第二章　二次函数课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 1　二次函数 1. 下列函数中，是y关于x的二次函数的是（　B　） A. y＝ax2＋bx＋c B. y＝x（x－1） C. y＝ D. y＝（x－1）2－x2 2. （2024·成都七中）若y＝（m－4）x2－5x＋3表示y 是x的二次函数，则m的取值范围为（　D　） A. m≠0 B. m＞4 C. m＜4 D. m≠4 B D 3. 下列各选项中的两个量，具有二次函数关系的是 （　C　） A. 正方形的周长y与边长x B. 速度一定时，路程s与时间t C. 正方形的面积y与边长x D. 三角形的高一定时，面积y与底边长x C 4. 已知二次函数y＝1－5x＋3x2，则它的二次项系数a ＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ⁠. 5. （1）二次函数y＝x2－2x－4，当x＝3时，函数y的 值为 ；当x＝ 时，函数y的值为－ 1； （2）二次函数y＝ax2＋3x，若当x＝2时，y＝14；则 当x＝－2时，y＝ ⁠. 3　 －5　 1　 －1　 3或－1　 2　 6. 已知函数y＝（m2－1）x2＋（m－1）x＋3. （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ 解：（1）要使此函数为二次函数， 则m2－1≠0，∴m≠±1. 即当m≠±1时，此函数是二次函数. （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 解：（2）要使此函数为一次函数， 则m2－1＝0，且m－1≠0，∴m＝－1. 即当m＝－1时，此函数是一次函数. 7. （2024·北京）下面问题中，y与x满足的函数关系是 二次函数的是（　C　） ①面积为10 cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x （cm）的关系； ②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与 圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出 售，可卖出（100－2x）件，利润y（元）与每件售价x （元）的关系. C A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 8. 【教材改编】相框边的宽窄影响可放入相片的大小. 如图，相框长26 cm，宽22 cm，相框边的宽为x cm，相 框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ⁠ ⁠. （第8题） y ＝4x2－96x＋572（0＜x＜11）　 9. 如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最长 可用长度a为10 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x m，面积为y m2. （1）求y与x的函数关系式及x的取值范围； 解：（1）∵宽AB＝x m， ∴长BC＝（24－3x）m， ∴y＝x（24－3x） ＝－3x2＋24x. （第9题） ∵x＞0，且0＜24－3x≤10， ∴ ≤x＜8. 故y与x的函数关系式为y＝－3x2＋ 24x . （第9题） （2）如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长度 是多少？ 解：（2）当y＝45时，即－3x2＋24x ＝45， 解得x1＝3（不符合要求，舍去），x2 ＝5. ∴要围成面积为45 m2的花圃，AB的长 度是5 m. （第9题） 10. 某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为 每件130元，每个月可卖出500件.据市场调查，若每件 商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不 能高于240元）.设每件商品的售价上涨x元（x为正整 数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取 值范围； 解：（1）由题意，得y＝（130－80＋x）（500－2x） ＝－2x2＋400x＋25 000（0＜x≤110，且x为正整数）. （2）每件商品涨价多少元时，每个月的利润恰好为41 800元？ 解：（2）令y＝41 800，得－2x2＋400x＋25 000＝41 800， 解得x1＝60，x2＝140（不符合题意，舍去）. 答：每件商品涨价60元时，每个月的利润恰好为41 800元. （敢于挑战，突破自我） 11. 一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距 离s（m）与时间t（s）之间的关系式为s＝10t＋t2.若 滑到坡底的时间为2 s，则此人下滑的高度为（　B　） A. 24 m B. 12 m C. 12 m D. 6 m （第11题） B （第12题） 12. 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝ ，D是AC边上的一个动点（不与两端点重合），过点 D作DE⊥BC，垂足为E，F是BD的中点，连接EF. 设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关 系式为 ⁠. S＝－ x2＋ x（0＜x＜6）　 13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm， BC＝8 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C方向 以2 cm/s的速度移动. （1）若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中一点到 达终点时，则另一点也随之停止，经过x s后，△PBQ的 面积为y cm2，请写出y与x之间的函数关系式； 解：（1）由题意，得AP＝x cm， BQ＝2x cm， 则BP＝AB－AP＝（6－x）cm. ∵S△PBQ＝ BP·BQ， ∴y＝ ×（6－x）×2x， 即y＝－x2＋6x（0＜x≤4）. （第13题） （2）经过3 s时，△PBQ的面积是多少？ 解：（2）由（1）知，y＝－x2＋6x. 当x＝3时，y＝－32＋6×3＝9. ∴经过3 s时，△PBQ的面积是9 cm2. （第13题） （3）根据（1）中的函数关系式说明，经过多长时间 时，△PBQ的面积为8 cm2？ 解：（3）当y＝8，即－x2＋6x＝8时，解得 x1＝2，x2＝4. ∴经过2 s或4 s时，△PBQ的面积为8 cm2. （第13题） $$第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y＝ax2的图象与性质 1. 下列抛物线中，开口最大的是（　B　） A. y＝4x2 B. y＝ x2 C. y＝－x2 D. y＝－2x2 B 2. 已知二次函数y＝－ x2，下列说法正确的是 （　B　） A. 该抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是（0，0） C. 对称轴是x轴 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 B 3. 在同一平面直角坐标系中作出y＝2x2，y＝－2x2，y ＝ x2的图象，它们的共同点是（　C　） A. 关于y轴对称，抛物线的开口向上 B. 关于y轴对称，抛物线的开口向下 C. 关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 C 4. （1）二次函数y＝3x2的图象开口 ，对称轴 是 轴，顶点坐标是 ，图象有 最 点.当x 0时，y随x的增大而增大；当 x 0时，y随x的增大而减小； （2）若函数y＝（m－1） 是二次函数，且开口 向下，则m＝ .此时，若x 0，则y随x的 增大而减小，图象有最 点，对应的y有最 ⁠ 值，是 ⁠. 向上　 y　 （0，0）　 低　 ＞　 ＜　 －2　 ＞　 高　 大　 0　 5. 已知A（－1，y1），B（－2，y2）都在抛物线y＝ 3x2上，则y1与y2之间的大小关系是y1 y2.（填 “＞”“＜”或“＝”） ＜　 （1）求满足条件的k的值； 解：（1）根据二次函数的定义，得 解得k＝±2. （2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 并写出当x为何值时，y随x的增大而增大； 解：（2）当k＝2时，抛物线有最低点，其最低点的坐 标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大. 6. 已知y＝（k＋1） 是关于x的二次函数. （3）k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y随x的增大而减小？ 解：（3）当k＝－2时，函数有最大值，其最大值为0， 当x＞0时，y随x的增大而减小. 7. 若a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋ 1，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小 关系为（　A　） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y1＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3 A 8. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直 角坐标系中的大致图象可能是（　D　） A B D C D 9. （1）若抛物线y＝ax2与y＝ x2的形状相同，则a的 值为 ⁠； ± 　 [第9（2）题] （2）如图，四个二次函数的图象分别对应的是：①y ＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a，b， c，d的大小关系是 .（用“＞”号连 接起来） a＞b＞d＞c　 10. 如图，直线AB过x轴上一点A（－2，0），且与抛 物线y＝ax2交于B，C两点，C（2，－4）. （1）求直线与抛物线的函数表达式； 解：（1）由A（－2，0），C（2，－4） 可得直线AC的函数表达式为y＝－x－2. 将C（2，－4）代入y＝ax2，得a＝－1， ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2. （第10题） （2）在抛物线上存在一点D，使得S△AOD∶S△BOC＝2， 求出点D的坐标. 解：（2）联立解得 ∴B（－1，－1）. 易知S△BOC＝S△AOC－S△AOB＝ ×2×4－ ×2×1＝3. （第10题） ∵S△AOD∶S△BOC＝2，∴S△AOD＝2S△BOC＝ 6. 设点D的坐标为（xD，yD），则 S△AOD＝ ×2× ＝6. ∵yD＜0，∴yD＝－6，∴xD＝ 或－ . ∴点D的坐标为（ ，－6）或（－ ，－6）. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. （2024·广安模拟）如图，直线y＝kx＋b（k≠0） 与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横 坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论：①a＞0， b＞0；②当x＞0时，直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2的 函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度 可以等于5；④当－2＜x＜3时，ax2－kx＜b； ⑤连接OA，OB，当OA⊥OB时，a＝ . 其中正确的个数是（　C　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 （第11题） C 12. 已知抛物线y＝ax2（a≠0）的图象经过点（－2， 4），则这个抛物线的函数表达式是 .当－3 ≤x≤2时，y的取值范围是 ；当4≤y≤9 时，x的取值范围是 ⁠. y＝x2　 0≤y≤9　 －3≤x≤－2或2≤x≤3　 13. 如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y ＝kx－2的图象相交于A，B两点，其中A（－1， －1）. （1）求△OAB的面积； （第13题） 解：（1）易得一次函数的表达式为y ＝－x－2，二次函数的表达式为y＝ －x2. 设一次函数y＝－x－2的图象与y轴交 于点G. 令x＝0，得y＝－2，∴G（0，－2）. 联立解得 ∴B（2，－4）， ∴S△OAB＝ OG·（ ＋ ）＝ ×2×3＝3. （第13题） （2）抛物线上是否存在异于原点的点P，使得S△PAB＝ S△OAB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由. 解：（2）存在.如答案图，过点O作 OP1∥AB交抛物线于点P1，则此时 ＝S△OAB，可知直线OP1的表 达式为 ＝－x. （答案图） （答案图） 联立 解得 ∴P1（1，－1）； 将直线AB向下平移2个单位长度得到 y＝－x－4，此时直线与抛物线交于点 P2，P3，这两个点也满足条件. 易得P2 ，P3 . 综上，点P的坐标为（1，－1）或 或 . （答案图） $$第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第2课时　二次函数y＝ax2＋c的图象与性质 1. 将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度后所得的抛物 线的解析式是（　A　） A. y＝4x2＋3 B. y＝4x2－3 C. y＝4（x＋3）2 D. y＝4（x－3）2 A 2. 对于二次函数y＝－2x2＋3的图象，下列说法不正确 的是（　B　） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－3 C. 顶点坐标为（0，3） D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 B 3. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 在函数y＝－2x2－2的图象上，且x1＜x2＜x3＜0，则 y1，y2，y3之间的大小关系是（　A　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1 A 4. 抛物线y＝2x2＋4的开口向 ，对称轴是 ⁠ ，顶点坐标是 ，顶点是最 点， 因此函数有最 值，是 ；当x 时，y 随x的增大而增大；它是由抛物线y＝2x2向 ⁠平 移 个单位长度得到的. 5. （1）顶点坐标为（0，－5），开口方向、形状与函 数y＝－ x2的图象相同的抛物线的函数表达式是 ⁠ ⁠； 上　 y 轴　 （0，4）　 低　 小　 4　 ＞0　 上　 4　 y＝ － x2－5　 （2）如果抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与抛物线y＝4x2 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0， －3），那么这个抛物线的函数表达式是 ⁠ ⁠. y＝－4x2－ 3　 6. 已知抛物线y＝ax2＋n（an＞0）与抛物线y＝－2x2 的形状相同，且其图象上离x轴最近的点到x轴的距离 为3. （1）求a，n的值； 解：（1）由题意，得a＝2或－2，n＝3或－3. ∵an＞0，∴a＝2，n＝3或a＝－2，n＝－3. （2）指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶 点坐标. 解：（2）当a＝2，n＝3时， 抛物线的函数表达式为y＝2x2＋3，其开口向上，对称 轴为y轴，顶点坐标为（0，3）； 当a＝－2，n＝－3时， 抛物线的函数表达式为y＝－2x2－3，其开口向下，对 称轴为y轴，顶点坐标为（0，－3）. 7. 已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝－ax2 ＋a在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　C　） A B C D 8. 如果二次函数y＝（m＋1）x2＋m2－9有最大值，且 它的图象经过点（0，－5），那么m＝ ⁠. C －2　 9. 如图所示，直线l过A（4，0）和B（0，4）两点， 它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P. 若 △AOP的面积为4，则点P的坐标为 ，将 抛物线y＝ax2向下平移 个单位长度后，平移后的 抛物线经过点A. （第9题） （2，2）　 8　 10. 如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A，B两 点，与y轴交于点C. （1）求A，B，C三点的坐标； 解：（1）当x＝0时，y＝－1， ∴C（0，－1）. 当y＝0时，x2－1＝0， 解得x1＝1，x2＝－1. ∴A（－1，0），B（1，0）. （第10题） （2）过点A作AP∥CB，交抛物线于点P，连接AC， BC，BP，求四边形ACBP的面积. 解：（2）易得直线BC的函数表达式为y＝ x－1.∵AP∥CB， ∴设直线AP的函数表达式为y＝x＋k. 将A（－1，0）代入上式，解得k＝1. ∴直线AP的函数表达式为y＝x＋1. （第10题） 联立直线AP和抛物线的函数表达式，得 解得 ∴P（2，3）. ∴S四边形ACBP＝S△ABC＋S△ABP＝ ×2×1＋ ×2×3＝4. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. 