就好了 例 在ABC中，AB=AC，AD是△BAC的高，E、F分别是AB，AC的中点。问DE、DF有什么大小关系？ D B C A E F ∟ ∟ 解 ∵AD是△BAC的高 E、F分别是AB，AC的中点。 ∴DE= AB DF= AC （ 又∵AB=AC ∴DE=DF 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 新知讲解 练习2 在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． C A B E 练习1 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 AE、BE ∟ 55° 4 练习3 三角形三个内角之比为1：2：3，且最长边为4厘米，则最长边上的中线 厘米。 2 课堂练习 判断 （1）直角三角形两锐角互余 （ ） （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 （ ） （3）有两个角互余的三角形是直角三角形 （ ） （4）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 （ ） √ √ √ √ 课堂练习 （2）如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，则斜坡的坡比为______ （1）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= BC=1，则AB边上的中线长为________ 课堂练习 （3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=30O，AE=2，则BD=________ （4）如图，在Rt△ABC中,中∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知∠DCA=250, ∠A= , ∠B= . C B A D 250 650 课堂练习 1、 如图：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的中线，已知∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿，∠B＝____。 B C A D 20° 70° ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD=AD=BD= AB (直角三角形的斜边中线等于斜边的一半） ∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０° ∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０° （直角三角形两锐角互余） 课堂作业 2、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿ ∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０° ∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线 ∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６ （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半） ∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点， ∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线 (三角形的中位线等于第三边的一半） 课堂作业 3、如图，已知BC=20m， ∠B=∠C=30°， E、G分别为AB，AC的中点，P为BC的中点，且EF⊥BC， GH⊥BC，垂足分别为F，H，求EF、PG的长； A P C B F G H E 课堂作业 2、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍， （１）常用的定理： （2）添辅助线的方法： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半” 延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一半等于短的， 课堂小结 1、探究了直角三角形关于角、边的性质 谢 谢！ 华东师大版 数学 九年级上册 24.3.1 锐角三角函数 温故知新 Rt△ABC 有哪些性质？ 3、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4、在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的一半. 1、直角三角形两锐角互余. 2、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我校数学兴趣小组想得到旗杆的高度，当我们知道BC=50m，视线与水平线的夹角为340时，你能否直接求出旗杆的高度AB呢？(tan340=0.56) 情境导入 B A C 解决问题： 解决上面的问题，需要研究直角三角形的边与角之间的关系. 思考： 在直角三角形中，当一锐角大小不变时，对应边的比值是否会变？ 思考：在Rt△AB3C3中，当锐角A取其它的固定值的时候，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？ A B3 C3 C1 C2 B2 B1 即 =k 分析：易知 Rt△AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 ∴ 结论：在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，它的对边与邻边的比值是一个定值。 实际上由相似可得它对边与斜边，阾边与斜边的比也是一个定值. 为了便于研究交流，首先要弄清楚对边、邻边的概念. Rt△ABC，斜边AB用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示. 对边、邻边的概念 如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________; 　　∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;（口答.） MN PN PN MN 概念辨析 1、直角三角形中，当一锐角固定时，它对边、邻边、斜边的比值也一定. 2、这些比值为了便于称呼，数学家分别给它们起了三个名字：正弦、余弦、正切. 分别一一介绍. 三角函数 在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b ┌ 斜边C 正弦 sin A= 在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即 余弦 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b ┌ 斜边C cos A= tan A= 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 正切 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b ┌ 斜边C 锐角三角函数 正弦： 余弦： 正切： 三 角 函 数 tan A= cos A= sin A= 例1：求出如图所示的Rt△ABC中，∠A 、∠B的三角函数值. A C B 15 8 练习：1 、在Rt△ABC中，∠C=900，斜边AB是直角边AC的3倍。求∠A的三角函数值. B C A 规律：同一锐角的正余弦的平方和等于1. 定义的应用 1. 取值范围： A C B 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 说明理由. 2. 同角之间的三角函数的关系 2 已知sinA= ,求∠B的三角函数值. A C B 3、我校数学兴趣小组想得到旗杆的高度，当我们知道BC=50m，视线与水平线的夹角为340时，你能否直接求出旗杆的高度AB呢？(tan340=0.56) 情境导入 B A C 作业： P107：练习2、3. 24.3.2 特殊角的三角函数值 华东师大版 数学 九年级上册 59 复习导入 探索新知 1.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求∠A的三个三角函数值。 解：设∠A所对的直角边为1，即BC=1，则AB=2，由勾股定理得： sin30°= cos30°= tan30°= 探索新知 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三个三角函数值。 解：若设AC=BC=1，则AB= ， 易得， sin45°= cos45°= tan45°=1. 例1 求值：sin30°∙tan30°+cos30°∙tan60°. 解：原式= . 例2 在Rt△ABC中，若sinA= .则cos 的值是多少？ 解： 巩固练习 答案:1.sin60°，cos45; sin45°，cos45°; tan45°，tan60°. 2.（1）1.（2）6.（3） 3.45°. 应用拓展 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到D，使DA=AB，连结BD．利用这些条件，你能否求出tan15°的值？ 24.3.2 特殊角的三角函数值 华东师大版 数学 九年级上册 68 复习导入 探索新知 1.