第一章　直角三角形的边角关系 课件-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第1课时　正　切 1. （2024·云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°， AB＝3，BC＝4，则tan A＝（　C　） A. B. C. D. （第1题） C 2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边 上的高，则下列选项中不能表示tan B的是（　D　） A. B. C. D. （第2题） D 3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，BD＝8，tan∠ABD＝ ，则线段AB的长为 （　C　） A. B. 2 C. 5 D. 10 （第3题） C 4. 【教材改编】在Rt△ABC中，∠C＝90°.若5AB＝ 13AC，则tan A＝ ⁠. 5. 一条上山直道的坡度为i＝1∶3，沿这条直道上山，每 前进100 m所上升的高度为 m. 　 10 　 6. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身 的人越来越多.为方便群众步行健身，某地政府决定对 一段如图1所示的坡路进行改造.如图2，∠E＝90°， 改造前的斜坡AB＝200 m，坡度为1∶ ；将斜坡的高 度AE降低AC＝20 m后，斜坡AB改造为斜坡CD，其 坡度为1∶4.求斜坡CD的长.（结果保留根号） （第6题） 解：∵∠E＝90°，AB＝200 m， 斜坡AB的坡度为1∶ ， ∴设AE＝x m，则BE＝ x m. 由题意，得x2＋（ x）2＝2002， 解得x＝100（负数舍去）. 又∵AC＝20 m，∴CE＝80 m. ∵∠E＝90°，斜坡CD的坡度为1∶4， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴DE＝320 m， ∴CD＝ ＝80 （m）. 答：斜坡CD的长是80 m. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负 半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，且OC∶BC＝1∶2， 连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P. 若P （1，1），则tan∠OAP的值是（　C　） A. B. C. D. 3 （第7题） C 8. （1）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE ＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝ ⁠； [第8（1）题] －1　 （2）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝ 6，现将△ABC沿DE翻折，使点A与点B重合，折痕为 DE，则tan∠BED的值是 ⁠. [第8（2）题] 　 9. 如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝ （x＞ 0），y＝－ （x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则 tan A的值为 ⁠. （第9题） 2　 10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分 别是AC，AB的中点，点O是DF的中点，EO的延长线 交BD于点G，连接DE，EF，FG. （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （1）证明：∵点E，F分别是AC，AB 的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO. ∵点O是DF的中点，∴OF＝OD. （第10题） 在△OEF和△OGD中， ∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝ GD， ∴四边形DEFG是平行四边形. （第10题） （第10题） （2）当AD＝5，tan∠EDC＝ 时，求FG的长. （2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∵点E是AC的中点，∴DE＝ AC＝CE， ∴∠C＝∠EDC，∴tan C＝ ＝ tan∠EDC＝ . ∵AD＝5，∴CD＝2， （第10题） ∴AC＝ ＝ ＝ ， ∴DE＝ AC＝ . 由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形， ∴FG＝DE＝ . （敢于挑战，突破自我） 11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的 延长线上，连接CD. 若AB＝2BD，tan∠BCD＝ ， 则 的值为（　B　） A. 1 B. 2 C. D. （第11题） B 12. 如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点， AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 ⁠. （第12题） 　 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝ ， 点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE＝6， DB＝20，求tan∠BCD的值. （第13题） 解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴ ＝ ，∠BCD＝∠CDE， ∠ADE＝∠B， ∴tan∠ADE＝tan B＝ . 在Rt△ADE中，tan∠ADE＝ ＝ ，DE＝6， ∴AE＝ DE＝ ×6＝8， ∴AD＝ ＝10，∴ ＝ ， （第13题） 解得CE＝16. 在Rt△CDE中，tan∠CDE＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠BCD＝ . （第13题） $$第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第2课时　正弦和余弦 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC ＝3，则下列结论中正确的是（　C　） A. sin A＝ B. cos A＝ C. tan A＝ D. cos A＝ （第1题） C 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，则 cos A的 值是（　C　） A. B. C. D. C 3. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6， sin A＝ ，则 边AB的长是（　B　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 （第3题） B 4. （1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 斜边AB上的高，下列线段的比值等于 cos A的值的 有 个； [第4（1）题] ① ；② ；③ ；④ . 3　 （2）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的对边分别 为a，b.若a＝3，b＝ ，则 sin B＝ 　 　， cos B ＝ ⁠. 　 　 5. 比较大小：tan 35° tan 22°， sin 40° sin 70°， cos 40° sin 50°. ＞　 ＜　 ＝　 （1）求∠B的正弦、余弦和正切值； （1） sin B＝ ＝ ， cos B＝ ＝ ， tan B＝ ＝ . （第6题） 解：易得△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. 6. 如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13， D为BC的中点. （2）∵D为BC的中点，∴CD＝ BC＝6. 在Rt△ACD中，∵AC＝5， ∴AD＝ ＝ . ∴ sin ∠ADC＝ ＝ ＝ ， cos ∠ADC＝ ＝ ＝ ， tan ∠ADC＝ ＝ . （第6题） （2）求∠ADC的正弦、余弦和正切值. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中 点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6， sin A ＝ ，则DE的值为（　A　） A. 2 B. 3 C. D. 4 （第7题） A 8. 如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长 为1，顶点为格点.若△ABC的顶点均是格点，则 cos ∠BAC的值是（　C　） A. B. C. D. （第8题） C 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1， CD＝8，AC⊥CD. 若 sin ∠ACB＝ ，则 cos ∠ADC ＝ ⁠. （第9题） 　 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， 过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE. （1）求证：四边形ADCE是矩形； （1）证明：∵AE∥BC，且AE＝DC， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形. （第10题） （2）若AB＝5， cos B＝ ，求CE的长. （2）解：∵∠ADC＝90°，AB＝5， cos B＝ ＝ ， ∴BD＝ AB＝3. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 AD＝ ＝ ＝4. 由（1）可知，四边形ADCE是矩形， ∴CE＝AD＝4. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中 点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点 G. 若 cos B＝ ，则FG的长是（　B　） A. 3 C. B. D. （第11题） B 12. （2024·成都外语校）如图，在矩形ABCD中，AB ＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则 sin ∠ECF ＝ ⁠. （第12题） 　 （第13题） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别 在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E， AE＝2， cos A＝ ，求： （1）DE，DC的长； 解：（1）在Rt△ADE中，AE＝2，cos A＝ ＝ ，∴AD＝4， ∴DE＝ ＝2 . ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝2 . （2）tan∠DBC的值. 解：（2）由（1），得AC＝AD＋DC＝4 ＋2 .∵ cos A＝ ＝ ， ∴AB＝2AC＝8＋4 ， ∴BE＝AB－AE＝6＋4 . 易证△DEB≌△DCB，∴BC＝BE＝6＋4 . 在Rt△BDC中，tan∠DBC＝ ＝ ＝2－ . （第13题） $$第一章　直角三角形的边角关系 2　30°，45°，60°角的三角函数值 1. tan 45°的值等于（　B　） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，则 ∠B的度数是（　C　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° B C 3. 计算 ＋ × cos 45°的结果，正确的是 （　B　） A. B. 3 C. 2 ＋ D. 2 ＋2 B 4. 计算： （1） ＝ 　2－ 　； （2） cos 60°－ ＝ 　－ 　； （3）2－3＋ sin 30°＝ ⁠； （4） －4 cos 60°＋ ＋（4－π）0 ＝ ⁠. 2－ 　 － 　 　 　 5. （1）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上 的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为 ⁠； [第5（1）题] 　 （2）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山.如图， 施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度， 要在小山的另一侧D处（A，C，D共线）同时施工.测 得∠CAB＝30°，AB＝4 km，∠ABD＝105°，则BD 的长为 km.（结果保留根号） 2 　 [第5（2）题] 6. 计算： （1）2 sin 30°＋3 cos 60°－4tan 45°； 解：原式＝2× ＋3× －4×1 ＝－ . （2） sin 2 60°＋ cos 60°－tan 45°； 解：原式＝ ＋ －1 ＝ . （3） cos 245°＋tan 60°· cos 30°－3tan230°＋ 4 sin 230°； 解：原式＝ ＋ × －3× ＋4× ＝2. （4） sin 30°·tan 60°－tan 45°＋ . 解：原式＝ × －1＋ ＝ . 7. 若∠A是锐角，且 sin A＝ ，则（　A　） A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° A 8. （1）若α为锐角，当 无意义时， sin （α＋ 15°）＋ cos （α－15°）的值为 ⁠； （2） 定义一种运算： sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β.例 如：当α＝45°，β＝30°时， sin （45°＋30°）＝ × ＋ × ＝ ，则 sin 15°的值为 　 　. 　 　 9. （1）已知∠α为锐角，且 sin 2α＋ sin 260°＝1，则 ∠α的度数为 度； （2）已知∠α为锐角，且满足tan （90°－α）＝ ， 则∠α的度数为 度. 30　 30　 10. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6 m，坡 面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8 m处 （即PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门 决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ .（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （1）若新坡面的坡角为α，求坡角α的度数； 解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡 面的坡度为1∶ ， ∴tan α＝ ＝ ，∴α＝30°. （2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3 m时应拆 除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明 理由. 解：（2）该文化墙PM不需 要拆除.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于 点D，则CD＝6 m. （第10题） ∵新坡面的坡度为1∶ ， ∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ ， ∴AD＝6 m. ∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6 m， ∴BD＝6 m， ∴AB＝AD－BD＝（6 －6）m. ∴PA＝PB－AB＝8－（6 －6）≈3.6（m）. ∵3.6 m＞3 m，∴该文化墙PM不需要拆除. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. 关于x的一元二次方程x2－ x＋ sin α＝0有两个相 等的实数根，则锐角α等于（　B　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° B 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起.若AB ＝14 cm，则图中阴影部分的面积是 ⁠. （第12题） cm2　 13. 如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方 A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB ＝54 cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°. （第13题） （1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）； 解：（1）如答案图，过点C作CM⊥AB于点M， 则∠CMA＝∠CMB＝90°. ∵∠CAM＝45°，∠CBM＝60°， ∴AM＝CM，BM＝ . ∵AB＝54 cm，∴CM＋ ＝54， ∴CM＝81－27 ≈35.1（cm）， ∴点C到AB的距离约为35.1 cm. （答案图） （2）若点C到地面的距离CD为30 cm，坐垫中轴E与 点B的距离BE为4 cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调 节）.茜茜根据自己身高比例，算出当坐垫E到地面的 距离为70 cm时自己乘坐该自行车最舒适.茜茜坐上该自 行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高 度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位 小数，参考数据： ≈1.4， ≈1.7） 解：（2）∵坐垫E到地面的距离为70 cm时，茜茜乘坐 该自行车最舒适， ∴点E到AB的距离为70－30－35.1＝4.9（cm）. 如答案图，过点E作EN⊥AB于点N， 则EN＝4.9 cm，∠ENB＝90°. （答案图） ∵∠EBN＝∠CBM＝60°， ∴BE＝ ＝ ＝ ≈5.6（cm）. ∴需将BE调长5.6－4＝1.6（cm）. 答：茜茜应该将坐垫E调长1.6 cm. $$第一章　直角三角形的边角关系 3　三角函数的计算 1. 一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 m，其 铅直高度上升了15 m.在用科学计算器求坡角α的度数 时，具体按键顺序是（　A　） （第1题） A 2. 当∠A为锐角，且 cos A＝ 时，∠A的范围是 （　D　） A. 0°＜∠A＜30° B. 45°＜∠A＜60° C. 60°＜∠A＜90° D. 30°＜∠A＜45° D 3. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm， 则高AD的长约为（参考数据： sin 27°≈0.45， cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）（　B　） A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm （第3题） B 4. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为 31°，AB的长为12 m，则大厅两层之间的高度 为 m.（结果保留两位小数.参考数据： sin 31°≈0.515， cos 31°≈0.857，tan 31°≈0.601） （第4题） 6.18　 5. 用计算器计算： （1） sin 55°≈ ；（精确到0.01） （2） cos 57°32'58″≈ ；（精确到0.001） （3） cos 220°－tan 220°≈ ；（精确到 0.001） （4）若 cos A＝0.235 8，则锐角A≈ ⁠； （精确到1″） （5）若 sin （90°－A）＝ ，则 cos A＝ 　 　； （6）若tan 35°·tan A＝1，则锐角A＝ ⁠. 0.82　 0.537　 －1.605　 76°21'40″　 　 55°　 6. 如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网 格的格点上，则tan（α＋β） tan α＋tan β.（填 “＞”“＜”或“＝”） （第6题） ＞　 7. 用计算器求 sin 15°， sin 25°， sin 35°， sin 45°， sin 55°， sin 65°， sin 75°， sin 85°的值， 研究 sin α的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判 断：若 ＜ sin α＜ ，则（　A　） A. 30°＜α＜60° B. 30°＜α＜90° C. 0°＜α＜60° D. 60°＜α＜90° A 8. 若一个直角三角形有两条边的长分别为3和4，则该 直角三角形中较小锐角的度数约为 ⁠. （精确到1°） 9. 若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如 下：2 x2 － sin 3 0 － （ 1 ÷ 8 ） ＝按键的结 果为a； 1 6 － 2 xy 3 ＋ 3 ÷ 2 ＝按键的结果为b， 则a＋b的值为 ⁠. 37°或41°　 　 10. 如图，某建筑物AD楼顶立有高为6 m的广告牌 DE，小雪准备利用所学的三角函数知识估测此建筑物 的高度，她从地面点B处沿坡度为i＝3∶4的斜坡BC步行 15 m到达点C处，测得广告牌底部点D的仰角为45°， 广告牌顶部点E的仰角为53°.