一身高为1.8 m的篮球运动员在距篮板4 m处跳起投 篮，球在运动员头顶上方0.25 m处出手，在距离篮筐水 平距离为1.5 m处达到最大高度为3.5 m，以水平地面 为x轴，球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，则球出手时，运动员跳离地 面的高度为（　B　） A. 0.1 m B. 0.2 m C. 0.25 m D. 0.15 m （第11题） B 12. 在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与抛物 线y＝x2－1交于A，B两点，点P的坐标为（0， －4），连接PA，PB. 若△PAB的面积为8，则k的值 是 ⁠. 2 　 13. 如图，已知顶点为C（0，－3）的抛物线y＝ax2＋ b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶 点C和点B. （1）求m的值； 解：（1）将（0，－3）代入y＝x＋ m，得m＝－3. （第13题） （2）求函数y＝ax2＋b（a≠0）的表达式； 解：（2）将y＝0代入y＝x－3，得x＝ 3，∴B（3，0）. ∴解得 ∴所求表达式为y＝ x2－3. （第13题） （3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若 存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在，分两种情况讨论： ①如答案图，若点M1在BC上方，设 M1C交x轴于点D， （答案图） 则∠ODC＝∠M1CB＋∠DBC＝15° ＋45°＝60°，∴OD＝ ＝ . （答案图） 设直线DC的函数表达式为y＝k1x－3. 将（ ，0）代入，得k1＝ . ∴直线DC的函数表达式为y＝ x－3. 联立 解得∴M1（3 ，6）； ②如答案图，若点M2在BC下方，设M2C交x轴于点 E， 则∠OEC＝∠OBC－∠M2CB＝45°－15°＝30°， ∴OE＝ ＝3 . 设直线EC的函数表达式为y＝k2x－3. 将（3 ，0）代入，得k2＝ . ∴直线EC的函数表达式为y＝ x－3. （答案图） 联立 解得 ∴M2（ ，－2）. 综上所述，点M的坐标为（3 ，6） 或（ ，－2）. （答案图） $$第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2， y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 1. 在下列对抛物线y＝－（x－1）2的描述中，正确的 是（　B　） A. 开口向上 B. 顶点在x轴上 C. 对称轴是直线x＝－1 D. 与y轴的交点是（0，1） B 2. 对于抛物线y＝－（x－2）2＋7，下列说法正确的是 （　C　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线x＝－2 C. 顶点坐标为（2，7） D. 当x＜－2时，y随x的增大而减小 C 3. 将抛物线y＝x2经过下面的平移可得到抛物线y＝（x ＋3）2＋4的是（　A　） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 A 4. （1）函数y＝ （x＋1）2的图象的开口向 ⁠， 顶点坐标为 ，对称轴为 ⁠ ，最 值为0； （2）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，所得图象 的函数表达式为 ⁠. 上　 （－1，0）　 直线x＝ －1　 小　 y＝2（x＋1）2　 5. （1）若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3， 5），则点A关于抛物线对称轴对称的点A'的坐标 为 ⁠； （2）若抛物线y＝（x＋h）2＋4－h的对称轴是直线x ＝3，则它的顶点坐标是 ⁠； （3）若抛物线y＝（x－m）2＋4－m2的顶点在x轴正 半轴上，则m＝ ⁠. （－1，5）　 （3，7）　 2　 6. 已知抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位长度后 得到抛物线y＝ x2. （1）求a，h的值； 解：（1）将抛物线y＝a（x－h）2向右平移3个单位长 度后得到的抛物线的解析式为 y＝a（x－h－3）2＝ x2.解得a＝ ，h＝－3. （2）写出抛物线y＝a（x－h）2的对称轴及顶点坐标. 解：（2）由（1）得抛物线为y＝ （x＋3）2，它的对 称轴为直线x＝－3，顶点坐标为（－3，0）. 7. 同一平面直角坐标系中，抛物线y＝（x－a）2与直 线y＝ax＋a的图象可能是（　D　） A B D C D 8. （1）已知二次函数y＝（x－3）2的图象上的两点A （3，a）和B（m，b）（A，B两点不重合），则a 和b的大小关系是 ⁠； （2）已知抛物线y＝a（x－3）2经过点（1，－2）， 则a＝ ；若点A（m，y1），B（n，y2）（m ＜n＜3）都在该抛物线上，则y1 y2；（填 “＞”“＜”或“＝”） a＜b　 － 　 ＜　 （3）已知二次函数y＝2（x－1）2＋k的图象上有两点 A（－1，y1），B（ ，y2），则y1，y2的大小关系 是 ⁠. y1＞y2　 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x－1）2＋1 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长 度，所得函数的解析式为 ⁠. y＝x2－1　 10. 如图，某动物园的大门由矩形ABCD和抛物线形 DMC组成，以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面 直角坐标系，且AD＝ 米，抛物线顶点M的坐标为 . （第10题） （1）求此抛物线的函数表达式； 解：（1）根据题意，得D . 设抛物线的函数表达式为y＝a ＋ （a≠0）， 将 代入，得 a＋ ＝ ，解得a＝－ ， ∴此抛物线的函数表达式为y＝－ ＋ . （第10题） （2）近期需对大门进行装修，为了方便施工，工人师 傅搭建一三角形木架，顶点P正好在抛物线上且在点M 右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，且PE＝3米，求支撑杆 与大门最右侧的水平距离BE. 解：（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴点C的纵坐标为 . ∵抛物线的对称轴为直线x＝ . ∴点C ，即AB＝DC＝9米， ∴B（9，0）. （第10题） ∵PE＝3米，∴－ ＋ ＝3， 解得x1＝ （不符合题意，舍去）， x2＝ ， （第10题） ∴点E ，∴BE＝9－ ＝ （米）， 即支撑杆与大门最右侧的水平距离BE的长为 米. （敢于挑战，突破自我） 11. 抛物线y＝a（x－h）2＋k（a≠0）和直线y＝ax ＋kh（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　B　） A B C D B 12. （1）小明在研究抛物线y＝－（x－h）2－h＋1 （h为常数）时，得到如下结论： ①无论x取何实数，y的值都小于0； ②该抛物线的顶点始终在直线y＝－x＋1上； ③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2； ④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若 x1＜x2，x1＋x2＞2h，则y1＞y2. 其中一定正确的结论是 ；（填序号） （2）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x－1）2 －3有交点，则a的取值范围是 ⁠； （3）已知二次函数 y＝－（x－h）2（h为常数），当 自变量x的值满足2≤x≤5时，其对应的函数值y的最大 值为－1，则h的值为 ⁠. ②④　 －3≤a≤1　 1或6　 13. 如图所示，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经 过原点O，与x轴的另一个交点为B. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）设抛物线的函数表达式为 y＝a（x－2）2＋1. 将点O（0，0）代入， 得a＝－ . ∴抛物线的函数表达式为y＝－ （x－2）2＋1. （第13题） （2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上， 且以O，C，D，B为顶点的四边形是平行四边形，求 点D的坐标； 解：（2）易得B（4，0），抛物线的对 称轴为直线x＝2. 分情况讨论： ①当OB为平行四边形的边时， ∴CD∥OB，CD＝OB＝4， ∴点D的横坐标为6或－2， ∴D（6，－3）或D（－2，－3）； （第13题） ②当OB为平行四边形的对角线时， 易得点D与点A重合，此时D（2，1）. 综上所述，点D的坐标为（6，－3）或 （－2，－3）或（2，1）. （第13题） （3）在抛物线上有一点P，使△ABP是以AB为直角边 的直角三角形，求点P的坐标. 解：（3）设P . 分情况讨论： ①当点A为直角顶点时，有AB2＋AP2＝ BP2. 即（4－2）2＋（0－1）2＋（m－2）2＋ （n－1）2＝（m－4）2＋n2，整理，得 2m－n＝3. （第13题） 联立 解得或（舍去）. ∴P（－6，－15）； ②当点B为直角顶点时， 同理可得P（－8，－24）. 综上所述，点P的坐标为（－6，－15） 或（－8，－24）. （第13题） $$第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1. 抛物线y＝－3x2＋6x的对称轴为（　A　） A. 直线x＝1 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝2 D. 直线x＝－2 2. 二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标为（　C　） A. （2，5） B. （－2，5） C. （2，－3） D. （－2，－3） A C 3. 关于抛物线y＝－x2＋2x－3的判断，下列说法正确 的是（　D　） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线x＝－1 C. 在抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而减小 D. 抛物线顶点到x轴的距离是2 D 4. （1）如果抛物线经过点A（－2，0）和点B（5， 0），那么该抛物线的对称轴是直线 ⁠； （2）已知二次函数y＝2 025x2＋2 024x＋2 023的图象 上有两点A（m，2 025），B（n，2 025），则当x＝ m＋n时，二次函数的值为 ⁠. 5. 已知y＝－ x2－3x＋4（－10≤x≤0），则函数y的 取值范围是 ⁠. x＝ 　 2 023　 4≤y≤13　 （1）在所给的平面直角坐标系中画出它的图象，根据 图象直接写出当y＞0时x的取值范围； （2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三 点在该二次函数的图象上，且2＜x1＜x2＜x3，则y1， y2，y3的大小关系为 ；（用“＜”号连 接） y1＜y2＜y3　 6. 已知二次函数y＝x2－4x＋3. 解：（1）图象如图所示. （第6题） 当y＞0时，x＞3或x＜1. （3）把所画的图象如何平移，可以得到函数y＝x2的图 象？请写出一种平移方案. 解：（3）把二次函数y＝x2－4x ＋3＝（x－2）2－1的图象先向左 平移2个单位长度，再向上平移1 个单位长度可以得到函数y＝x2的 图象. 7. 已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3）是抛物 线y＝－3x2－12x＋m上的三点，则（　B　） A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2 B 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与一次函数y＝acx＋b的图象可能是 （　B　） A B C D B 9. 已知二次函数y＝x2－2mx＋3. （1）若对称轴是直线x＝－2，则m＝ ⁠； （2）若顶点在y轴上，则m＝ ⁠； （3）若顶点在x轴正半轴上，则m＝ ⁠. －2　 0　 　 10. 如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝x2＋bx＋ c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（－3， 0），C为抛物线与y轴的交点. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3. （第10题） （第10题） （2）设抛物线的对称轴与直线AC交于点M，点P在抛 物线上，且S△POC＝ S△ABM，求点P的坐标. 解：（2）令x＝0，则y＝x2＋2x－3＝ －3，∴C（0，－3）. ∵A（－3，0），对称轴为直线x＝－1， ∴B（1，0）. 易得直线AC的函数表达式为y＝－x－3. 令x＝－1，则y＝－（－1）－3＝－2. ∴M（－1，－2）. ∴S△ABM＝ AB· ＝ ×4×2＝4. ∵S△POC＝ ，∴S△POC＝3. 又∵S△POC＝ OC· ＝ ×3× ＝3， ∴ ＝2，∴xp＝－2或xp＝2. ∴点P的坐标为（－2，－3）或（2，5）. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. 在平面直角坐标系中，对点M（a，b）和点M' （a，b'）给出如下定义：若b'＝则称点 M'（a，b'）是点M（a，b）的伴随点.如：点A（1， －2）的伴随点是点A'（1，－5），点B（－1，－2） 的伴随点是点B'（－1，2）.若点Q（m，n）在二次函 数y＝x2－4x－2的图象上，则当－2≤m＜5时，其伴 随点Q'（m，n'）的纵坐标n'的值不可能是（　D　） A. －9 B. C. 10 D. 11 D 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕 原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛 物线的顶点坐标是 ⁠. （1，－3）　 13. （2024·成都七中）如图，二次函数y＝x2－2mx －2m－1（m＞0）的图象与x轴交于点A，B（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点 为D. （1）若m＝2，求顶点D的坐标及线段AB的长； 解：（1）当m＝2时，抛物线的表 达式为y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9， ∴D（2，－9）. 令y＝x2－4x－5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5， ∵A（－1，0），B（5，0）， ∴AB＝6. （2）当1≤x≤4时，二次函数的最小值为－6，求m 的值； 解：（2）由抛物线的表达式知，其 对称轴为直线x＝m. 当x＝1时，y＝－4m， 当x＝4时，y＝15－10m， 当x＝m时，y＝－m2－2m－1. 分下列情况进行讨论： ①当m≥4时，函数在x＝4时取得最小值， ∴15－10m＝－6，解得m＝2.1（舍去）； ②当0＜m≤1时，函数在x＝1时取得最小值， ∴－4m＝－6，解得m＝1.5（舍去）； ③当1＜m＜4时，函数在x＝m时取得最小值， ∴－m2－2m－1＝－6， 解得m＝－1＋ （不合题意的值已舍去）. 综上，m的值为－1＋ . （3）连接AC，BC，DC，若∠ACB＝∠BCD，求点 C的坐标. 解：（3）易得A（－1，0），B （2m＋1，0），C（0，－2m－1）， D（m，－m2－2m－1）， ∴直线BC的表达式为y＝x－2m－1， 直线CD的表达式为y＝－mx－2m－1. （第13题） （第13题） 如图，作点A关于直线BC的对称点 H，连接AH，交BC于点N，连接 CH. 易得直线AH的表达式为y＝－x－1， 联立 解得 ∴N（m，－m－1）， ∴H（2m＋1，－2m－2）. ∵∠ACB＝∠BCD，∠ACB＝∠HCB， ∴∠BCD＝∠HCB， 即C，D，H三点共线， ∴－2m－2＝－m（2m＋1）－2m－1， 解得m＝－1（舍去）或m＝ ， ∴C（0，－2）. （第13题） $$第二章　二次函数 3　确定二次函数的表达式 第1课时　由两点确定二次函数的表达式 1. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1， －3），则b，c的值分别是（　D　） A. 2，4 B. 2，－4 C. －2，4 D. －2，－4 D 2. 已知二次函数的图象的顶点是（1，－2），且经过 点（0，－5），则此二次函数的表达式是（　C　） A. y＝－3（x＋1）2－2 B. y＝3（x＋1）2－2 C. y＝－3（x－1）2－2 D. y＝3（x－1）2－2 C 3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（3，0）和（2， －3），且以直线x＝1为对称轴，则它的函数表达式为 （　B　） A. y＝－x2－2x－3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2－2x＋3 D. y＝－x2＋2x－3 B 4. （1）二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1， －2），则b＝ ，c＝ ⁠； （2）已知某二次函数的图象与抛物线y＝－2x2＋3的开 口大小、方向完全相同，且顶点坐标为（2，－1），则 该二次函数的表达式为 ⁠. －4　 0　 y＝－2x2＋8x－9　 5. （1）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 x＝－1，则这个二次函数的表达式为 ⁠ ⁠； [第5（1）题] y＝－x2－2x＋ 3　 （2）已知二次函数的顶点坐标是（2，－1），且与y轴 的交点到原点的距离为3，则该二次函数的表达式为 ⁠ ⁠. y ＝x2－4x＋3或y＝－ x2＋2x－3　 6. （2024·遂宁模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）过点A（－1，0），且它的顶点P的坐标为 （1，－4）. （1）求该抛物线的解析式； 解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x－1）2－4. ∵点A（－1，0）在抛物线上， ∴0＝a×（－1－1）2－4，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝（x－1）2－4＝x2－2x－3. （2）若直线y＝－2x＋1与该抛物线相交，交点分别为 C，D，点C在点D的左侧，求△PCD的面积. 