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求∠A的三个三角函数值。 解：设∠A所对的直角边为1，即BC=1，则AB=2，由勾股定理得： sin30°= cos30°= tan30°= 探索新知 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三个三角函数值。 解：若设AC=BC=1，则AB= ， 易得， sin45°= cos45°= tan45°=1. 例1 求值：sin30°∙tan30°+cos30°∙tan60°. 解：原式= . 例2 在Rt△ABC中，若sinA= .则cos 的值是多少？ 解： 巩固练习 答案:1.sin60°，cos45; sin45°，cos45°; tan45°，tan60°. 2.（1）1.（2）6.（3） 3.45°. 应用拓展 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到D，使DA=AB，连结BD．利用这些条件，你能否求出tan15°的值？ 华东师大版 数学 九年级上册 24.4 解直角三角形 77 一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角； 2 方向角； 3 坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等. 再依据题意画出示意图，根据条件求解. 二、解实际问题常用的两种思维方法： （1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合； （2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现. 78 D 15° 例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= ， ∴tan30°= . 在此图基础上，通过添加适当 的辅助线，可求出tan15°的值. 请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值. A C B 1 2 30° 解：延长CB至D，使BD=AB，连结AD，则∠D=15°， tan15°= . A C B 1 2 30° D E x 2 79 例2 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米．要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建 ____ 阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算； 取1.732）． A C B 30° 解：在Rt△ACB中，∠C=90°， ∴BC=AC·tan30°=9× =3 =5.196 ∴此阶梯的阶数= 26（阶）. 故填上26. 9米 A O F B C 80 例3 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元 h 30米 20米 150° 解：如图所示，作出此三角形的高h. 则S△= ×AC×BD×sin（180°－150°） = ×30×20× =150（平方米） ∴购买这种草皮至少需要150a元.故选（C）. A B C D 81 例4 在生活中需测量一些球（如足球、篮球••••••）的直径.某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，ABC=37°.请你计算出球的直径. (精确到1cm，可用数据:sin37°=0.6，cos37°=0.8). D E F A C B 37° G 解：过A作AGCB，垂足为G，则AG=EF.在RtABG中， ∵ sinB= ， AG=AB•sinB=41.5•sin37°=41.50.6= 24.9 25(cm)， 即EF25cm. 答：球的直径约为25cm. 82 例5 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.问距离 B点8米远的保护物是否在危险区内？ C D B E 30° 60° A 解：过点C作CEAB于E. 在Rt△CBE中，tan30º= BE=CE• tan30º= 在Rt△CAE中，tan60º= AE=CE• tan60º= AB=AE+EB= 6.92(米） 8(米） 距离 B点8米远的保护物不在危险区. 83 ⑴若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. ⑵轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去.为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数， ）？ 北 东 D A B 30° 例6 如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100里. 84 解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则有AC2+AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=AB－BE=100－40t，EC=20 ，则（20t）2+（100－40t）2=(20 )2， 若可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风. 解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=100－40t，EC=20 ，在Rt△AEC中，由勾股定理，得(20t)2+(100－40t)2=(20 )2， 整理，得t2－4t+3=0 ① ∵△=（－4）2－4×1×3=4>0， ∴途中会遇到台风. 解①得，t1=1，t2=3 ∴最初遇到台风的时间为1小时. A C E B 北 南 西 东 85 解题点拨： ⑵先求出台风抵达D港的时间t，因AD=60，则60t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度. 解： ⑵设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点. 过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM. 在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60° ∴DF=30 ，FA=30 又FM=FA+AB－BM=130－40t，MD=20 ∴（30 ）2+（130－40t）2=(20 )2 整理，得4t2-26t+39=0 解之，得 ∴台风抵达D港的时间为 小时. ∵轮船从A处用 小时到达D港的速度为60÷ ≈25.5. ∴为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时. D A M B 30° 北 东 F 86 例7 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，（1）假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 解题点拨 （1） 作AB⊥MN于B，求出AB，若AB≤100米，则受影响，若AB>100米，则不受影响. M P Q N A B 30° 160 解（1）作AB⊥MN，B为垂足. 在Rt△ABP中 ∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160米， ∴AB= AP=80米 ∴点A到直线MN的距离小于100米. ∴这所中学会受到噪声的影响. 87 M P Q N A C D B （2）如图，如果以点A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连结AC、AD，那么AC=AD=100（米）. 根据勾股定理和垂径定理，CB=DB = =60（米）， ∴CD=120（米） 学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=24秒. 解题点拨 （2） 既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即以A为圆心，100米为半径画圆A，则⊙A交MN于C、D两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理可求CD. 88 小结： 1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题. 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决. 89 作业： 如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米. （1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米， ）； （2）请你设计出一种更简便的估测方法. 30° C D B E A 90 如图，客轮沿折线A—B—C，从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍. ⑴ 选择：两船相遇之处E点（ ） （A）在线段AB上 （B）在线段BC上 ⑵ 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号) A B C D 91 谢谢！ 92 $$