（小雪的身高忽略不 计，参考数据： sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3） （1）求点C距离水平地面的高度； 解：（1）如图，过点C作CG⊥AB于点G. ∵斜坡BC的坡度i＝ ＝ ， BC＝15 m， ∴CG＝9 m， 即点C距离水平地面的高度为9 m. （2）求建筑物AD的高度. 解：（2）如图，过点C作CF⊥AE于点F. ∵CF⊥AE，CG⊥AB，EA⊥AB， ∴∠CGA＝∠GAF＝∠AFC＝90°， ∴四边形AFCG为矩形，∴AF＝CG＝9 m. 设DF＝x m. 在Rt△DCF中，∠DCF＝45°， ∴CF＝DF＝x m. 在Rt△ECF中，∠ECF＝53°， ∴tan∠ECF＝ ＝ ≈1.3，解得x≈20， ∴DF≈20 m，∴AD＝AF＋DF≈9＋20 ＝29（m）， ∴建筑物AD的高度约为29 m. （敢于挑战，突破自我） 11. 下列结论中正确的有（　C　） ① sin 20°＋ sin 30°＝ sin 50°； ②tan 40°·tan 50°＝1； ③ sin 234°＋ cos 2β＝1，则锐角β＝34°； ④若∠A为锐角，且 sin A＝ cos 28°，则∠A＝62°. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 12. （2024·盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高 度，将无人机垂直上升到距地面30 m的点P处，测得教 学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向 水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角 为45°，则教学楼AB的高度约为 m.（结果精确 到1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75） 17　 （第12题） 13. 千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一.某校数 学社团的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度，如图 2，他们在桥下地面CM上架设测角仪CM（测角仪垂直 于地面放置），此时测得桥塔最高点A的仰角∠ACE＝ 37°，然后将测角仪沿MB方向移动60米到达点N处， 并测出点A的仰角∠ADE＝45°，测角仪高度CM＝ DN＝1.6米.（点M，N，B在同一水平线上，AB⊥ BM，结果保留到个位，参考数据： sin 37°≈0.6， cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75， sin 72°≈0.95， cos 72°≈0.3，tan 72°≈3， ≈1.41） （1）桥塔的高度AB约为多少米？ 解：（1）如图2，延长CD交AB于点F， 由题意，得CD＝MN＝60米， DF＝BN， ∠AFD＝90°，CM＝DN＝BF＝1.6米. 设DF＝x米，则CF＝（x＋60）米. 在Rt△ADF中，∠ADF＝45°， ∴AF＝x米. 在Rt△ACF中，∠ACE＝37°， tan 37°＝ ＝ ≈0.75，∴x≈180， ∴AB＝AF＋BF＝180＋1.6≈182（米）. 答：桥塔的高度AB约为182米. （2）如图3，在（1）问条件下，小渝在洪崖洞某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A的仰角∠AQG＝18°， 最低点B的俯角∠BQG＝53°，则小渝所在地Q处与 AB的水平距离约为多少米？ 解：（2）如图3，延长QG交AB于点M. 由题意可知，QM⊥AB，AB＝182米. ∵∠AQG＝18°，∠BQG＝53°， ∴∠A＝72°，∠B＝37°. 设AM＝y米，则BM＝（182－y）米. ∵tan A＝tan 72°＝ ≈3， tan B＝tan 37°＝ ≈0.75， ∴3y＝0.75（182－y），解得y＝36.4， ∴QM＝AM·tan 72°≈36.4×3≈109（米）， ∴小渝所在地Q处与AB的水平距离约为109米. $$第一章　直角三角形的边角关系 4　解直角三角形 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ ，BC＝1，则 ∠B＝（　B　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° B 2. 如图，已知在△ABC中，AB＝4 ，tan C＝ ，过 点A作AD⊥BC交边BC于点D，且AD＝BD，则BC的 长为（　C　） A. 8 B. 8 C. 7 D. 7 （第2题） C 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边 的中点，连接CD. 已知CD＝4， cos ∠BCD＝ ，则 BC的值为（　C　） A. B. 2 C. 4 D. 4 （第3题） C 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的 中点，连接CD. 若BC＝4，CD＝3，则 cos ∠DCB的 值为 ⁠. （第4题） 　 5. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝ ，AC＝ 2 ，则AB的长是 ⁠. （第5题） 5　 6. 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对 的边分别为a，b，c.若a＝ ，c＝2，求∠A，∠B 的度数及b的值. 解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝ ，c＝2， ∴b＝ ＝ ＝1， sin A＝ ＝ ，∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝ 30°. 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°， BC＝6 ，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD 的长为（　B　） A. 6 B. 12 C. 6 D. 6 （第7题） B 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C 均在格点上，则tan A的值为 ⁠. （第8题） 　 9. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝ CE，连接BE，则tan∠EBC＝ ⁠. （第9题） 　 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ 3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为 E，连接CE，求： （1）线段BE的长； 解：（1）∵AD＝2CD，AC＝3， ∴AD＝2. 在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴∠A＝∠B＝45°，AB＝ ＝3 . （第10题） ∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°， ∴AE＝AD· cos A＝2× ＝ ， ∴BE＝AB－AE＝3 － ＝2 . （第10题） （2）∠ECB的正切值.　　　 解：（2）如答案图，过点E作EH⊥BC， 垂足为H. 在Rt△BEH中， （答案图） ∵∠EHB＝90°，∠B＝45°， ∴EH＝BH＝BE· cos B＝2 × ＝2. ∵BC＝3，∴CH＝1. 在Rt△CHE中，tan∠ECB＝ ＝ ＝2. （第11题） （敢于挑战，突破自我） 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，D 是AC上一点，连接BD. 若tan A＝ ，tan∠ABD＝ ， 则CD的长为（　C　） A. 2 B. 3 C. D. 2 C 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， cos A＝ ， 点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，将△ADE沿 DE翻折，点A的对应点为点F，线段DF恰好经过点C. 若DE＝EF，则 的值为 　 　. （第12题） 　 提示：过点E作EG⊥AB于点G. 设AG＝4，则AE＝ 5，EG＝3，由翻折及DE＝EF可得AE＝DE＝EF＝ 5，∠A＝∠ADE＝∠EDF＝∠F，∴AD＝DF＝8.易 得△ADC∽△DEC，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴DC＝ EC，∴ ＝ ＝ ，∴EC＝ ，由此求得AC的 值.由 cos A分别表示出BC，BD的值即可求解. 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的 垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D. （1）求 sin D的值； 解：（1）如答案图，过点A作 AH⊥BC于点H. （第13题） （答案图） ∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝ BC＝2. ∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6， ∴ sin ∠BAH＝ ＝ ＝ . ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠BED＝90°，BE＝3， ∴∠BED＝∠BHA. 又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D， ∴ sin D＝ sin ∠BAH＝ . （答案图） （2）求点C到直线DE的距离. 解：（2）如答案图，过点C作 CM⊥DE于点M. （答案图） ∵在△BED中，∠BED＝90°， sin D＝ ，BE＝3，∴BD＝ ＝9， ∴CD＝BD－BC＝9－4＝5. ∵在△MCD中，∠CMD＝90°， sin D＝ ＝ ， ∴CM＝ CD＝ ，即点C到直线DE的距离为 . $$第一章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 1. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点 P位于点A的正北方向，点C位于点A的北偏西46°.若 测得PC＝50 m，则小河宽PA为（　C　） A. 50 sin 44° m B. 50 cos 44° m C. 50tan 44° m D. 50tan 46° m （第1题） C 2. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处 测得点P在北偏东30°方向上.若AP＝6 km，则A， B两点间的距离为（　D　） A. 4 km B. 4 km C. 2 km D. 6 km （第2题） D （第3题） 3. 科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行. 如图，小蕊一家从A地自驾到风景区C游玩，导航显示 车辆应先沿北偏东60°方向行驶6 km至B地，再沿南偏 东42°方向行驶一段距离后到达风景区C. 