解：（2）联立 解得或 ∴C（－2，5），D（2，－3）. 如图，过点P作PH∥y轴，交直线CD于 点H， （第6题） （第6题） 则易得点H的坐标为（1，－1），∴PH＝3， ∴S△PCD＝S△PCH＋S△PDH＝ PH·（xD－xC）＝ ×3× [2－（－2）]＝6. （第6题） 7. 某次比赛中，羽毛球的运动路线可以看成是抛物线y ＝－ x2＋bx＋c的一部分（如图所示），其中出球点B 离地面O点的距离是1 m，球的落地点A到O点的距离 是4 m，那么这条抛物线的表达式是（　A　） A A. y＝－ x2＋ x＋1 B. y＝－ x2＋ x－1 C. y＝－ x2－ x＋1 D. y＝－ x2－ x－1 （第7题） 8. 抛物线y＝x2＋bx＋c上部分点的横坐标x和纵坐标y 的对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 则该抛物线的表达式是 ⁠. y＝x2－4x＋3　 9. 某公司有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如 图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2＋ bx来表示.已知大棚在地面上的宽度OA为4 m，距离O 点1 m处的棚高BC为 m. （1）求该抛物线的函数表达式； （第9题） 解：（1）由题意知，抛物线经过两点 （4，0）， ， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋3x. （第9题） （2）求蔬菜大棚离地面的最大高度； 解：（2）∵y＝－ x2＋3x＝ － （x－2）2＋3， ∴蔬菜大棚离地面的最大高度是3 m. （第9题） （第9题） （3）为了扩大经营规模，公司决定将原来的蔬菜大棚 进行改造，新建的大棚与原来大棚的形状保持不变，但 在地面上的宽度增加到6 m.在不弯腰的情况下，身高为 1.68 m的工作人员在大棚内横向活动的范围是多少米？ 解：（3）设新抛物线的函数表达式为y＝ － x2＋nx. 由题意知，新抛物线过点（6，0）， 则－ ×36＋6n＝0， ∴n＝ ，∴y＝－ x2＋ x. 将y＝1.68代入，得－ x2＋ x＝1.68. 整理，得x2－6x＝－2.24， ∴x1＝5.6，x2＝0.4. ∵5.6－0.4＝5.2（m）， ∴在大棚内横向活动的范围是5.2 m. （第9题） 10. 如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A （－1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2－2ax＋c经过A （－1，0）和点C（0，3）， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. （第10题） （2）D为直线BC上方抛物线上一点，若∠ACO＋ ∠BCD＝45°，求点D的坐标. 解：（2）如答案图，过点C作CM⊥y轴， 交抛物线于点M，过点M作MN⊥CM，交 CD于点N. （答案图） ∴∠OCM＝90°，∠CMN＝90°， ∴∠MCN＋∠OCD＝90°. 易得B（3，0），M（2，3），∴OB＝OC＝3， ∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°. ∵∠ACO＋∠BCD＝45°， ∴∠ACO＋∠BCD＋∠OCB＝90°， ∴∠OCA＋∠OCD＝90°， ∴∠MCN＝∠OCA. ∵∠CMN＝∠COA＝90°， ∴△MNC∽△OAC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴MN＝ ，∴N . （答案图） ∴直线CN的解析式为y＝－ x＋3. 联立 解得（舍去）或 ∴点D的坐标为 . （答案图） （敢于挑战，突破自我） 11. 如图，A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝ x2－2x＋3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物 线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'. （第11题） 若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， 则抛物线C2的表达式是（　C　） A. y＝ （x－5）2＋1 B. y＝ （x－2）2＋4 C. y＝ （x＋1）2＋1 D. y＝ （x＋2）2－2 （第11题） C 12. 已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴 相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴 的对称点为C'，我们称以A为顶点且过点C'，对称轴与 y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线 AC'为抛物线p的“关联”直线.若一条抛物线的“关 联”抛物线和“关联”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝ 2x＋2，则这条抛物线的表达式为 ⁠. y＝x2－2x－3　 13. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx的顶点为C（1， －1），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交 该抛物线的对称轴于点B，直线CP交x轴于点A. （第13题） （1）求该抛物线的函数表达式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点 为C（1，－1）， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－2x. （第13题） （2）如果点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示 线段BC的长； 解：（2）∵点P的横坐标为m， ∴点P的纵坐标为m2－2m. 如答案图，设BC与x轴的交点为M，过 点P作PN⊥x轴，垂足为N. （答案图） ∵P是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN＝m2－2m，ON＝m，OM＝1， （答案图） 由tan∠PON＝ ＝ ，得 ＝ ， ∴BM＝m－2. ∵点C的坐标为（1，－1）， ∴BC＝m－2＋1＝m－1. （3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的 坐标. 解：（3）设P（t，t2－2t）（t＞2）. ∵△ABP的面积等于△ABC的面积， ∴AC＝AP. ∵∠CMA＝∠PNA＝90°，∠CAM＝∠PAN， ∴△CMA≌△PNA（AAS）， ∴PN＝CM＝1，∴t2－2t＝1， 解得t1＝1＋ ，t2＝1－ （舍去）， ∴点P的坐标为（1＋ ，1）. $$第二章　二次函数 3　确定二次函数的表达式 第2课时　由三点确定二次函数的表达式 1. 已知抛物线经过点A（0，－1），B（1，2），C （－1，－2），则这条抛物线的表达式为（　C　） A. y＝x2＋2x B. y＝－x2＋2x－1 C. y＝x2＋2x－1 D. y＝x2－1 C 2. 如图所示的抛物线的函数表达式为（　B　） A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2＋2x＋3 D. y＝x2＋2x－3 （第2题） B 3. 根据表格中的信息可知，若y＝ax2＋bx＋c，则下列 关于y与x之间的函数关系正确的是（　A　） x －1 0 1 y 8 3 0 A. y＝x2－4x＋3 B. y＝x2－3x＋4 C. y＝x2－3x＋3 D. y＝x2－4x＋8 A 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），B （0，3），C（2，－5），则该二次函数的表达式 为 ⁠. 5. （1）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中自变 量x与函数值y的部分对应值如下表： x … － －1 － 0 1 … y … － －2 － －2 － 0 … 则该二次函数的表达式为 ⁠； y＝－x2－2x＋3　 y＝x2＋x－2　 （2）（2024·成都树德）如图，二次函数y＝ax2＋2x－ 3的图象与x轴交于（－3，0），下列说法正确的是 ⁠ .（填序号） [第5（2）题] ①a＞0； ① ③　 ②顶点坐标为（－1，－3）； ③对称轴为直线x＝－1； ④当x＜－3时，y随x的增大而增大. 6. 根据下列条件，分别求二次函数的表达式. （1）图象过点A（－1，8），B（2，－1），与y轴交 于点C（0，3）； 解：（1）设所求函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c. 将A（－1，8），B（2，－1），C（0，3）代入，得 解得 ∴所求函数的表达式为y＝x2－4x＋3. （2）图象与x轴的交点为（－1，0）和（2，0），且过 点（5，9）. 解：（2）设所求函数的表达式为y＝a（x＋1）（x－ 2）. 将（5，9）代入表达式中，得 9＝a×（5＋1）×（5－2），解得a＝ . ∴所求函数的表达式为y＝ （x＋1）（x－2）， 即y＝ x2－ x－1. 7. 已知抛物线过点A（2，0），B（－1，0），与y轴 交于点C，O为坐标原点，且OC＝2，则这条抛物线的 函数表达式为（　C　） A. y＝x2－x－2 B. y＝－x2＋x＋2 C. y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D. y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C 8. （1）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x ＝2，且经过点（1，4）和点（5，0），则它的函数表 达式为 ⁠； （2）已知二次函数的图象经过原点及点 ， 且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为1，则该二次 函数的表达式为 ⁠. y＝－ x2＋2x＋ 　 y＝－ x2＋ x或y＝x2＋x　 9. （1）将抛物线y＝2（x－1）2＋3绕它的顶点旋转 180°后得到的抛物线的函数表达式为 ⁠ ⁠； （2）将抛物线y＝2（x－1）2＋3绕着原点O旋转 180°，则旋转后的抛物线的函数表达式为 ⁠ ⁠； （3）将抛物线y＝2（x－1）2＋3沿x轴翻折，则翻折 后的抛物线的函数表达式为 ⁠； （4）将抛物线y＝2（x－1）2＋3沿y轴翻折，则翻折 后的抛物线的函数表达式为 ⁠； y＝－2x2＋4x ＋1　 y＝－2x2 －4x－5　 y＝－2x2＋4x－5　 y＝2x2＋4x＋5　 （5）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝－x平移 个单 位长度后，其顶点在直线上的点A处，则平移后的抛物 线的函数表达式为 ⁠. [第9（5）题] y＝x2＋2x＋2　 10. 如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的 图象与x轴交于点A（－1，0），B（2，0），与y轴交 于点C，且tan∠OAC＝2. （1）求二次函数的解析式； 解：（1）∵A（－1，0），∴OA＝1. ∵tan∠OAC＝ ＝2， ∴OC＝2OA＝2，即点C的坐标为（0，－2）. 设二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－2）， 将C点坐标代入，得a＝1. ∴二次函数的解析式为y＝（x＋1）（x－2）＝x2－x －2. （2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数的图象于点 D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接 PB，PC，BC，BD，CD. 若S△PBC＝S△BCD，求点P 的坐标. 解：（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝ ， CD∥x轴，C（0，－2），∴D（1，－2）. 如答案图，过点D作DF∥BC，交x轴于点F. （答案图） ∵B（2，0），C（0，－2）， ∴直线BC的解析式为y＝x－2. ∵DF∥BC，∴直线DF的解析式为y＝x－3. 令x2－x－2＝x－3，解得x1＝x2＝1. ∴直线DF与抛物线只有一个公共点. 延长DC至点E使CE＝CD， 作EP1∥BC，交抛物线于点P1，P2. ∴E（－1，－2）， ∴直线EP1的解析式为y＝x－1， ∴令x2－x－2＝x－1， （答案图） 解得x1＝1＋ ，x2＝1－ . ∴P（1－ ，－ ）或 P（1＋ ， ）. 综上所述，点P的坐标为（1＋ ， ）或（1－ ，－ ）. （答案图） （敢于挑战，突破自我） 11. 将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移2个单位长 度，得到抛物线C2，将抛物线C2绕其顶点旋转180°得 到抛物线C3，则抛物线C3与y轴的交点坐标是 （　B　） A. （0，－1） B. （0，1） C. （0，－2） D. （0，2） B 12. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交 于点C，且A，B两点的横坐标分别为－1，4，△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，则此抛物线的顶点坐标 为 ⁠. （第12题） 　 13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点C（0，3）， 与x轴交于点A（－1，0）和点B（点B在点A的右 边），且OB＝OC. （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； 解：（1）∵点C（0，3），OB＝OC，∴B（3，0）. 设该抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）（x－3）， 将C（0，3）代入，得3＝－3a，解得a＝－1. ∴抛物线的函数表达式为y＝－（x＋1）（x－3）， 即y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）. （2）如图1，D，E是直线x＝1上的两个动点，且DE ＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最 小值； 解：（2）如答案图1，把点C向下移1个单位长度得点 C'，再作C'关于直线x＝1的对称点C″，连接AC″交直 线x＝1于点E，再在直线x＝1上点E上方取点D，使得 DE＝1，连接CD，则CD＝C'E＝C″E，此时，四边形 ACDE的周长最小. （答案图1） ∵C（0，3），∴C'（0，2）， ∴C″（2，2）. ∵A（－1，0）， ∴AC＝ ＝ ， AC″＝ ＝ ， ∴四边形ACDE的周长的最小值为AE＋DE＋CD＋AC ＝DE＋AC＋AC″＝1＋ ＋ . （答案图1） （3）如图2，P为抛物线上一动点，连接CP，直线CP 把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标. 解：（3）如答案图2，设直线CP交x轴于点E. （答案图2） ∵直线CP把四边形CBPA的面积分为 3∶5两部分，S△PCB∶S△PCA＝ ∶ ＝BE∶AE， ∴BE∶AE＝3∶5或BE∶AE＝5∶3. 又∵BE＋AE＝AB＝4， ∴AE＝2.5或1.5， 即点E的坐标为（1.5，0）或（0.5，0）. 设直线CP的函数表达式为y＝kx＋3（k≠0）. 将点E的坐标代入，得k＝－2或－6， ∴直线CP的函数表达式为 y＝－2x＋3或y＝－6x＋3. 联立 或 解得x＝4或8（不合题意的值已舍去）， ∴点P的坐标为（4，－5）或（8，－45）. （答案图2） $$第二章　二次函数 4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决以最大面积 为代表的实际问题 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象 （0≤x≤4）如图所示，关于该函数在所给自变量的取 值范围内，下列说法正确的是（　A　） A. 有最大值 2，有最小值－2.5 B. 有最大值 2，有最小值 1.5 C. 有最大值 1.5，有最小值－2.5 D. 有最大值 2，无最小值 （第1题） A 2. 把一根长为2 m的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边 长为x m时，它的面积为y m2，则y关于x的函数表达式 是（　D　） A. y＝2x2－2x B. y＝－2x2＋2x C. y＝x2－x D. y＝－x2＋x D 3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水 在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：m） 的一部分，则水喷出后离地面的最大高度是（　A　） A. 4 m B. 3 m C. 2 m D. 1 m （第3题） A 4. 如图，矩形ABCD的周长为18，其中E，F，G，H 为矩形ABCD的各边中点.