精品解析：2024-2025学年八年级上学期人教版数学期中培优训练试卷

2024-2025学年第一学期八年级数学期中培优训练试卷 试卷满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 、，所以不能组成三角形； 、，所以不能组成三角形； 、，所以不能组成三角形； 、，所以能组成三角形； 故选：． 3. 如图，如果，周长是 cm， cm， cm，，则为（　　） A. 10cm B. 8 cm C. 12 cm D. 9 cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长是 cm， cm， cm就可求出第三边的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长． 【详解】解：周长是 cm， cm， cm， cm． ，， cm． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边． 4. 等腰三角形两边长为3cm和5cm，则它的周长是（　　） A. 11cm B. 13cm C. 11cm或13cm D. 以上答案都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】分3cm是腰长与底边两种情况讨论求解即可． 【详解】①3cm是腰长时，三角形的三边长分别为：3cm、3cm、5cm， 能组成三角形， 周长=3+3+5=11cm； ②3cm是底边时，三角形的三边长分别为：3cm、5cm、5cm， 能组成三角形， 周长=3+5+5=13cm， 综上所述，它的周长是11cm或13cm． 故选C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于要分情况讨论求解． 5. 如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定和三角形内角和定理，由点在内，且到三边的距离相等，则为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴为三角形三个内角的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，中，是的角平分线，是高线，当，时，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】在中，，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的判定与性质．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合题意可得，根据角平分线的性质得，再根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据线段的和差，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 又，， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先证得是线段的垂直平分线，得到，再证得，进而求得、的长，即可求得. 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质以及的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用性质是解题的关键. 9. 如图，在中，点分别在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得出，根据，得出，求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有（　　） A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知； ②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③同②得：，即可得出结论； ④过点C作于点M，于点N，根据，得出，然后得出平分． ⑤利用，利用三角形外角性质，得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ②在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴ ∴，故②正确； ③由②可知，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴，故③正确； ④如图，过点C作于点M，于点N， 由①可知，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分，故④正确； ⑤由①可知，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤． 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为___． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 12. 如图，点在同一条直线上，欲证，已知，还需要添加条件_________（填写一个条件即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线性质．根据题意得，再添加一个条件与和判定即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加一个条件为：， 在和中， ， ∴（AAS） 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图所示，，，，，，则______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，证明，进而得到，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质；根据等边对等角得出，则可得出的度数，并且和度数相等，同理依次求得为顶点的角的度数，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为___________ 【答案】（3，-3） 【解析】 【分析】根据余角的性质，可得∠GHP=∠HKQ，根据全等三角形的判定与性质，可得KQ，HQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案． 【详解】解：作GP⊥y轴，KQ⊥y轴，如图， ∴∠GPH=∠KQH=90°． ∵GH=KH，∠GHK=90°， ∴∠GHP+∠KHQ=90°． 又∠HKQ+∠KHQ=90°， ∴∠GHP=∠HKQ． 在△GPH和△HQK中， ∵∠GPH=∠HQK，∠GHP=∠HKQ，GH=KH， Rt△GPH≌Rt△KHQ（AAS）， KQ=PH=4﹣1=3；HQ=GP=4． ∵QO=QH﹣HO=4﹣1=3， ∴K（3，﹣3）， 故答案（3，﹣3）． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出KQ，HQ是解题关键． 16. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，于H交于G．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；利用证出，根据全等三角形的性质可得，再根据即可判断③正确；连接，先根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中可得，结合即可判断④错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，结论②正确； 平分， ， 和中， ， ， ， 由上已证：， ， ，结论③正确； 如图，连接， 在等腰中，， 垂直平分， ， 在中，， ， 又， ，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积是________． （3）在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题及三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点的位置，顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接与直线l的交点即为所求点P． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 18. 如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，根据角平分线定义求出的度数，在中，可求得的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴． ∵是高，， ∴， ∴， ． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】证明见解答过程 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长为6 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 21. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，． 又， ． ； 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 在中，，，是过点A的一条直线，且于点D，于点E． （1）如图（1），B，C在的同侧，试说明：． （2）若直线绕点A旋转，使B，C在两侧，如图（2）（3），则，与的关系如何？请分别写出结论． 【答案】（1）见解析 （2）图（2）中；图（3）中 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，根据，得出； （2）根据解析（1）的证明方法得出，根据图形得出线段之间是关系即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在图（2）中，；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 在图（3）中，；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 23. 我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图所示，已知在中，，厘米，厘米，为的中点，如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示的长度； （2）若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）当时，能够使与全等 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． （1）根据题意用来求解． （2）根据当时，再是的中点得到，根据判定三角形全等的求解． （3）根据点的运动速度不相等得到，当与全等，且，根据全等三角形的性质求出运动时间，然后用来求解． 【小问1详解】 解：，点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动， ． 【小问2详解】 解：． 理由：当时，由题意得：，． ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． 【小问3详解】 解：∵点的运动速度不相等， ∴． 当与全等，且， ∴，． ∵，， ∴． ∴，． ∴当时，能够使与全等． 24. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样数量关系？并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【小问1详解】 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； 【小问2详解】 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． 【小问3详解】 解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期八年级数学期中培优训练试卷 试卷满分：120分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，如果，周长是 cm， cm， cm，，则为（　　） A. 10cm B. 8 cm C. 12 cm D. 9 cm 4. 等腰三角形两边长为3cm和5cm，则它的周长是（　　） A. 11cm B. 13cm C 11cm或13cm D. 以上答案都不正确 5. 如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 如图，中，是的角平分线，是高线，当，时，的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，点分别在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有（　　） A ①⑤ B. ①②⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为___． 12. 如图，点在同一条直线上，欲证，已知，还需要添加条件_________（填写一个条件即可） 13 如图所示，，，，，，则______． 14. 如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是______． 15. 课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为___________ 16. 如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，于H交于G．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积是________． （3）在直线l上找一点P，使的长最短． 18. 如图，是的高，是的角平分线，若，．求和的度数． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 21. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 在中，，，是过点A的一条直线，且于点D，于点E． （1）如图（1），B，C在的同侧，试说明：． （2）若直线绕点A旋转，使B，C在的两侧，如图（2）（3），则，与的关系如何？请分别写出结论． 23. 我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图所示，已知在中，，厘米，厘米，为的中点，如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含代数式表示的长度； （2）若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 24. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$