若风景区C 在A地的正东方向，则A，C两地间的距离约为（参考 数据：tan 42°≈0.90， ≈1.73）（　D　） A. 4.1 km B. 5.2 km C. 5.9 km D. 7.9 km D 4. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴 趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的 北偏东30°方向上，沿正东方向行走60米至观测点D， 测得A在D的正北方向，B在D的北偏西60°方向上， 则A，B两点间的距离为 米. 90　 （第4题） 5. 如图，等腰Rt△ABC的直角边AB的长为6 cm，将 △ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB'C'，则图中 阴影部分的面积等于 cm2.（结果用根号表示） （第5题） 6 　 6. 如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A 处沿线段AC行至山谷点C处，再从点C处沿线段CB行 至山坡②的山顶点B处.如图2所示，将直线l视为水平 面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为 0.6 km，山坡②的坡度i＝1∶1，BN⊥l于点N，且CN＝ km. （第6题） （1）求∠ACB的度数； 解：（1）∵山坡②的坡度i＝1∶1， ∴CN＝BN， ∴∠BCN＝45°， ∴∠ACB＝180°－30°－45°＝105°. （第6题） （2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程. 解：（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°， ∠ACM＝30°，AM＝0.6 km， ∴AC＝2AM＝1.2 km. 在Rt△BCN中，∠BNC＝90°， ∠BCN＝45°，CN＝ km， ∴BC＝ ＝2 km， ∴AC＋BC＝1.2＋2＝3.2（km）. 答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2 km. （第6题） （第7题） 7. 如图，一艘游轮在海中航行，在点A看到小岛B在A 的北偏东25°方向距离60海里处，游轮沿北偏东70°方 向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则 游轮从A航行到C处的距离是（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）（　B　） A. 66海里 B. 67海里 C. 115海里 D. 116海里 B 8. 如图，一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO＝70°.如果将梯子的底端B外移 到点D，梯子的顶端A下移到点C，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC的长度为 m.（参考数据： sin 70°≈0.94， sin 50°≈0.77， cos 70°≈0.34， cos 50°≈0.64） 1.02　 （第8题） 9. A，B两市相距150 km，分别从A，B处测得国家级 风景区中心C处的方位角如图所示，tan α＝1.627，tan β＝1.373.已知风景区是以点C为圆心，r为半径的圆形 区域.为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B 两市的高速公路，则当r＝ km时，高速公路正好 经过风景区的边界. 50　 （第9题） 10. 如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线 路：①E－A－C；②E－D－C. 经 勘测，点A在点B的正西方10千米处， 点C在点B的正南方，点A在点C的北 偏西45°方向，点D在点C的正南方 20千米处，点E在点D的正西方，点A 在点E的北偏东30°方向.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73） （1）求DE的长度；（结果精确到1千米） 解：（1）如图，过点E作 EF⊥BA，交BA的延长线于点F， （第10题） （第10题） ∴∠EFA＝90°. 易知四边形EFBD是矩形， ∴EF＝BD，BF＝DE. 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， AB＝10千米， ∴BC＝10千米.∵CD＝20千米， ∴FE＝BD＝BC＋CD＝30千米. 在Rt△AEF中，∠AEF＝30°， ∴AF＝EF·tan 30°＝30× ＝ 10 （千米）， ∴DE＝BF＝AF＋AB＝10 ＋10≈27（千米）. 答：DE的长度约为27千米. （第10题） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑 行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 解：（2）在Rt△AEF中，∠AEF＝ 30°，AF＝10 千米， ∴AE＝2AF＝20 千米. 在Rt△ABC中，BC＝10千米， ∠ACB＝45°， ∴AC＝ ＝10 千米， ∴线路①的总路程为 AE＋AC＝20 ＋10 ≈48.7（千米）， 线路②的总路程为 ED＋CD＝10 ＋10＋20≈47.3（千米）. ∵47.3千米＜48.7千米， ∴小渝应该选择线路②. （敢于挑战，突破自我） 11. 重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i＝1∶2.4的 山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q 到坡底A的距离为3.9 m.同时为了提醒市民，在距离斜 坡底A点4.4 m的水平地面上立了一块警示牌MN. 当太 阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示 牌上的影子EN的长为3 m，则信号塔PQ的高约为（结 果精确到十分位.参考数据： sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3）（　B　） B A. 10.4 m B. 11.9 m C. 11.4 m D. 13.4 m （第11题） 12. 一艘在南北航线上的测量船，于点A处测得海岛B 在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛 B离此航线的最近距离是 海里.（结果保留小 数点后两位.参考数据： ≈1.732， ≈1.414） 5.49　 13. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为人们日常生 活中不可或缺的一部分.某天，小惠在位于点A处的家 中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到 商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送.根 据导航显示，点K在点A的南偏西30°方向800 米 处，点A在点B的北偏东75°方向，B，K两地相距 400 米（∠ABK＜90°），点C在点K的正西方向， 点D分别在点K，A的正东方向和正南方向.（参考数 据： ≈1.41， ≈2.24， ≈2.45） （1）求AB的长度； 解：（1）如图所示，过点K作KH⊥AB于点H. 由题意得，∠BAD＝75°， ∠KAD＝30°， （第13题） ∴∠HAK＝45°. 在Rt△AHK中， AH＝AK· cos ∠HAK＝800米， HK＝AK· sin ∠HAK＝800米. 在Rt△BKH中， 由勾股定理，得BH＝ ＝400米， ∴AB＝AH＋BH＝1 200米. （第13题） （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并 开始配送，由于道路K－A正在维修，骑手有两条送餐 路线可选择：①K－B－A，速度为每分钟320米；②K －D－A，速度为每分钟240米.请通过计算说明，骑手 选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 解：（2）在Rt△ADK中，DK＝AK· sin ∠DAK＝400 米， AD＝AK· cos ∠DAK＝400 米， ∴路线②所用时间为 ≈6.43（分钟）. 路线①所用时间为 ≈6.55（分钟）. ∵6.43＜6.55， ∵6.43＜6.55， ∴骑手选择路线②K－D－A的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家. $$第一章　直角三角形的边角关系 6　利用三角函数测高 （第1题） 1. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他 做了如下操作：①测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；②量 得测角仪的高度CD＝1.2 m；③量得测角仪到旗杆的水 平距离DB＝b m.利用锐角三角函数解直角三角形的知 识，旗杆的高度可表示为（　D　） A. m B. m C. （1.2＋b sin α）m D. （1.2＋btan α）m D 2. 如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯 角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上， 已知楼房AC＝32 m，CD＝16 m，则荷塘的宽BD为 （参考数据： sin 24°≈0.41， cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45）（　A　） A. 55.1 m B. 30.4 m C. 51.2 m D. 19.2 m （第2题） A 3. （2024·德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一 建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小 楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角 为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上）， 则建筑物CD的高为（　B　） A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. （10＋5 ）米 （第3题） B 4. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点 A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的 仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上.若AB＝ 20 m，则这棵树CD的高度约为 m.