若AB＝x，四边形EFGH的 面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ⁠ ⁠. （第4题） y＝－ x2＋ x 　 5. 已知一个直角三角形的两直角边长之和为20，则该 三角形的面积S和一直角边长x的函数表达式为 ⁠ ，当x＝ 时，S最大，S的最大值 为 ⁠. S＝ － x2＋10x　 10　 50　 （1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144 cm2，则 AB的长为多少厘米？ 解：（1）设框架的长AD为x cm，则宽AB为 cm.由题意，得x· ＝144， 解得x＝12或x＝18. 当x＝12时， ＝12，当x＝18时， ＝8， ∴AB的长为12 cm或8 cm. （第6题） 6. 【教材改编】如图，用一根长60 cm的铁丝制作一个 “日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完. （2）求矩形框架ABCD面积的最大值. 解：（2）由（1）知，框架的长AD为x cm，则 宽AB为 cm， ∴∴0＜x＜30. ∴S＝x· ＝－ （x－15）2＋150. ∵－ ＜0，0＜x＜30，∴当x＝15时，矩形框架ABCD的面积最大，最大面积为150 cm2. （第6题） 7. （2024·成都石室）用12米长的围栏围成一边靠墙 （墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红 提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这 三种方案，最佳方案是（　C　） A. 方案1 B.方案2 （第7题） C. 方案3 D.方案1或方案2 C 8. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC ＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的 速度移动（点P不与点B重合），动点Q从点B开始沿 边BC向点C以2 cm/s的速度移动（点Q不与点C重 合）.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经 过 s，四边形APQC的面积最小，最小值 为 ⁠. 3　 27　 （第8题） 9. （2024·成都七中）如图，为了提醒司机安全驾驶， 要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道 截面为抛物线型，水平路面宽AB＝16 米，抛物线顶点C到AB距离为12米. 根据计划，安装矩形显示屏MNPQ的 高MQ为1米，为了确保行车安全，显 示屏底部距离地面至少8米，若距离左 右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏MNPQ的宽QP的最大长度为 米. 6　 （第9题） 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过点E（10， 0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的 左边），点C，D在抛物线上.设A（t，0），当t＝2 时，AD＝4. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）设抛物线的表达式为 y＝ax（x－10）. 由题意，知抛物线经过（2，4）， ∴－16a＝4，解得a＝－ ， ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x（x－10）， 即y＝－ x2＋ x. （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大 值是多少？ 解：（2）由抛物线的对称性，得BE＝OA＝t， ∴AB＝10－2t（0＜t＜5）. 当x＝t时，AD＝－ t2＋ t， ∴矩形ABCD的周长为 2（AB＋AD）＝2 ＝－ （t－1）2＋ . ∵－ ＜0，0＜t＜5， ∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 . （敢于挑战，突破自我） 11. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的 运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一 种常见的防守手段，防守球员在篮球上升阶段将球拦截 即为“盖帽”，而防守球员在篮球下降阶段将球拦截则 属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的 影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖 帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某 球员投篮可以简化为下述数学模型： 如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影 响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路 是（　B　） A. P→A→Q B. P→B→Q C. P→C→Q D. P→D→Q （第11题） B 12. （2024·自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面 积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O （如图），其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE ＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝ 3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙 围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地的最大面积 是 m2. 46.4　 （第12题） 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－ 3与x轴交于点A（－1，0），B（4，0），与y轴交于 点C，连接BC. （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线顶点 坐标； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－3过点 A（－1，0），B（4，0）， ∴ （第13题） 解得 ∴抛物线的函数表达式为 y＝ x2－ x－3， 顶点坐标为 . （第13题） （2）D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD， E是AD的中点，连接BE，CE，求出△BCE的面积的 最小值. 解：（2）设点D的坐标为（0＜m＜4）. ∵A（－1，0），E是AD的中点， ∴点E的坐标为. 易知点C的坐标为（0，－3）. （第13题） ∴直线BC的函数表达式为y＝ x－3. 如答案图，过点E作EF∥y轴交BC于点F. （答案图） ∴F ， ∴EF＝ － ＝ m2－ m＋ ， ∴S△BCE＝ × ×4＝ （m－2）2＋ . ∵ ＞0，0＜m＜4， ∴当m＝2时，S△BCE取得最小值，最小值为 . （答案图） $$第二章　二次函数 4　二次函数的应用 第2课时　利用二次函数解决以最大利润 为代表的实际问题 1.160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每 次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为 （　D　） A. y＝320（x－1） B. y＝320（1－x） C. y＝160（1－x2） D. y＝160（1－x）2 D 2. 便民商店经营一种商品，在销售过程中发现一周利 润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝－ 2（x－20）2＋1 558，由于某种原因，销售单价的取值 范围为15≤x≤22，那么该商店此种商品一周可获得的 最大利润是（　D　） A. 20元 B. 1 508元 C. 1 550元 D. 1 558元 D 3. 一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天 可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元， 则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每 件需降价（　B　） A. 3.6元 B. 5元 C. 10元 D. 12元 B 4. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中 形成一条抛物线，如图所示，在抛物 线的各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m）与它距离喷头的水平距 离x（单位：m）之间满足函数关系式 y＝－2x2＋4x＋1，则喷头喷出水珠的 最大高度是 m. 3　 （第4题） 5. 某工厂今年一月份生产护目镜的产量是20万件，计 划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么 第一季度护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表 示为 ⁠. y＝20＋20（x＋1）＋20（x＋1）2　 6. 商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利40元. 为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查 发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2 件.设每件商品降价x元.请回答： （1）降价后每件商品可盈利 元，商场该 商品日销售量增加 件；（用含x的代数式表示） （40－x）　 2x　 （2）每件商品降价多少元时，商场该商品的日盈利最 多？最多为多少元？ 解：（2）设商场的日盈利为y元， 根据题意，得 y＝（40－x）（20＋2x）＝－2（x－15）2＋1 250， ∴当x＝15时，y最大＝1 250. 答：每件商品降价15元时，商场该商品的日盈利最多， 最多为1 250元. 7. 生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损 时就会及时停产.某公司生产季节性产品，一年中第n 月获得的利润y和对应月份n之间的函数表达式为y＝ －n2＋12n－11，则该公司一年12个月中应停产的所有 月份是（　D　） A. 6 B. 1，11 C. 1，6，11 D. 1，11，12 D 8. 某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已 知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x （辆）之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公 司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的 最大利润为 万元. 46　 （第9题） 9. 某食品零售店新上架一款冷饮产品， 每个成本为8元，在销售过程中，每天 的销售量y（个）与销售价格x（元/个） 的关系如图所示，当10≤x≤20时， 其图象是线段AB，则该食品零售店每 天销售这款冷饮产品的最大利润 为 元.（利润＝总销售额－总成本） 121　 10. （2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影 片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出 的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张） 之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数）， 部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； 解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b， ∴解得 ∴y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324 （30≤x≤80，且x是整数）. （2）设该影院每天的利润为w（单位：元），求w与x 之间的函数关系式；（利润＝票房收入－运营成本） 解：（2）由题意可得，w＝x（－4x＋324）－2 000＝ －4x2＋324x－2 000. （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最 大？最大利润是多少？ 解：（3）由（2），知w＝－4x2＋324x－2 000＝ －4 ＋4 561. ∵－4＜0，30≤x≤80，且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，此时w＝4 560. 答：该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每 天获利最大，最大利润是4 560元. （敢于挑战，突破自我） 11. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后 的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后 的竖直高度y（m）与水平距离x（m） 近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c （a≠0）.如图记录了某运动员起跳 后的x与y的三组数据，根据上述函数模 型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行 到最高点时，水平距离为（　B　） A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 22.5 m （第11题） B 12. 距离地面有一定高度的某发射装置竖 直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t（秒）之间满 足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如 图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到 落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的 “极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差）， 则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当 2≤t≤3时，w的取值范围是 ⁠. 0≤w≤5　 5≤w≤20　 （第12题） 13. 随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥 技术优势，一次性收购了10 000千克小龙虾，计划养殖 一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放 养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为a千克，销售单 价为y元/千克，根据往年的行情预测，a与t的函数关系 为a＝y与t的函数关系如 图所示. （1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求 m与n的值； 解：（1）由题意，得 解得 （第13题） （2）求y与t的函数关系式； 解：（2）当0≤t≤20时，设y＝ k1t＋b1.由图象，得 解得 ∴y＝ t＋16； （第13题） 当20＜t≤50时，设y＝k2t＋b2.由 图象，得解得 ∴y＝－ t＋32. 综上所述，y＝ （第13题） （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润 为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后 一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－ 总成本） 解：（3）由题意，知W＝ya－mt －n. 当0≤t≤20时， W＝10 000 －600t－ 160 000＝5 400t. ∵5 400＞0， ∴当t＝20时，W取最大值，W最大 ＝5 400×20＝108 000； （第13题） 当20＜t≤50时，W＝ （100t＋8 000）－ 600t－160 000＝－20（t－25）2＋108 500. ∵－20＜0，∴当t＝25时，W取最大值，W最大＝108 500. ∵108 500＞108 000， ∴当t＝25时，W取得最大值，最大值为108 500. 答：这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大， 最大利润是108 500元. $$第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 1. 抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的 值为（　B　） A. － B. C. －4 D. 4 B 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所 示，则方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是（　B　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个不相等的负实数根 D. 没有实数根 （第2题） B 3. 已知二次函数y＝x2－2x＋k（k为常数）的图象与x 轴的一个交点是（－1，0），则关于x的一元二次方程 x2－2x＋k＝0的两个实数根是（　C　） A. x1＝－1，x2＝－3 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝1，x2＝－3 C 4. （2024·青岛）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上部 分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示： x … －2 －1 0 1 … y … 0 4 6 6 … 据此我们可以推知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 是 ⁠. 5. 已知二次函数y＝（k－1）x2＋2x－1与x轴有交 点，则k的取值范围是 ⁠. x1＝－2，x2＝3　 k≥0且k≠1　 （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范 围； 解：（1）由题知Δ＝1＋4m＞0， 解得m＞－ . （第6题） 6. 已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0. （2）二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求 一元二次方程x2＋x－m＝0的解. 解：（2）由图知x2＋x－m＝0的一个根为 1， ∴12＋1－m＝0，解得m＝2， 即一元二次方程为x2＋x－2＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. （第6题） 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标 为（－1，n），其部分图象如图所示，则以下结论错 误的是（　C　） A. abc＞0 B. 该二次函数的图象经过点（－2，c） C. 3a＋c＞0 D. 关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实 数根 （第7题） C 8. （2024·成都七中）抛物线y＝x2－x－1 012与x轴交 于（α，0），（β，0）两点，则α2＋β2－1＝ ⁠. 2 024　 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛 物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 0 －2 －3 －3 －2 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线x＝ ； ③抛物线与y轴的交点坐标为（0，－3）； ④由抛物线可知ax2＋bx＋c＜0的解集是－2＜x＜3； ⑤关于x的方程ax2＋bx＋c＝1无实数根. 其中正确的是 .（填序号） ①②③④　 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ （x－ 1）2－2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）， 第一象限内的点C在该抛物线上. （1）直接写出A，B两点的坐标； 解：（1）令y＝0，即 （x－1）2－2＝ 0，解得x1＝－1，x2＝3. ∵点A在点B左侧， ∴A（－1，0），B（3，0）. （第10题） （2）若△ABC的面积为12，求点C的坐标； 解：（2）∵A（－1，0），B（3，0）， ∴AB＝4.又∵S△ABC＝ AB·yC＝12， 即 ×4×yC＝12，解得yC＝6. ∵点C在抛物线上，代入，得 （x－1）2－2＝6， 解得x1＝5，x2＝－3（不符题意，舍去），∴C（5，6）. （第10题） （3）在（2）的条件下，直线y＝mx＋n经过A，C两 点.当 （x－1）2－2＞mx＋n时，直接写出x的取值 范围. 解：（3）由图象，知x＜－1或x＞5. （第10题） （敢于挑战，突破自我） 11. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分 如图所示，已知图象经过点（－1，0），其对称轴为直 线x＝1.下列结论，其中正确的有（　B　） （第11题） B ①abc＜0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＞0；④若抛物线 经过点（－3，n），则关于x的一元二次方程ax2＋bx ＋c＝n（a≠0）的两根分别为－3，5. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 12. 函数y＝ax2－（3a＋1）x＋2a＋1（a为常数）的 图象与坐标轴只有两个交点，则a＝ ⁠. 0或－ 或－1　 （1）求m和b的值； 解：（1）将点A（2，0）代入抛物线表达 式，得0＝4＋2m， 解得m＝－2. 将点A（2，0）代入直线表达式，得 0＝－2＋b，解得b＝2. 故m＝－2，b＝2. （第13题） 13. 如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于 点A（2，0）和点B. （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞ －x＋b的解集； 解：（2）由（1）得，直线和抛物线的表 达式分别为y＝－x＋2，y＝x2－2x， 联立解得或（舍） ∴点B的坐标为（－1，3）. 由图象可知，不等式x2＋mx＞－x＋b的 解集为x＜－1或x＞2. （第13题） （3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3 个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公 共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 解：（3）①当点M在线段AB上时， ∵MN的距离为3，而AB的水平距离为3， ∴此时线段MN与抛物线只有一个公共点， 即－1≤xM＜2； ②当点M在点B的左侧时，线段MN与抛 物线没有公共点； ③当点M在点A的右侧时，当xM＝3时，抛 物线和线段MN交于抛物线的顶点（1，－ 1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有 一个公共点. 综上所述，－1≤xM＜2或xM＝3. （第13题） $$第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数图象求方程近似根 1. 根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可 以求出下列方程中哪个方程的近似解（　A　） A. x2＋3x－1＝0 B. x2＋3x＋1＝0 C. 3x2＋x－1＝0 D. x2－3x＋1＝0 A 2. 下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函 数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.67 －0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可 能是（　C　） A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 C 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过（－3，0）与 （1，0）两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0（m ＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是 （　A　） A. －5 B. －3 C. －1 D. 3 A 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示， 由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两 个根分别是x1＝1.4，x2＝ ⁠. （第4题） 4.6　 5. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，7），B （6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8 的另一点的坐标是 ⁠. （1，－8）　 6. 利用二次函数y＝x2＋x－3的图象求一元二次方程x2 ＋x－3＝0的近似根. 解：在平面直角坐标系中作出函数y＝x2＋x－3的图 象，如答案图所示，由图象可知方程有两个根，一个根 在－3和－2之间，另一个根在1和2之间. （答案图） （1）先求－3与－2之间的根，利用计算器探索如下 表： x －2.1 －2.2 －2.3 －2.4 y －0.69 －0.36 －0.01 0.36 因此，x＝－2.3是方程的一个近似根； （2）另一根也可类似地求出： x 1.1 1.2 1.3 1.4 y －0.69 －0.36 －0.01 0.36 因此，x＝1.3是方程的另一个近似根. ∴x1＝ ≈1.3，x2＝ ≈－2.3. ∴利用图象法求得方程x2＋x－3＝0的近似根为 x1≈1.3，x2≈－2.3. 7. 函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中 错误的是（　D　） A. a＞0 B. b2－4ac＞0 C. ax2＋bx＋c＝0的两根之和小于0 D. ax2＋bx＋c＝0的两根之积大于0 （第7题） D 8. 如表是若干组二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与 函数值y的对应值： x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 … 则下面哪个数是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似 根（精确到0.1）（　C　） A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3 C 9. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2 －m，c），B（m＋2，c），则△AOB的面积 为 ⁠. 8　 （1）下表给出了部分x，y的取值： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 －1 0 3 0 －1 0 3 … 由上表可知，a＝ ，b＝ ⁠； －2　 －1　 10. 根据学习函数的经验，探究函数y＝x2＋ax－ 4 ＋4（b＜0）的图象和性质： （2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2＋ax －4 ＋4的图象； 解：（2）画出函数图象如图 所示. （第10题） （第10题） （3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性 质； （4）若方程x2＋ax－4 ＋4＝x＋m至少有3个不 同的实数解，则m的取值范围为 ⁠. － ≤m≤2　 解：（3）性质：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1（答案不唯一）. （敢于挑战，突破自我） 11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值 如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1 下列结论：①抛物线开口向下；②其图象的对称轴为直 线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④ 方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有 （　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 12. （2024·成都七中）抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴 为直线x＝－1.若关于x的一元二次方程x2＋（b＋1） x＋3－t＝0（t为实数）在－4≤x＜1的范围内x只能取 一个值使方程成立，则t的值是 ⁠. 7或 　 13. 如图1，已知抛物线y＝－ x2＋x＋c与y轴交于点 C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），且经 过点（2，4）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； 解：（1）将（2，4）代入抛物线表达式，得 4＝－ ×4＋2＋c，解得c＝4， ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋4＝－ （x－1）2 ＋ ，顶点坐标为（1， ）. （2）如图2，直线AC绕平面内一点P逆时针旋转90° 后，交抛物线于点E，F（点E在点F的左边）两点， EF＝2AC，求点E的坐标； 解：（2）令y＝－ x2＋x＋4＝0， 解得x1＝4，x2＝－2， ∴A（－2，0），B（4，0），C（0，4）， ∴AO＝2，CO＝4. 如答案图1，过点E作y轴的平行线EK，过点F作x轴的 平行线FH，交直线EK于点H. 由旋转可得，EF⊥AC. 易得∠ACO＝∠EFH，∠AOC＝∠EHF＝90°， ∴△EFH∽△ACO，∴ ＝ ＝ ＝2. ∴HF＝2CO＝8，EH＝2AO＝4. 设E（m，－ m2＋m＋4）， 则F（m＋8，－ m2＋m）， ∴－ m2＋m＝－ （m＋8）2＋m＋8＋4， 解得m＝－ ，∴E（－ ，－ ）. （答案图1） （3）在（2）的条件下，若点P在抛物线的对称轴上， 请求出点P的坐标. 解：（3）由（2），得E（－ ，－ ）， F（ ，－ ）. 设直线EF的表达式为y＝kx＋b. 代入点E，F的坐标，得 解得 ∴直线EF的表达式为y＝－ x－ . 如答案图2，将点C绕直线x＝1上的点P逆时针旋转 90°，得到点C'. （答案图2） 由题意可知，点C'在直线EF上， 设点P（1，n）.∵C（0，4）， 由旋转，得点C的对应点C'的坐标为 （n－3，n－1）.代入直线EF的表达式， 得－ （n－3）－ ＝n－1， 解得n＝－ ， ∴点P的坐标为（1，－ ）. （答案图2） $$第二章　二次函数 《二次函数》章末考点复习与小结 a 向上 向下 减小 增大 增大 减小 两个不相等 2个 两个相等 1个 无 没有 考点一　二次函数的图象与性质 1. 对于二次函数y＝－ x2＋x－4，下列说法正确的是 （　B　） A. 当x＞0时，y的值随x的值的增大而增大 B. 当x＝2时，y有最大值－3 C. 图象的顶点坐标为（－2，－7） D. 图象与x轴有两个交点 B 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标 y的对应值如下表： x －2 －1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论中不正确的是（　C　） C A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线x＝ C. 抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0） D. 函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为 3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx＋2b与 y＝－ax＋b的图象可能是（　D　） A B C D D 4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点 A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点 （点C在点D右侧），对称轴为直线x＝ ，连接AC， AD，BC. 若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段 OC上，则下列结论中错误的是（　D　） D A. 点B的坐标为（5，4） B. AB＝AD C. a＝－ D. OC·OD＝16 （第4题） 5. （1）二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A （－2，m），B（4，m），C（5，n），则c和n的大小关系是c n；（填“＞”“＜”或“＝”） （2）已知点（－1，y1），（ ，y2），（2，y3）在 函数y＝ax2－2ax＋a－2（a＞0）的图象上，那么y1， y2，y3按由小到大的顺序排列是 ⁠. 6. 若抛物线y＝（k－1）x2＋2kx＋3k－2的最低点在x 轴上，则k＝ ⁠. ＜　 y2＜y3＜y1　 2　 （第7题） 考点二　二次函数的图象与系数的关系 7. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a≠0）的图象如图所示，现给出以 下结论：①abc＞0；②b＋2a＝0； ③9a－3b＋c＝0；④a－b＋c≤am2＋ bm＋c（m为实数）.其中结论正确的有 （　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 交x轴于点A（－1，0），B（3，0）， 交y轴的负半轴于点C，顶点为D. 下列结 论：①bc＜0；②2a＋b＝0；③2a＋c ＞0；④当m≠1时，a＋b＜am2＋bm； ⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形. 其中正确的是 .（填序号） ②④　 （第8题） 考点三　二次函数的表达式和最值 9. 