（结果精确 到0.1 m，参考数据： ≈1.732） （第4题） 12.7　 5. 如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物点A处测得 乙建筑物点D的俯角α为45°，点C的俯角β为58°， BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD 为6 m，则甲建筑物的高度AB为 m.（参考数 据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，结果保留整数） 16　 （第5题） 6. （2024·甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将 力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃 省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员 查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常 重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员 开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知 一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两 侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m（点C， H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰 角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风 电塔筒AH的高度.（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ） 解：如图，连接DF交AH于点G， 由题意，得CD＝EF＝GH＝1.6 m， DF＝CE＝182 m，DF⊥AH. 设DG＝x m， 则FG＝DF－DG＝（182－x）m. 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴AG＝DG·tan 45°＝x m. 在Rt△AFG中，∠AFG＝53°， ∴AG＝FG·tan 53°≈ （182－x）m， ∴x＝ （182－x），解得x＝104， ∴AG＝104 m， ∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6（m）， ∴风电塔筒AH的高度约为105.6 m. 7. 防洪大堤的横截面如图所示，已知AE∥BC，背水坡 AB的坡度i＝3∶4，且AB＝20 m.身高1.7 m的小明竖直 站立于点A，测得竖直的高压电线杆顶端点D的仰角为 24°.已知CB之间的距离为30 m，则高压电线杆CD的 高度为（参考数据： sin 24°≈0.41， cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45）（　C　） A. 30 m B. 32 m C. 34 m D. 36 m （第7题） C 8. 数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限 高杆MN的高度AB，如图，他们先用测角仪在C处测 得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在D处测得点A的仰 角∠AFG＝45°，已知点C，D，B在同一条直线上， 测角仪离地面高度CE＝1 m，CD＝2 m，则AB的高为 （　A　） A. （ ＋2）m B. （ ＋1）m C. （ ＋3）m D. （ ＋2）m （第8题） A （第9题） 17　 9. 如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学 应用实践小组根据光的反射定律，利用镜子、皮尺 和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放 在点O处，然后观测者沿着水平直线BO远离旗杆 AB方向退到点D，这时恰好能在镜子里看到 旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯 角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝ 1.7 m，BD＝11 m，则旗杆AB的高度约 为 m.（结果取整数， ≈1.7） 10. （2024·成都七中）如图1所示是电脑液晶显示器的 侧面图，显示屏AB可以绕点O旋转一定角度，研究表 明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线 上，且望向显示器屏幕形成一个16°俯角（即望向屏幕 中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛 比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平 线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝ 30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30 cm. （结果精确到0.1 cm，参考数据： sin 16°≈0.28， cos 16°≈0.96， ≈1.41， ≈1.73） （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE； 解：（1）由已知，得AP＝BP＝ AB＝15 cm， 在Rt△APE中，∠AEP＝16°， ∴AE＝ ＝ ≈ ≈53.6（cm）. 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距 离AE约为53.6 cm. （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC. 解：（2）如图2，过点B作BF⊥AC 于点F， ∵∠EAB＋∠BAF＝90°， ∠EAB＋∠AEP＝90°， ∴∠BAF＝∠AEP＝16°. 在Rt△ABF中， AF＝AB· cos ∠BAF＝30× cos 16° ≈28.8（cm）， BF＝AB· sin ∠BAF＝30× sin 16° ≈8.4（cm）. ∵BF⊥AC，AC⊥DC，∴BF∥CD， ∴∠CBF＝∠BCD＝30°， ∴CF＝BF·tan∠CBF＝8.4×tan 30°≈4.8（cm）， ∴AC＝AF＋CF＝28.8＋4.8＝33.6（cm）. 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为33.6 cm. （敢于挑战，突破自我） 11. 小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假 设树是竖直生长的.如图，用线段AB表示树，小李站在 点C测得∠BCA＝45°，小李从点C走4 m到达了斜坡 DE的底端点D，并测得∠CDE＝150°，从点D上斜坡 走了8 m到达E点，测得∠AED＝60°，点B，C，D 在同一水平线上，点A，B，C，D，E在同一平面 内，则大树AB的高度约为（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）（　B　） B A. 24.3 m B. 24.4 m C. 20.3 m D. 20.4 m 12. 家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课 后，进行了一次数学实践活动.如图，在同一水平面从 左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋 房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高 度.家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大 树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明 家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝ 1∶2.已知两家的水平距离BC＝120 m，大树的高度DE ＝3 m，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约 为 m.（结果精确到0.1 m.参考数据 sin 37°≈ ，tan 37°≈ ， sin 10°≈ ，tan 10°≈ ） （第12题） 48.1　 13. 如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物 O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直 线AO直接挖掘前往.经勘测，考古人员发现有两条线路 可以挖掘前往青铜古物O，线路①：A－C－D－O； 线路②：A－B－O. 其中点C在点A的正东方10米处， 点O在点C北偏西30°方向，点D在点C正北方，点O 在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在 点B北偏东30°方向.（参考数据： ≈1.41， ≈2.45） （1）求CD的长度；（结果保留根号） 解：（1）如图，过点O作OE⊥CD交CD的延长线于 点E. （第13题） （第13题） 在Rt△ODE中，OD＝20米，∠ODE＝45°， ∴OE＝OD· sin 45°＝ 20× ＝10 （米）， DE＝OD· cos 45°＝ 20× ＝10 （米）. （第13题） 在Rt△OCE中，OE＝10 米， ∠OCE＝30°， ∴OC＝ ＝20 米， CE＝ ＝10 米， ∴CD＝CE－DE＝ （10 －10 ）米. 答：CD的长度为（10 －10 ）米. （第13题） （2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的 平均速度为3米/时，在线路②挖掘的平均速度为3.2 米/时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到 古物O. 解：（2）由题意，知∠OBC＝∠OCB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝OC＝20 米， ∴AB＝（20 －10）米， ∴线路①挖掘需要的时间为 ≈13.47（小时）. 线路②挖掘需要的时间为 ≈14.5（小时）. ∵13.47＜14.5， ∴选择线路①能更快挖掘到古物O. $$第一章　直角三角形的边角关系 《直角三角形的边角关系》章末考点复习与小结 直角三角形的边角关系 ​ ​ ​ ​ ​ 1 ​ 考点一　锐角三角函数的定义 1. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与 CE相交于点O，则图中线段的比不能表示 sin A的式子 为（　C　） C （第1题） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线.