已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－8）和（3，0），则它的表达式为 ⁠. 10. （1）若函数y＝a（x－h）2＋k的图象经过原点， 最小值为－8，且形状与抛物线y＝－2x2－2x＋3相 同，则此函数关系式为 ⁠ ⁠； y＝2x2－4x－6　 y＝2x2＋8x或y＝2x2－ 8x　 （2）对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过点 A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛 物线的表达式为 ⁠. y＝－ x2＋3x或y＝ x2－3x　 11. （1）二次函数y＝x2－16x－8的最小值是 ⁠ ⁠； （2）二次函数y＝x2－2x＋1在3≤x≤5范围内的最小 值为 ⁠； （3）当－2≤x≤1时，抛物线y＝－（x－m）2＋m2＋ 1有ymax＝4，则m＝ ⁠. － 72　 4　 2或－ 　 考点四　二次函数的图象与几何变换 12. 将抛物线y＝（x－3）（x－5）先绕坐标原点O旋 转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达 式为（　A　） A. y＝－x2－4x－3 B. y＝－x2－12x－35 C. y＝x2＋12x＋35 D. y＝x2＋4x＋3 13. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2 个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝x2 ＋4x＋5，则原抛物线的表达式是 ⁠. A y＝x2－2x　 14. 如图，已知点A（3，0），B（1，0）， 两点C（－3，9），D（2，4）在抛物线 y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C， D两点的对应点分别为点C'，点D'.当四边 形ABC'D'的周长最小时，平移后的抛物线的 表达式为 ⁠. y＝ 　 （第14题） 提示：过点C，D作x轴平行线，作点A关于直线y＝4 的对称点A'，过点A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接 BE交直线y＝9于点C'，过点C'作C'D'∥CD，交直线y＝ 4于点D'，此时BC'＋AD'最小，即四边形ABC'D'的周长 最小. 考点五　二次函数与方程和不等式 15. 抛物线y＝2x2＋2（k－1）x－k（k为常数）与x 轴交点的个数是 ⁠. 16. （1）抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示， 则当y＞0时，x的取值范围是 ⁠； 2　 x＜－1或x＞3　 [第16（1）题] （2）二次函数y＝（x－2）2＋m的图象如图所示，一 次函数y＝kx－b的图象过该二次函数图象上的点A （1，0），B（4，3），则满足（x－2）2－kx＋b＋ m≤0的x的取值范围是 ⁠. [第16（2）题] 1≤x≤4　 17. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且 a≠0）的图象上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值 如下表： x … －1 0 1 2 3 … y … －3 －3 －1 3 9 … 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个负数解x1满足k＜x1 ＜k＋1（k为整数），则k＝ ⁠. －3　 考点六　二次函数的应用 18. （1）【跨学科融合】如图，以一定的速度将小球 沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是 一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系：h＝－5t2＋20t，则当小球的飞行高度达到最高 时，飞行时间t＝ s； [第18（1）题] 2　 （2）如图，一位篮球运动员正在投篮，球沿抛物线y＝ －0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮 筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水 平距离OH是 ⁠； 4 m　 [第18（2）题] 19. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段 时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8 件，而销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，则当 每件的销售价为 元时，该服装店平均每天的销售 利润最大. 22　 20. 如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积 为 m2. （第20题） 32　 21. 某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单， 要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效 率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种 产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件， 由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到50件 后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成 本就增加10元. （1）设第x天生产产品y件，求出y与x之间的函数表达 式，并写出自变量x的取值范围； 解：（1）y与x之间的函数表达式为y＝42＋2（x－1） ＝40＋2x（1≤x≤10，且x为整数）. （2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过50件 时）为1 000元，订购价格为每件1 460元，设第x天的利 润为W元，试求W与x之间的函数表达式，并求出该公 司哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解：（2）当1≤x≤5时， W＝（1 460－1 000）（40＋2x）＝920x＋18 400. ∵920＞0， ∴W的值随x的值的增大而增大， ∴当x＝5时，Wmax＝920×5＋18 400＝23 000； 当5＜x≤10时， W＝ （40＋ 2x） ＝－40x2＋320x＋22 400 ＝－40（x－4）2＋23 040. ∵－40＜0，5＜x≤10，x为整数， ∴当x＝6时，Wmax＝22 880. ∵23 000＞22 880， ∴当x＝5时，W最大，且Wmax＝23 000. ∴W与x之间的函数表达式为 W＝ 该公司第5天获得的利润最大，最大利润是23 000元. （3）该公司当天的利润不低于22 680元的是哪几天？ 请直接写出结果. 解：（3）当1≤x≤5时，由920x＋18 400≥22 680，得 x≥4 ，∴x＝5； 当5＜x≤10时，由－40（x－4）2＋23 040≥22 680， 得1≤x≤7，∴x＝6或7. ∴该公司当天的利润不低于22 680元的是第5，6，7天. 考点七　二次函数与几何综合问题 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋ 2与x轴交于A（－1，0），B（6，0）两点，交y轴于 点C. （第22题） （1）求抛物线的表达式； 解：（1）将点A（－1，0），B（6，0）代入y＝ax2 ＋bx＋2， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作 PE∥y轴交BC于点E，在y轴上取一点F，使得EF＝ EC，求PE＋CF的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）易知C（0，2）， 则直线BC的表达式为y＝－ x＋2. 设P （0＜t＜6）， 则E ， ∴PE＝－ t2＋ t＋2＋ t－2＝－ t2＋2t. ∵EF＝EC，∴F ，∴CF＝ t， ∴PE＋CF＝－ t2＋ t＝－ （t－4）2＋ . ∵－ ＜0，0＜t＜6， ∴当t＝4时，PE＋CF取得最大值， 最大值为 ，此时P . （3）将该抛物线沿射线BC方向平移 个单位长度， 在平移后的抛物线上确定一点M，使得∠BCM＝ 2∠OBC，直接写出所有符合条件的点M的横坐标. 解：（3）将抛物线沿射线BC方向平移 个单位长 度，即将抛物线向上平移1个单位长度，向左平移3个 单位长度，∴平移后的抛物线的表达式为 y＝－ （x＋3）2＋ （x＋3）＋2＋1 ＝－ x2－ x＋5. 设M . 当点M在直线BC上方时，如答案图， 过点C作x轴的平行线l，作点B关于直线l的对称点E，连接BE交l于点H，连接CE， （答案图） （答案图） 则E（6，4），∠OBC＝∠HCB，∠HCE＝∠HCB， ∴∠BCE＝2∠OBC. ∵∠BCM＝2∠OBC，∴点M在射线CE上. ∵tan∠OBC＝ ，即tan∠HCE＝ ， ∴ ＝ ， 解得m＝－1＋ 或m＝－1－ （舍）， ∴点M的横坐标为－1＋ ； 当点M在直线BC下方时，如答案图，作点E关于直线 BC的对称点F，连接EF交BC于点G，连接CF， 则∠BCF＝∠BCE＝2∠OBC， ∴点M在射线CF上. ∵点E，F关于直线BC对称， kBC＝－ ， ∴kEF＝3. （答案图） （设直线EF的表达式为y＝3x＋n. 将E（6，4）代入，得3×6＋n＝4，解得n＝－14， ∴直线EF的表达式为y＝3x－14. 联立解得 ∴G . （答案图） ∵点G是EF的中点，∴F ， ∴直线CF的表达式为y＝－ x＋2. 当－ x＋2＝－ x2－ x＋5时， 解得x＝ 或x＝ （舍）， ∴点M的横坐标为 . 综上所述，点M的横坐标为 或－1＋ . （答案图） $$第二章　二次函数 专题七　[提升]二次函数中角度存在性问题 类型一　二次函数中角度为定值问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋ 2交x轴于A（－1，0），B（3，0）两点，交y轴于点 C. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）将A，B两点代入抛物线的表达式，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作 PD∥y轴交BC于点D，过点P作PE⊥AC交直线AC于 点E，求 PE＋PD的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）易得C（0，2）， ∴直线AC的表达式为y＝2x＋2， 直线BC的表达式为y＝－ x＋2. 过点P作PQ∥x轴，交直线AC于点Q，如答案图1， （答案图1） ∴∠PQE＝∠CAO. ∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝ ， ∴ sin ∠CAO＝ sin ∠PQE＝ ， ∴PE＝ PQ. 设P ，其中0＜x0＜3， 则D ， Q（－ ＋ x0，－ ＋ x0＋2）， ∴ PE＋PD＝ PQ＋PD ＝ （x0＋ － x0）＋（－ ＋ x0＋2＋ x0－2）＝－ ＋ . （答案图1） ∵－ ＜0，0＜x0＜3， ∴当x0＝ 时， PE＋PD取得最大值， 最大值为 ，此时P . （答案图1） （3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线AC方向平 移 个单位长度，新抛物线的对称轴与x轴交于点K， 在直线AP上存在点G，连接KG，过点G作线段GK的 垂线交y轴于点H，连接HK，使∠HKG＝30°.请直接 写出所有符合条件的点G的坐标，并把求解其中一种情 况的过程写出来. 解：（3）将抛物线沿射线AC方向平移 个单位长 度，即将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度， ∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，∴K（2，0）. 过点G作GM⊥x轴于点M，作GN⊥y轴于点N，如答 案图2， （答案图2） （答案图2） ∴GM⊥GN. 又∵HG⊥GK， ∴∠HGK＝∠MGN＝90°， ∴∠HGN＝∠KGM， ∴△HGN∽△KGM，∴ ＝ . ∵在Rt△HKG中，∠HKG＝30°， ∴tan∠HKG＝ ＝ ，∴ ＝ ， ∴当点G在第一、三象限时，点G在直线y＝ x上； 当点G在第二象限时，点G在直线y＝－ x上. 易得直线AP的表达式为y＝ x＋ . 联立 （答案图2） 解得或 ∴G 或 . （答案图2） 类型二　二次函数中角度相等问题 2. （2024·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋4（a≠0）经过点（－1，6），与y轴交 于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 连接AC，BC，tan∠CBA＝4. （第2题） （1）求抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4 （a≠0）与y轴交于点C， ∴C（0，4），∴OC＝4. 在Rt△OBC中，∠COB＝90°， tan∠CBA＝ ＝4， ∴OB＝1，∴B（1，0）. 将点（－1，6），（1，0）分别代入 y＝ax2＋bx＋4，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4. （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作 PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D. 点M是线段DE上 一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中 点，连接AM，NF. 当线段PD长度取得最大值时，求 AM＋MN＋NF的最小值； 解：（2）易得A（－4，0）. ∴直线AC的表达式为y＝x＋4. 设P（m，－m2－3m＋4）， 则D（m，m＋4），－4＜m＜0， ∴PD＝－m2－3m＋4－（m＋4） ＝－m2－4m＝－（m＋2）2＋4. ∵－1＜0，－4＜m＜0， ∴当m＝－2时，线段PD长度的最大值为4. 此时P（－2，6），E（－2，0），D（－2，2）. ∵MN⊥y轴，点M在直线x＝－2上，∴MN＝EO＝2. 如答案图，连接EF，EN. （答案图） ∵AE＝2＝MN，MN∥AE， ∴四边形AENM为平行四边形，∴AM＝EN. ∴AM＋NF＝EN＋NF的最小值为EF的值. ∴AM＋MN＋NF的最小值为MN＋EF. ∵点F为线段BC的中点， ∴F .∴EF＝ ＝ . ∴AM＋MN＋NF的最小值为 . （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经 过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线 AC相交于另一点K. 点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的 坐标. 解：（3）由题意易知，平移后的抛物线的表达式为y＝－（x＋2）2－3（x＋2）＋4－2＝－x2－7x－8，K（－6，－2）. ①当点Q在直线AC下方时，过点D作DQ∥BC，则∠QDK＝∠ACB. 易得直线BC的表达式为y＝－4x＋4， ∴直线DQ的表达式为y＝－4x－6. 联立解得或 （舍）. ∴Q（－1，－2）； ②当点Q'在直线AC上方时，作点Q关于 直线AC的对称点G（s，t），DG与新抛 物线交于点Q’， 则∠Q'DK＝∠QDK＝∠ACB. ∴解得 ∴G（－6，3）， ∴直线DG的表达式为y＝－ x＋ . 联立 解得（舍）或 ∴Q' . 综上所述，所有符合条件的点Q的坐标 是（－1，－2）或 . 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C，已知A（－2，0），B（4，0），连接BC. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过 点P作PE⊥BC，垂足为E，作PF∥BC交y轴于点F， 求 PE＋CF的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）易得C（0，2）.∵B（4，0）， ∴OB＝4，OC＝2，BC＝2 . 易得直线BC的表达式为y＝－ x＋2. ， 如答案图，过点P作PM∥y轴交BC于点M， （答案图） ∴∠PME＝∠OCB， ∴ sin ∠PME＝ sin ∠OCB＝ ＝ ＝ ＝ ，∴PM＝ PE. ∵PF∥CE，CF∥PM， ∴四边形CFPM是平行四边形， ∴CF＝PM， ∴ PE＋CF＝PM＋PM＝2PM. 设P ， 则M ，0＜t＜4， （答案图） ∴ PE＋CF＝2PM ＝2 ＝－ （t－2）2＋2. ∵－ ＜0，0＜t＜4， ∴当t＝2时， PE＋CF有最大值2，此时P（2，2）. （3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移2 个单位 长度得到新抛物线y1，点Q为新抛物线y1上一动点，连 接BQ. 若∠CBQ＝∠CAB，请直接写出所有符合条件 的点Q的横坐标. 解：（3）∵抛物线沿射线AC方向平移2 个单位长 度，相当于抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2 个单位长度， ∴y1＝－ （x－2）2＋ （x－2）＋2＋2＝－ x2＋ x ＋2. 易得∠CAB＝45°，∴∠CBQ＝∠CAB＝45°. 如图2，将BC绕点C顺时针旋转90°得到CG，将BC绕 点C逆时针旋转90°得到CH， 则∠HBC＝∠CBG＝45°. 易得H（2，6），G（－2，－2）， ∴直线BH的表达式为y＝－3x＋12， 直线BG的表达式为y＝ x－ . 当点Q在射线BH上时， 令－3x＋12＝－ x2＋ x＋2， 解得x1＝9－ ，x2＝9＋ （舍去）； 当点Q在射线BG上时， 令 x－ ＝－ x2＋ x＋2， 解得x1＝－2，x2＝ （舍去）， ∴符合条件的点Q的横坐标为9－ 或－2. 类型三　二次函数中角度和差问题 4. （2024·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx－3与x轴交于A ，B两点，交y轴 于点C，抛物线的对称轴是直线x＝ . （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝ x2－ x－3. （2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点， 过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点 E，求PD＋ PE的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）易得B（6，0），C（0，－3）， ∴BC＝3 ，直线BC的表达式为 y＝ x－3. 如图，过点P作PH∥y轴，交BC于点H， ∴∠PHE＝∠BCO， ∴ sin ∠PHE＝ sin ∠BCO＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴PH＝ PE. 设P ， 则H ，其中 ＜x＜6， ∴PD＋ PE＝PD＋PH ＝2 ＋ x－3－ x2＋ x＋3 ＝－ x2＋5x－5＝－ （x－5）2＋ . ∵－ ＜0， ＜x＜6， ∴当x＝5时，PD＋ PE取得最大值，最大值为 ， 此时P（5，－3）. （3）将抛物线沿射线BC方向平移 个单位长度，在 PD＋ PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的 对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线 上一点.若∠NMF－∠ABC＝45°，请直接写出所有符 合条件的点N的坐标. 解：（3）∵抛物线沿射线BC方向平移 个单位长 度，即把抛物线向左平移2个单位长度， 再向下平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为 y＝ （x＋2）2－ （x＋2）－3－1 ＝ x2－ x－7，F（3，－4）， 易得∠FAB＝45°，直线AF的表达式为y＝－x－1. ∴M（0，－1）.记AF交BC于点Q， ∴∠AQC＝∠FAB＋∠ABC ＝45°＋∠ABC. ∵∠NMF－∠ABC＝45°， ∴∠AQC＝∠NMF. ①当点N在y轴右侧时，如备用图， 过点M作MN∥BC，交抛物线y＝ x2－ x－7于点N. ∴直线MN的表达式为y＝ x－1. 联立 解得或（舍去） ∴N ； ②当点N'在y轴左侧时， 联立解得 ∴Q . 记MN'交BC于点G，设G . ∵∠N'MF＝∠AQC，∴GM＝GQ， ∴t2＋ ＝ ＋ . 解得t＝－ .∴G . ∴直线MN'的表达式为y＝2x－1. 联立 解得或（舍去） ∴N . 综上所述，所有符合条件的点N的坐标为 （1＋ ， ）或（ ，4－ ）. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a， b是常数，a≠0），与x轴交于点A（－6，0）和点B （2，0），与y轴交于点C. （1）求该抛物线的函数表达式； （第5题） 解：（1）由题意，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ x2－ x＋4. （2）如图，连接AC，点P为直线AC上方抛物线上的 一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AC于 点F，过点P作PD⊥AC，垂足为D. 求△PDF周长的 最大值以及此时点P的坐标； 解：（2）易得C（0，4）， ∴OC＝4，OA＝6， AC＝ ＝2 ， 直线AC的表达式为y＝ x＋4. ∵PD⊥AC，PE⊥x轴，∠PFD＝∠AFE， ∴∠FPD＝∠FAE. 又∵∠AOC＝∠PDF＝90°， ∴△PDF∽△AOC，∴ ＝ ， ∴C△PDF＝ ·C△AOC＝ PF. ∴当PF最大时，△PDF的周长最大. 设P ，则F ，其 中－6＜m＜0， ∴PF＝－ m2－ m＋4－ m－4 ＝－ （m＋3）2＋3. ∵－ ＜0，－6＜m＜0， ∴当m＝－3时，PF的最大值为3，此时，△PDF周长 的最大值为 ，P（－3，5）. （3）将抛物线y＝ax2＋bx＋4（a，b是常数，a≠0） 沿射线CB方向平移 个单位长度得到新抛物线y'，点 Q是新抛物线上一点，连接CQ，当∠ACQ＋∠CAB＝ ∠CBA时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 解：（3）将抛物线沿射线CB方向平移 个单位长 度，相当于将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平 移2个单位长度， ∴y'＝－ （x－1）2－ （x－1）＋4－2＝－ x2－ x ＋3. 作点B关于y轴的对称点B'（－2，0）. ∴∠CB'O＝∠CBA. ∵∠CAB＋∠ACB'＝∠CB'O， ∠ACQ＋∠CAB＝∠CBA， ∴∠ACQ＝∠ACB'， ∴点Q在直线CB'上. 易得直线CB'的表达式为y＝2x＋4. 联立 解得 或 ∴Q 或 Q 类型四　二次函数中角度倍分问题 6. 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点， 其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点 C（0，－3）. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3. （2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角 为15°，求线段CD的长度； 解：（2）易得OB＝OC＝3.∴∠OBC＝∠OCB＝ 45°.如答案图1， （答案图1） ①当点D在点C上方时， ∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°， ∴OD＝OB·tan∠OBD＝ ， ∴CD＝3－ ； ②当点D在点C下方时， ∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°， ∴OD＝OB·tan∠OBD＝3 ， ∴DC＝3 －3. 综上所述，线段CD的长度为 3－ 或3 －3. （答案图1） （3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足 ∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标. 解：（3）如答案图2，在BO上截取OE＝OA，连接 CE，过点E作EF⊥AC于点F. （答案图2） ∵OC⊥AE，∴∠ECA＝2∠ACO， AC＝CE＝ ＝ . ∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA. ∵S△AEC＝ AE·OC＝ AC·EF， ∴EF＝ ＝ ， ∴CF＝ ＝ ，∴tan∠ECA＝ ＝ . （答案图2） ①当点P在AB下方时，设AP与y轴交于点N. ∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝ ＝ ， ∴ON＝ ，∴N ， ∴直线AP的表达式为y＝ x－ . 联立 （答案图2） 解得 ∴P ； ②当点P在AB上方时， 同理可求直线AP的表达式为y＝－ x＋ . （答案图2） 联立 解得 ∴P . 综上所述，点P的坐标为 或 . 7. 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B两点， 交y轴于点C，其中A（－1，0），B（3，0），点D 为y轴上一点，且D（0，2）. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得抛物线的表达式为 y＝（x＋1）（x－3）＝x2－2x－3. （2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P 作y轴的平行线交直线BC于点E，再过点E作直线AD 的垂线，垂足为F，求 EF＋PE的最大值，并求此 时点P的坐标； 解：（2）易得C（0，－3）. ∵A（－1，0），B（3，0），D（0，2）， ∴OA＝1，OD＝2，AD＝ ， 直线AD的表达式为y＝2x＋2， 直线BC的表达式为y＝x－3. 如图1，延长PE，交直线AD于点H. ∵PE∥y轴，∴∠EHF＝∠ODA， ∴ sin ∠EHF＝ sin ∠ODA＝ ＝ ＝ ， ∴EH＝ EF， ∴ EF＋PE＝EH＋PE＝PH. 设P（m，m2－2m－3）， 则H（m，2m＋2），其中0＜m＜3， ∴ EF＋PE＝2m＋2－（m2－2m－3） ＝－（m－2）2＋9. ∵－1＜0，0＜m＜3， ∴当m＝2时， EF＋PE取得最大值，为9，此时P（2，－3）. （3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移2 个单位 长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当 ∠CBM＝2∠ADC时，直接写出所有符合条件的点M 的横坐标. 解：（3）将抛物线沿射线AC方向平移2 个单位长 度，相当于将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平 移6个单位长度. ∴y'＝（x－2）2－2（x－2）－3－6＝x2－6x－1. 如图2，作点A关于y轴的对称点A'，连接DA'， ∴∠ADA'＝2∠ADC，AD＝A'D＝ . ∵∠CBM＝2∠ADC，∴∠CBM＝∠ADA'. 过点A'作A'G⊥AD于点G. ∵S△ADA'＝ AA'·OD＝ AD·A'G， ∴A'G＝ ，∴DG＝ ＝ . ∴tan∠CBM＝tan∠ADA'＝ ＝ . ①当点M在直线BC下方时， 过点C作CN∥x轴，交BM于点N， 过点N作NQ⊥BC于点Q. ∴tan∠CBM＝ ＝ . 设NQ＝4k，则BQ＝3k，CQ＝4k，CN＝4 k. ∵BC＝BQ＋CQ＝7k＝3 ， ∴k＝ ，∴CN＝ ，∴N ， ∴直线BN的表达式为y＝－7x＋21. 令－7x＋21＝x2－6x－1， 解得x1＝ ，x2＝ （舍去）. ∴点M的横坐标为 ； ②当点M在直线BC上方时. 由①可得Q . 作点N关于BC的对称点N'，则Q为NN'的中点， ∴N' ， ∴直线BN'的表达式为y＝－ x＋ . 令－ x＋ ＝x2－6x－1， 解得x1＝ ，x2＝ （舍去）. ∴点M的横坐标为 . 综上所述，点M的横坐标为 或 . $$第二章　二次函数 专题九　[提升]二次函数中特殊四边形 的存在性问题 类型一　二次函数中平行四边形的存在性问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ x2＋bx ＋c（b，c是常数）与x轴交于点A（－3，0）和点B （点B在点A右侧），与y轴交于点C（0，3）. （第1题） （1）求该抛物线的函数表达式； 解：（1）将A（－3，0），C（0，3）代入y＝－ x2 ＋bx＋c中，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ x2－ x＋3. （2）连接AC，BC，点P为直线AC上方抛物线上的一 动点，过点P作PD∥BC交直线AC于点D，作PE∥x轴交 直线AC于点E. 求PD＋PE的最大值及此时点P的坐 标； 解：（2）易得B（2，0），AB＝5，BC＝ . ∵PE∥AB，PD∥BC， ∴∠PED＝∠BAC，∠PDE＝∠BCA， ∴△PED∽△BAC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得PD＝ PE. ∴PD＋PE＝ PE. 易知直线AC的解析式为y＝x＋3. 设P （－3＜m＜0)， 则E ， ∴PE＝－ m2－ m， ∴PD＋PE＝ ＝－ ＋ . ∵－ ＜0，－3＜m＜0， ∴当m＝－ 时，PD＋PE有最大值，最大值为 ，此时P . （3）在（2）中PD＋PE取得最大值的条件下，将抛物 线沿射线AC方向平移2 个单位长度，M为平移后的 抛物线的对称轴上一点，N为平移后的抛物线上一点， 若以B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请 直接写出所有符合条件的点N的坐标. 解：（3）y＝－ x2－ x＋3＝－ ＋ . 将抛物线沿射线AC方向平移2 个单位长度，相当 于将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单 位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为 y＝－ ＋ ＋2＝－ x2＋ x＋4， ∴新抛物的对称轴为直线x＝ . 设M ，N . ①当BP为对角线时，则n＋ ＝2－ ， 解得n＝－1.∴N（－1，2）； ②当BM为对角线时，则2＋ ＝n－ ， 解得n＝5.∴N（5，－1）； ③当BN为对角线时，则2＋n＝ － ， 解得n＝－2.∴N（－2，－1）. 综上所述，当以B，P，M，N为顶点的四边形是平行 四边形时，点N的坐标为（－1，2）或（5，－1）或 （－2，－1）. 类型二　二次函数中菱形的存在性问题 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2 过点（1，3），且交x轴于A（－1，0），B两点，交y 轴于点C. （第2题） （1）求该抛物线的函数表达式； 解：（1）把A（－1，0），（1，3）代入y＝ax2＋bx ＋2中，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋2. （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作 PD⊥BC于点D，作y轴的平行线交直线BC于点E，求 △PDE周长的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）由（1）知，B（4，0），C（0，2）. ∴OC＝2，OB＝4，BC＝2 . ∵直线BC过点B（4，0），C（0，2）， ∴直线BC的函数表达式为y＝－ x＋2. ∵∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO， ∴△PDE∽△BOC. ∴PD＝ PE，DE＝ PE. ∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝ PE. ∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值. 设P ，则E ， 其中0＜m＜4， ∴PE＝－ m2＋ m＋2－ ＝－ （m－2）2＋2.∵－ ＜0，0＜m＜4， ∴当m＝2时，PE取最大值，最大值为2. ∴△PDE周长的最大值是 ×2＝ ＋2， 此时点P的坐标为（2，3）. （3）在（2）中△PDE的周长取得最大值的条件下，将 该抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，点M为平 移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N， 使得以A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写 出所有符合条件的点N的坐标. 解：（3）由题意，抛物线沿射线CB方向平移 个 单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，再向下 平移1个单位长度. 易知平移后的抛物线的对称轴为x＝ . 设M ，N（n，k）. 分情况讨论：①当AP为菱形的对角线时， 由题意，得MA＝MP， 则 ＋t2＝ ＋（t－3）2，解得t＝－ . ∴n＝－ ，k＝ ，即N ； ②当AP为菱形的边长时， 若AP＝PM，则（2＋1）2＋32＝ ＋（3－t） 2， 解得t＝3± . ∴n＝ ，k＝± ， 即N 或N ； 若AP＝AM，则（2＋1）2＋32＝ ＋t2， 该方程无解. 综上所述，所有符合条件的点N的坐标为 或 或 . 类型三　二次函数中矩形的存在性问题 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3 交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点 E，一次函数y＝x＋1与抛物线交于A，D两点，交y轴 于点C，且D（4，5）. （第3题） （1）求抛物线的表达式； 解：（1）令y＝x＋1＝0，解得x＝－1， ∴点A（－1，0）. 将A（－1，0），D（4，5）代入抛物线的表达式， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. （2）若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点P作 PQ⊥AD交直线AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的 点P的坐标； 解：（2）如答案图，过点P作PH∥y轴交AD于点H. （答案图） 设点P的坐标为（x，x2－2x－3）， 则点H（x，x＋1），其中0＜x＜3. 由直线AD的表达式知， ∠DAB＝45°＝∠AHP， 则PQ＝ PH＝ [（x＋1）－（x2－2x－3）] ＝－ ＋ . ∵－ ＜0，0＜x＜3， （答案图） ∴当x＝ 时，PQ取最大值， 最大值为 ， 此时点P的坐标为 . （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个 单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点 R，点M在原抛物线的对称轴上，若在平面内存在点 N，使得以A，R，M，N为顶点的四边形是矩形，请 求出点N的坐标. 解：（3）易得平移后的抛物线的表达式为 y＝x2－4x＋1. 联立两抛物线的表达式，解得 ∴点R的坐标为（2，－3）. 