已知AB＝10，tan B＝ ，则BC的长为（　D　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 （第2题） D 3. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则 cos ∠AOB的值是 ⁠. （第3题） 　 考点二　同角（余角）三角函数的关系及增减性 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则 cos A的值为（　B　） A. B. C. D. （第4题） B 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，则tan B的 值为（　D　） A. B. C. D. 6. 已知锐角α为△ABC的内角，且 cos α＝ ，则α的取 值范围是（　C　） A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90° D C 7. 比较大小： sin 24° cos 66°， cos 15° tan 75°. ＝　 ＜　 考点三　特殊角的三角函数值 8. （1）计算：（π＋2 025）0＋2 sin 45°－ ＋ ＝ ⁠； （2）在△ABC中，若 ＋2（1－tan B）2＝ 0，则∠C的度数为 ⁠. 9. 在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，BC＝2 ，那 么∠ABC的度数为 ⁠. 1　 75°　 45°或135°　 10. 计算： （1） sin 30°· cos 45°－ cos 60°· sin 45°； 解：原式＝ × － × ＝ － ＝0. （2）4 sin 30°－ cos 45°＋ ＋ tan 60°； 解：原式＝4× － × ＋1＋ × ＝2－1＋1＋3＝5. （3） ＋4 cos 60°· sin 45°－ ； 解：原式＝1＋4× × － ＝1＋ －（2－ ） ＝－1＋ ＋ . （4） sin 2 45°－ cos 60°－ ＋ 2 sin 30°·tan 60°. 解：原式＝ － － ＋2× × ＝ － － ＋ ＝ . 考点四　解直角三角形 11. 如图，在△ABC中， sin B＝ ，tan C＝2，AB＝ 3，则AC的长为（　B　） A. B. C. D. 2 （第11题） B 12. （1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， sin B ＝ ，DE⊥AB，CD＝DE，AC＝12，则BD ＝ ⁠； [第12（1）题] 10　 （2）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝CB， sin ∠BAD＝ ，∠BCD＝60°，连接AC，则 tan∠ACD＝ ⁠. [第12（2）题] 　 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB 的中点，BE⊥CD，垂足为E. 已知AC＝15， cos A＝ . （1）求△BCD的周长； （第13题） 解：（1）∵AC＝15， cos A＝ ， ∴AB＝ ＝25. ∴BC＝ ＝ ＝20. ∵△ACB为直角三角形，D是边AB的 中点， ∴CD＝DB＝ ＝12.5. ∴△BCD的周长＝12.5＋12.5＋20＝ 45. （第13题） （2）求 sin ∠DBE的值. 解：（2）∵AC＝15，AB＝25，BC ＝20，∴ cos ∠ABC＝ ＝ . ∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC. ∴ cos ∠DCB＝ cos ∠ABC＝ . （第13题） ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°. ∴ cos ∠DCB＝ ＝ .∴CE＝16. ∴DE＝CE－CD＝16－12.5＝3.5. ∴ sin ∠DBE＝ ＝ ＝ . （第13题） 考点五　三角函数的实际应用 14. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某 森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度 （或坡比）i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD， 测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26 m，在距山 脚点A水平距离6 m的点E处，测得古树顶端D的仰角 ∠AED＝48°（古树CD、山坡AB的剖面及点E在同 一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高 度约为（参考数据： sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11）（　C　） C A. 17.0 m B. 21.9 m C. 23.3 m D. 33.3 m （第14题） 15. 如图，轮船在A处观测到灯塔C位于 北偏西70°方向上，轮船从A处以每小 时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速 航行，2小时后到达码头B处，此时，观 测到灯塔C位于北偏西25°方向上，则 灯塔C与码头B的距离是 海里.（结果保留根号） （第15题） 20 　 16. （2024·眉山）如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜 坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平 面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 米，则大树AB的高为 米. （第16题） （4 －2 ）　 17. （2024·重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出 发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方 向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行 40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离 到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距 离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C 港.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） （1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一 位）； 解：（1）如图，过点B作 BE⊥AC，垂足为E， （第17题） 在Rt△ABE中，∠BAE＝45°， AB＝40海里， ∴AE＝AB· cos 45°＝20 海里， BE＝AB· sin 45°＝20 海里. 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°， ∴CE＝BE·tan 60°＝20 海里， ∴AC＝AE＋CE＝20 ＋ 20 ≈77.2（海里）. （第17题） （第17题） 答：A，C两港之间的距离约 为77.2海里. （第17题） （第17题） （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港 的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说 明. （第17题） 解：（2）甲货轮先到达C港，理由 如下： 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE ＝20 海里， ∴BC＝2BE＝40 海里， ∴甲货轮航行的路程为 AB＋BC＝40＋40 ≈96.4（海 里）. （第17题） 由题意，易得∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－60° ＝30°，∴CD＝ AC＝ （10 ＋10 ）海里，AD＝ CD ＝（10 ＋30 ）海里， ∴乙货轮航行的路程为 AD＋CD＝10 ＋30 ＋10 ＋10 ＝20 ＋40 ≈105.4（海里）. ∵96.4海里＜105.4海里，甲、乙两艘货轮的速度相 同， ∴甲货轮先到达C港. （第17题） $$第一章　直角三角形的边角关系 专题一　[方法]求锐角三角函数常用的方法 方法一　定义法 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则 ∠A的正切值为（　A　） A. 3 B. C. D. A 2. 如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点 A在格点上.则 cos ∠BAC的值为 ⁠. （第2题） 　 3. 如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＜ 0）的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x 轴，交y轴于点D. 若矩形OABC的面积是6， cos ∠OAC＝ ，则k＝ 　－ 　. （第3题） － 　 解析：∵ cos ∠OAC＝ ，∴ cos ∠OAC＝ ＝ ＝ .设AD＝2a，则AO＝3a，∴AC＝ a，∴ ＝ ＝ ，∴2S△AOD＝ ×2S△AOC＝ ×6＝ .∵k＜0，∴k＝ － . 方法二　巧设参数法 4. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， sin A＝ ，则 cos A 的值为 ⁠. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 为AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接 FB，则 sin ∠BFC的值为 ⁠. 　 　 （第5题） 6. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是 边AB上的点，且 ＝ ，连接CE，CF，则tan∠FCE 的值为 ⁠. （第6题） 　 7. 如图，在矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶4，E为BC边 上一点，将△AEB沿AE翻折得△AEB'，点B'恰好落在 CD边上，则 cos ∠BAE＝ ⁠. （第7题） 　 方法三　等角转换法 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂 足为D. 若AC＝2，AB＝3，那么 cos ∠BCD ＝ 　 　；tan∠ACD＝ 　 　. （第8题）　　　 　 　 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD为BC边上 的中线，BC＝10，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值 等于 ⁠. （第9题） 　 10. 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C为网 格线交点，AD⊥BC，垂足为D，则 sin ∠BAD的值 为 ⁠. （第10题）　　 　 11. 如图，在直角坐标系中放入矩形纸片ABCO，将纸 片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为点B'，折痕为 CE. 已知 sin ∠OB'C＝ ，CE＝5 ，则点E的坐 标是 ⁠. （第11题） （15，4）　 方法四　构造直角三角形法 12. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距 离相等.若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线l1 上，另两个顶点A，B分别在直线l3，l2上，则 sin α的 值是 ⁠. （第12题） 　 13. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD 的中点.若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则tan C ＝ ⁠. （第13题） 　 14. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点， AD⊥AB. 若BD＝2CD，tan∠CAD＝ ，则tan B ＝ ⁠. （第14题） 　 15. 如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线， AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD. 若tan∠BAC＝ ， 则tan∠DBC的值是 ⁠. 　 （第15题） 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝ ， 点D在AB上，且AD∶DB＝3∶1，求 cos ∠DCB的值. （第16题）　　 解：如答案图，过点D作DE⊥BC于点E. （答案图） ∵∠ACB＝90°，∴DE∥AC， ∴△BED∽△BCA，∠A＝∠EDB. ∵AD∶DB＝3∶1， ∴BE∶BC＝BD∶BA＝1∶4. （答案图） 设BE＝x，则BC＝4x，CE＝3x. ∵∠ACB＝90°，tan A＝ ，∠BDE＝∠A， ∴DE＝2x，∴CD＝ x， ∴ cos ∠DCB＝ ＝ . $$第一章　直角三角形的边角关系 专题三　[提升]三角函数的实际应用问题 1. 如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东30°方向走 1 000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行 走一段距离，到达位于地铁站南偏东45°方向的图书馆 C处. （1）求乐乐从博物馆B走到图书馆C的途中与地铁站A 之间的最短距离； （第1题） 解：（1）如答案图，过点A作AD⊥BC于点 D. 由题意，得AB＝1 000米，∠BAD＝60°， 在Rt△ABD中，AD＝AB· cos ∠BAD＝500 米. 答：乐乐从博物馆B走到图书馆C的途中与 地铁站A之间的最短距离为500米. （答案图） （2）如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿CA回到地 铁站A，那么他在10分钟内能否到达地铁站A？（ ≈1.414， ≈1.732） 解：（2）在Rt△ACD中，∠DAC＝45°， ∴AC＝ ＝ ＝500 ≈707 （米）， ∴乐乐回到地铁站A的时间为 707÷80＝8.837 5（分）. ∵8.837 5＜10， ∴他在10分钟内能到达地铁站A. （答案图） 2. 如图，四边形ABCD是某城市的休闲步道，小明家在 点A处，点B处是超市，点C处是公园，点D处是书店. 经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向， 点C在B的正西方向，BC＝300米，CD＝200米，点D 在点C的北偏西30°方向上.（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （1）求步道AD的长度（结果精确到个位）； （第2题） 解：（1）如答案图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DF于点G. （答案图） 在Rt△DCG中，∠DCG＝30°， ∴DG＝CD· sin 30°＝200× ＝100（米）. 易知四边形BCGF是矩形， ∴FG＝BC＝300米， ∴DF＝DG＋FG＝400米. 在Rt△ADF中，∠A＝45°， ∴AD＝ DF＝400 ≈566（米）. 答：AD的长度约为566米. （2）周末，小明和父亲在公园C处晨练，结束后两人 同时步行回家，已知小明的速度为70米/分，沿 C→D→A的方向行走，小明父亲的速度为100米/分， 沿C→B→A的方向行走，他们谁先到家？请说明理由. （结果精确到0.1） 解：（2）在Rt△DCG中， ∠DCG＝30°， ∴CG＝CD· cos 30°＝100 米， ∴BF＝CG＝100 米， 易知AF＝DF＝400米， ∴AB＝AF＋BF＝（100 ＋ 400）米， ∴小明到家所需时间为 ≈10.9（分）， （答案图） 小明父亲到家所需时间为 ≈8.7（分）. ∵10.9＞8.7， ∴小明父亲先到家. 答：小明父亲先到家. （答案图） 3. （2024·重庆）如图，A，B，C，D分别是某公园的 四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且 在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且 在B的北偏西15°方向，AB＝2千米.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （第3题） 解：（1）如答案图，过点B作BE⊥AC于点E， （答案图） 由题意，得∠CAB＝90°－30°＝60°， ∠ABC＝90°－15°＝75°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， AB＝2千米，∴BE＝AB· sin ∠BAE＝ 2· sin 60°＝ （千米）， AE＝AB· cos ∠BAE＝2· cos 60°＝1（千米）. 在Rt△BCE中，∠BCE＝45°， ∴BC＝ BE＝ ≈2.5（千米）. 答：BC的长度约为2.5千米. （答案图） （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路 线为：D－C－B，乙选择的路线为：D－A－B. 请计 算说明谁选择的路线较近？ 解：（2）由（1）可知，CE＝BE ＝ 千米， ∴AC＝AE＋CE＝ 千米， 根据题意，得∠DAC＝30°，∠D ＝60°. ∴∠ACD＝90°， ∴DC＝tan∠CAD·AC＝ （1＋ ） ＝ （千米）. （答案图） ∴DA＝2DC＝ 千米. 甲选择的路线长为DC＋BC＝ ＋ ≈4.0（千米）. 乙选择的路线长为DA＋AB＝ ＋2≈5.2（千米）. ∵4.0＜5.2，∴甲选择的路线较近. （答案图） 4. “办学110周年庆祝活动”的筹备小组为了更好地服 务校友们，特绘制了校园地图.学校大门在点A处，格 致楼B在学校大门的北偏西60°方向相距100米处，博 雅楼C在格致楼B的正北方向，万象楼D在学校大门A 的正北方向80米处，在操场E的西南方向，操场E在博 雅楼C的正东方向，在学校大门A的北偏东30°方向. （参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） （1）求DE的长度；（结果精确到1米） 解：（1）如答案图，延长AD交 CE于点M. （第4题） （答案图） 由题中方位可知，MA⊥CE，∠EDM＝45°， ∴DM＝ME. 设DM＝ME＝x米，则AM＝（80＋x）米， 在Rt△AME中，∠MAE＝30°， ∴AM＝ ＝ x米， ∴ x＝80＋x，解得x＝40 ＋40， ∴EM＝（40 ＋40）米. 在Rt△DME中，∠EDM＝45°， ∴DE＝ EM＝40 ＋40 ≈154（米）. 答：DE的长度约为154米. （2）筹备小组初步拟定校庆活动方案，校友们先在志 愿者带领下参观校园，最后在操场汇合，参加庆典活 动.筹备小组初步设定了两条参观线路，线路一：沿A －B－C－E，速度预计为30米/分，线路二：沿A－D －E，速度预计为20米/分.若两条线路的校友同时出 发，预计哪一条线路的校友先到操场？（结果精确到 0.1） 解：（2）如答案图，过点B作 BN⊥AD于点N， 在Rt△ABN中，∠NAB＝60°， ∴AN＝AB· cos ∠NAB＝50米， BN＝AB· sin ∠NAB＝50 米. 由（1）知，AM＝40 ＋40＋80 ＝（120＋40 ）米. 易知四边形CBNM是矩形， ∴CM＝BN＝50 米， CB＝MN＝AM－AN＝（70＋ 40 ）米， （第4题） ∴走完线路一所用时间为 ≈14.5（分）， 走完线路二所用时间为 ≈11.7（分）. ∵14.5＞11.7. ∴若两条线路的校友同时出发，预计线路二的校友先到 操场. 5. 为满足市民锻炼需求，我市在公园里的一条景观大 道AC两侧开辟了两条长跑锻炼路线，如图，路线①： A→B→C；路线②：A→D→E→C，经测量A在C的 正西方向，B在A的北偏东53°方向，C在B的南偏西 8°方向，D在A的南偏东30°方向，E在D的正东方向 且在C的正南方向，且AD＝AC＝1 000米.（参考数 据：tan 37°≈ ， sin 37°≈ ， cos 37°≈ ， ≈1.41， ≈1.73） （1）求B，C间的距离；（结果保留根号） 解：（1）如答案图，过点C作 CH⊥AB于点H. （第5题） （答案图） 在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，∠HAC＝37°， ∴CH＝AC· sin ∠HAC≈600米. 在Rt△BHC中，∠BHC＝90°， 易知∠HBC＝53°－8°＝45°， ∴BC＝ ＝600 米. 答：B，C间的距离为600 米. （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短的路线进 行锻炼，请通过计算说明他应该选择路线①还是路线 ②？ 解：（2）如答案图，过点D作 DM⊥AC于点M， 则∠AMD＝90°. （第5题） （答案图） （答案图） 在Rt△AMD中，∠ADM＝30°， ∴AM＝AD· sin ∠ADM＝500米， DM＝AD· cos ∠ADM＝500 米. 易知四边形MDEC为矩形， ∴MD＝CE＝500 米， MC＝DE＝AC－AM＝500米. 在Rt△AHC中，AH＝AC· cos ∠HAC≈800米， ∵∠HBC＝45°，CH⊥AB，∴BH＝CH＝600米， ∴AB＝AH＋BH＝1 400米. ∴路线①的路程为 AB＋BC＝1 400＋600 ≈2 246（米）， 路线②的路程为 AD＋DE＋CE＝1 000＋500＋500 ≈2 365（米）. ∵2 246＜2 365， ∴小明应该选择路线①. （答案图） 6. 重庆东站位于重庆南岸茶园新区，是全国在建的最 大城景融合的高铁枢纽站之一，目前正处于紧锣密鼓的 施工中.从设计图纸中发现，从广场A到B受地形的影 响不能直接到达.施工设计图设计了两条线路，如图2所 示，线路①：A→C→B；线路②：A→D→E→B. 经 勘测，C位于广场A的东北方向，且到AB的距离为200 m，D位于广场A的南偏东30°方向，也在F的正南 方，AF＝75 m.E在D的正东方向300 m处，也在B的 南偏西60°方向.（参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.2，结果保留整数） （第6题） （1）求AD的长度； 解：（1）由题意，得∠ADF＝30°， ∴在Rt△ADF中，AD＝2AF＝150 m. 答：AD的长度为150 m. （2）为缩短施工时间，决定从线路①和线路②中选 择一条较短线路先进行施工，应该选择哪一条线路先 施工？ 解：（2）如答案图，过点C作CK⊥AB于点K，过点E 作EH⊥AB于点H， （答案图） （答案图） 由题意可知，CK＝200 m，∠CAK＝45°， DE＝300 m，∠EBH＝30°. 易知四边形DFHE为矩形， ∴FH＝DE＝300 m，DF＝HE. 在Rt△ADF中，∠ADF＝30°， ∴HE＝DF＝ ＝75 m. ∴在Rt△BHE中，BE＝ ＝150 m， BH＝ ＝225 m， ∴线路②的施工路程为 AD＋DE＋EB＝150＋300＋150 ≈705（m）. 在Rt△ACK中，∠CAB＝45°， ∴AK＝ ＝200 m. AC＝ ＝200 m. （答案图） ∵AB＝AF＋FH＋HB＝75＋300＋225＝600（m）， ∴BK＝AB－AK＝600－200＝400（m）， ∴在Rt△CBK中，由勾股定理，得 BC＝ ＝200 m， ∴线路①的施工路程为 AC＋CB＝200 ＋200 ≈720（m）. （答案图） ∵705＜720，∴应选择线路②. 答：应该选择线路②先施工. $$第一章　直角三角形的边角关系 专题二　[提升]锐角三角函数的综合应用 类型一　三角函数与方程的综合 1. 关于x的方程2x2－5 sin A·x＋2＝0有两个相等的实 数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角. （1）求 sin A的值； 解：（1）根据题意，得Δ＝25 sin 2A－16＝0， ∴ sin 2A＝ ，∴ sin A＝± . ∵∠A为锐角，∴ sin A＝ . （2）若关于y的方程y2－10y＋k2－4k＋29＝0的两个 根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长. 解：（2）由题意知，方程y2－10y＋k2－4k＋29＝0有 两个实数根，则Δ≥0， ∴100－4（k2－4k＋29）≥0， 整理，得（k－2）2≤0. 又∵（k－2）2≥0，∴k＝2. 把k＝2代入方程，得y2－10y＋25＝0， 解得y1＝y2＝5， ∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5. 分两种情况： 当∠A是顶角时，如答案图1.过点B作BD⊥AC于点D， 在Rt△ABD中，AB＝AC＝5. ∵ sin A＝ ， ∴AD＝3，BD＝4，∴DC＝2， ∴BC＝2 . ∴△ABC的周长为5＋5＋2 ＝10＋2 ； （答案图1） 当∠A是底角时，如答案图2. 过点B作BD⊥AC于点D， 在Rt△ABD中，AB＝5. （答案图2） ∵ sin A＝ ， ∴AD＝DC＝3，∴AC＝6. ∴△ABC的周长为5＋5＋6＝16. 综上，△ABC的周长为10＋2 或16. 类型二　三角函数与函数的综合 2. （1）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴 上，O是坐标原点，tan∠AOC＝ ，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点C，与AB交于点D. 若△COD 的面积为20，则k的值为（　D　） D [第2（1）题] A. 20 B. 24 C. －20 D. －24 （2）如图，在反比例函数y＝－ 的图象上有一动点 A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象 限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始 终在函数y＝ 的图象上运动.若tan∠CAB＝2，则k的 值为 ⁠. 8　 [第2（2）题] 3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，tan B＝1， ∠ADC＝90°，E为AB的中点，AD＝DC＝4.动点P 从点B出发，沿着折线B→C→D运动，到达点D停止 运动，连接DE，EP，PD. 设点P的运动路程为x， △EPD的面积记为y1，请解答下列问题： （第3题） （1）直接写出y1关于x的函数关系式，并写出x的取值 范围； 解：（1）y1关于x的函数关系式为 y1＝ （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1的函数图象， 并写出该函数的一条性质； 解：（2）函数图象如答案图所示. 性质：当0＜x＜8时，y1随x的增大而增大；当8＜x＜12时，y1随x的增大而减小.（答案不唯一） （答案图） （3）函数y2＝－ x＋ ，直接写出当y1≥y2时，x的取 值范围. 解：（3）4≤x≤10. 类型三　三角函数与几何的综合 4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将 △BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则 cos ∠ADF的值为（　C　） A. B. C. D. （第4题） C 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， 垂足为D，线段AE与线段CD相交于点F，且AE＝ AB，连接DE，∠E＝∠C. 若AD＝3DE，则 cos E的 值为 ⁠. （第5题） 　 提示：在AD上取一点G，使得AG＝DE，连接BG， 则△ADE≌△BGA. ∴AD＝BG. 设DE＝AG＝x，则 AD＝3x＝BG，∴DG＝2x.由勾股定理分别表示出 AB，BD的值，求 cos E的取值，即求 cos ∠DAB的值. 6. 在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕 点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD， BD. （1）如图1，求∠ADB的大小； （1）解：∵MA＝MD＝MB， ∴∠MAD＝∠MDA，∠MBD＝∠MDB. 在△ABD中， ∠MAD＋∠MDA＋∠MDB＋∠MBD＝180°， ∴∠ADB＝∠ADM＋∠MDB＝ ＝90°. （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD， DE∥AB. ①如图2，连接CD，求证：BD＝CD； ②如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE 的值. （2）①证明：如答案图1，延长BD，AC交于点F， （答案图1） 则∠BCF＝90°. ∵ME⊥AD，∠ADB＝90°，∴EM∥BD. 又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形， ∴DE＝BM. ∵M是AB的中点， ∴AM＝BM，∴DE＝AM， ∴四边形AMDE是平行四边形. ∵ME⊥AD，∴▱AMDE是菱形，∴AE＝AM. ∵EM∥BD，∴ ＝ ， ∴AB＝AF. ∵∠ADB＝90°，即AD⊥BF， ∴BD＝DF， 即点D是Rt△BCF斜边的中点， ∴BD＝CD. （答案图1） ②解：如答案图2，过点E作EH⊥AB于点H. ∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ＝10， ∴AE＝AM＝ AB＝5. ∵ cos ∠CAB＝ ， sin ∠CAB＝ ， ∴EH＝AE· sin ∠CAB＝3， AH＝AE· cos ∠CAB＝4， ∴BH＝AB－AH＝10－4＝6， ∴tan∠ABE＝ ＝ ＝ . （答案图2） $$第一章　直角三角形的边角关系 专题四　[易错]《直角三角形的边角关系》 中常见的错误 易错点一　对锐角三角函数的定义理解不清 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AB＝5∶13，则下 列等式正确的是（　C　） A. tan A＝ B. cos A＝ C. sin A＝ D. tan B＝ C 2. 在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则 锐角∠A的正弦值、余弦值的变化情况是（　C　） A. 都缩小为原来的 B. 都扩大为原来的2倍 C. 都没有变化 D. 不能确定 C 3. 已知∠A是锐角，且 sin A＝ ，则tan A的值为 （　A　） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则 cos A的值等于 （　C　） A. B. C. 或 D. 或 A C 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边 AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则 cos A的值是 ⁠. （第5题） 　 易错点二　对同角和余角三角函数之间的关系理解不清 6. 比较大小：（1）tan 40° tan 70°； （2） cos 15° sin 72°； 7. （1）在△ABC中，∠C＝90°，如果 sin A＞ cos A，那么∠A的度数范围是 ⁠； （2）已知 ＜ cos A＜ sin 70°，则锐角A的取值范围 是 ⁠. ＜　 ＞　 45°＜∠A＜90°　 20°＜∠A＜30°　 8. （1）若α是锐角，且 sin 40°＝ cos α，则α ＝ ⁠； （2）已知α为锐角，若tan α·tan 46°＝1，则α ＝ ；若 sin 2α＋ sin 237°＝1，则α＝ ⁠. 50°　 44°　 53°　 易错点三　在解直角三角形时考虑不全面 9. 在△ABC中，AB＝6 ，AC＝6， cos B＝ ，则 BC边的长为（　C　） A. 9 B. 12 C. 12或6 D. 12或9 10. 已知等腰三角形ABC的腰长为5，面积为 ，则底 角的正切值为 ⁠. C 3或 　 11. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝ 140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则两个三角形面 积的大小关系为：S△ABC S△DEF. （填 “＞”“＜”或“＝”） （第11题） ＝　 12. 已知BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1， tan∠ABD＝ ，则CD的长为 　2＋ 或2－　 或 ⁠. 提示：分下列四种情况，其中答案图4不存在. 2＋ 或2－　 或 　 （答案图1） （答案图2） （答案图3） （答案图4） $$