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1， 故设点M的坐标为（1，m），点N的坐标为（s，t）. 分情况讨论： ①当AM是对角线时，则 ​ 解得∴N（－2，－1）； ②当AR是对角线时，则 ​ 解得或 ∴N 或 ； ③当AN是对角线时，则 ​ 解得 ∴N（4，－1）. 综上所述，点N的坐标为（4，－1） 或（－2，－1）或 或 . 类型四　二次函数中正方形的存在性问题 4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于 A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其 中OA＝1，tan∠ABC＝ . （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得C（0，－3）， ∴OC＝3， ∴tan∠ABC＝ ＝ ， ∴OB＝4，∴B（4，0）. （第4题） 又∵OA＝1，∴A（－1，0）. 将A（－1，0），B（4，0）代入抛物线 的表达式，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝ x2－ x－3. （第4题） （2）将抛物线y水平向右平移1个单位长度得到新抛物 线y'，点G为新抛物线y'的对称轴上一点，将线段AC沿 着直线BC平移，平移后的线段记为A1C1，点K是平面 内任意一点，在线段平移的过程中，若存在以A1， C1，G，K为顶点且A1G为边的正方形，请求出所有符 合条件的点K的坐标. 解：（2）易得新抛物线的对称轴为直线x ＝ ，直线BC的表达式为y＝ x－3. 设G ，C1 ， 则A1 . 分情况讨论： ①当A1G⊥A1C1时，如答案图，作 EA1⊥x轴，作GE⊥EA1于点E，作 C1F⊥EA1交EA1的延长线于点F. （答案图） 易证△GEA1≌△A1FC1，∴EG＝A1F，EA1＝C1F， ∴ －（m－1）＝3，n－ m＝1， ∴m＝ ，n＝ ， ∴A1 ，C1 ， G ， ∴K ，同理可得K' ； （答案图） ②当A1G⊥C1G时， 同理可得K 或 . 综上所述，所有符合条件的点K的坐 标为 或 或 或 . （答案图） $$第二章　二次函数 专题五　[强化]二次函数图象与系数及相关代数式符号判定 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的特征与系数a，b，c 及b2－4ac的符号之间的关系 字母项目 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向 ⁠ a＜0 开口向 ⁠ b b＝0 对称轴为 ⁠ ab＞0 对称轴在y轴 ⁠侧 ab＜0 对称轴在y轴 ⁠侧 上　 下　 y轴　 左　 右　 字母项目 字母的符号 图象的特征 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴的 ⁠半轴相交 c＜0 与y轴的 ⁠半轴相交 正　 负　 字母项目 字母的符号 图象的特征 b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有 ⁠交点 （即顶点在x轴上） b2－4ac＞0 与x轴有 ⁠交点 b2－4ac＜0 与x轴 ⁠交点 唯一　 两个　 没有　 注意： 1. ①a决定抛物线的开口方向，a＞0开口向上；a＜0 开口向下. 越大，开口越小， 越小，开口越大； ②a，b共同决定对称轴的位置，“左同右异”：当 a，b同号时，对称轴位于y轴的左侧；当a，b异号 时，对称轴位于y轴的右侧.当－ ＝±1时，2a＋b＝0 或2a－b＝0；③c决定图象与y轴的交点位置：当c＞0 时，交y轴正半轴；当c＝0时，过原点；当c＜0时，交 y轴负半轴. 2. 在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，①当x＝±1时，y ＝a＋b＋c或y＝a－b＋c；②当x＝±2时，y＝4a＋ 2b＋c或y＝4a－2b＋c. 3. 判定含两个字母的代数式符号一般是找到一个含a， b，c的等式和一个含a，b，c的不等式，将等式变形 用需要的字母来表示不需要的字母，然后带进不等式中 消去不需要的字母即可判断代数式的符号. 类型一　二次函数图象与系数的关系 1. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，下列说 法正确的是（　A　） A. b＜0，c＞0 B. b＞0，c＞0 C. b＞0，c＜0 D. b＜0，c＜0 （第1题） A 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＜ 0，c＞0，则该函数的图象可能为（　B　） A B C D B 3. 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同 一平面直角坐标系中的图象可能是（　D　） D A B C D 4. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝－ （k≠0）与二次函数y＝x2－kx－k的大致图象是 （　D　） D A B C D 类型二　常见含a，b，c的代数式的符号 5. 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞ 0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a ＋c＜b.其中正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第5题） B 6. （2024·广安）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c （a，b，c为常数，a≠0）的图象与x 轴交于点A ，对称轴是直线x ＝－ ，有以下结论：①abc＜0；②若 点（－1，y1）和点（2，y2）都在抛物 线上，则y1＜y2；③am2＋bm≤ a－ b （m为任意实数）；④3a＋4c＝0.其中正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第6题） B 7. （2024·遂宁）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c （a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝ －1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交 点B在（0，－2），（0，－3）之间（不含端点），则 下列结论正确的有（　B　） B ①abc＞0；②9a－3b＋c＞0；③ ＜a＜1； ④若方程ax2＋bx＋c＝x＋1两根为m，n （m＜n），则－3＜m＜1＜n. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第7题） 8. 小红从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 中，观察得出了下面五条结论：①c＜0；②abc＞0； ③2a－3b＝0；④a－b＋c＞0；⑤c－4b＞0.其中正 确的有 .（填序号） （第8题） ①②④⑤　 （第9题） 9. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2.抛物 线与x轴的一个交点在点（－4，0）和点（－3，0）之 间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a－b＝0； ②c＜3a；③a＋b＋c＞0；④b2＋2b＞4ac.其中正确 的是 .（填序号） ①④　 类型三　综合代数式的判定 10. 如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x 轴交于点（－1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论 正确的有（　C　） （第10题） C ①abc＞0；②2a＋b＝0；③函数y＝ax2＋bx ＋c的最大值为－4a；④若关于x的方程 ax2＋bx＋c＝a＋1无实数根，则－ ＜a＜0. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x ＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点， 若－2＜x1＜－1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a ＋2b＞0；③b2＞a＋c＋4ac；④a＞b＞c；⑤a（m ＋1）（m－1）＜b（1－m）（m为任意实数）.其中 正确结论的个数为（　C　） A. 1个 B. 2个 （第11题） C C. 3个 D. 4个 （第12题） 12. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 与x轴交于A，B两点，其对称轴是直线x＝ －2，若OA＝5OB，则下列结论：①abc＞0； ②（a＋c）2－b2＝0；③若反比例函数y＝ ， 在其图象所在每个象限内，y随x的增大而增 大；④若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a；⑤一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限.其中正确的有 .（填序号） ②③④⑤　 13. （2024·南充）已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线C2： y＝x2＋nx＋n（m≠n）与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧），且AB＝CD. 下列四个结论：①C1与 C2的交点为（－1，1）；②m＋n＝4；③mn＞0；④ A，D两点关于（－1，0）对称.其中正确的结论是 ⁠ .（填序号） ① ②④　 $$第二章　二次函数 专题八　[提升]二次函数中特殊三角形 的存在性问题 类型一　二次函数中直角三角形的存在性问题 1. 如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为 （0，8），点C的坐标为（6，0）.抛物线y＝－ x2＋ bx＋c经过点A，C，与AB交于点D. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）将A，C两点的坐标代入抛物线， 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋8. （第1题） （第1题） （2）点P为BC上一个动点（点P不与点C重合），点 Q为AC上一个动点，且AQ＝CP，连接PQ，设CP＝ m，△CPQ的面积为S. ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y＝－ x2＋bx＋c的 对称轴l上确定一点F，使△DFQ为直角三角 形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标. 解：（2）①∵OA＝8，OC＝6， ∴AC＝ ＝10. 如答案图，过点Q作QE⊥BC于点E. （答案图） ∴ sin ∠ACB＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， ∴QE＝ （10－m）， ∴S＝ CP·QE＝ m× （10－m）＝－ m2＋3m （0＜m≤8）. ∴当m＝5时，S取最大值. ∴CP＝AQ＝5. （答案图） ∴CQ＝5，∴Q（3，4）. 易得抛物线的对称轴为直线x＝ . ∴点D的坐标为（3，8）. 设F . 当∠FDQ＝90°时，则点F在直线AB上∴F1 ； 当∠FQD＝90°时，则点F的纵坐标与点Q的纵坐标 相同，∴F2 ； （答案图） 当∠DFQ＝90°时，则FD2＋FQ2＝DQ2， 即 ＋（8－n）2＋ ＋ （4－n）2＝（3－3）2＋（4－8）2， 解得n＝6± ， ∴F3 ，F4 ， 综上所述，点F的坐标为 ， ， 或 . （答案图） 类型二　二次函数中等腰三角形的存在性问题 2. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）交x轴于点 A（－1，0），点B（4，0），交y轴于点C，连接 BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋2. （2）点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作 PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连 接PG. 求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）如答案图，过点G作GH⊥PE于点H，连接 AC，令BC与PE的交点为F. （答案图） ∵A（－1，0），B（4，0），C（0，2）， ∴AB＝5，AC＝ ＝ ， BC＝ ＝2 ， ∴AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. ∵AD∥BC，EG⊥BC，∴EG＝AC＝ . ∵PE∥y轴，∴∠OCG＝∠EFG. ∵∠ACO＋∠OCG＝90°， ∠GEH＋∠EFG＝90°， ∴∠ACO＝∠GEH. （答案图） ∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH， ∴GH＝AO＝1. 易得直线BC的表达式为y＝－ x＋2. ∵AD∥BC，A（－1，0）， ∴直线AD的表达式为y＝－ x－ . 设P ， 则E ，其中0＜m＜4， ∴PE＝－ m2＋2m＋ ， （答案图） ∴S△PEG＝ PE·GH＝－ m2＋m＋ ＝－ （m－2）2＋ . ∵－ ＜0，0＜m＜4， ∴当m＝2时，△PEG的面积取最大值， 最大值为 ，此时点P的坐标为（2，3）. （答案图） （3）如图2，将抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）水平向 右平移 个单位长度，得到新抛物线y1，在y1的对称轴 上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角 形，请写出所有符合条件的点M的坐标. 解：（3）∵y＝－ x2＋ x＋2＝－ ＋ ， ∴y1＝－ （x－3）2＋ ， ∴y1的对称轴为直线x＝3. 联立直线AD与原抛物线y的表达式， 并解得或 ∴D（5，－3）. 设点M的坐标为（3，t），则 BD2＝（5－4）2＋（－3－0）2＝10， BM2＝（4－3）2＋（0－t）2＝1＋t2， MD2＝（5－3）2＋（－3－t）2＝t2＋6t＋13. 分情况讨论： ①当BD＝BM时，则BD2＝BM2， ∴1＋t2＝10，解得t＝±3， ∴点M的坐标为（3，3）或（3，－3）； ②当BD＝MD时，则BD2＝MD2， ∴t2＋6t＋13＝10，解得t＝－3± ， ∴点M的坐标为（3，－3＋ ） 或（3，－3－ ）. 综上所述，点M的坐标为（3，3） 或（3，－3）或（3，－3＋ ） 或（3，－3－ ）. 类型三　二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋ x＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左 侧），与y轴交于点C，其中A（－1，0），C（0， 3）. （1）求该抛物线的解析式； 解：（1）将A（－1，0），C（0，3）代入y＝ax2＋ x＋c， 得解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋3. （2）如图1，点D，E是线段BC上的两点（点E在点D 的右侧），DE＝ ，过点D作DP∥y轴，交直线BC上 方的抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接 FD，FP，求△DFP面积的最大值及此时点P的坐标； 解：（2）过点E作EH⊥PD交PD的延长线于点H，如 答案图. （答案图） 令y＝0，得0＝－ x2＋ x＋3， 解得x1＝－1，x2＝4. ∴B（4，0），∴OB＝4. 又∵OC＝3，∴BC＝5. 易得∠DEH＝∠CBO， ∴ cos ∠DEH＝ cos ∠CBO，即 ＝ ， ∴HE＝ DE＝1. （答案图） 易得直线BC的解析式为y＝－ x＋3. 设P（t，－ t2＋ t＋3），则D（t，－ t＋3）， 其中0＜t＜3，则PD＝－ t2＋3t， ∴S△DFP＝ PD·（xF－xP）＝ （－ t2＋3t）×1 ＝－ （t－2）2＋ . ∵－ ＜0，0＜t＜3， ∴当t＝2时，S△DFP取得最大值， 最大值为 ，此时点P的坐标为（2， ）. （答案图） （3）如图2，在（2）中△DFP的面积取得最大值的条 件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移 后的线段记为B'P'，在y轴上找一点G，使△GB'P'是以 B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'，请直接写出所有符合 条件的点G的坐标. 解：（3）设B'（x，－ x＋3）（x≤4）， G（0，y）， 则P'（x－2，－ x＋ ）. 易知当点B'在y轴右侧时，y轴上不存在点G使△GB'P' 是以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'. ①当点B'在y轴左侧，且∠GP'B'＝90°时， 则有－x＋2＝ ，解得x＝－ . ∴－ x＋ ＝ ，∴y＝ ＋2＝ ， ∴点G的坐标为（0， ）； ②当点B'在y轴左侧，且∠P'B'G＝90°时， 则有x＝－ . ∴－ x＋3＝ ，∴y＝ ＋2＝ . ∴点G的坐标为（0， ）. 综上所述，所有符合条件的点G的坐标为 （0， ）或（0， ）. $$第二章　二次函数 专题六　[强化]二次函数中的几何最值 二次函数中的几何最值包括以下几类：竖直（水平）线 段和斜线段最值、周长最值、面积最值、线段和差最 值、“将军饮马”中各种线段最值等等.在解题的过程 中常常用到三角函数、相似、直线的斜率等知识.线段 （斜线段）、周长、面积最值一般利用铅锤法转化为竖 直线段最值；线段和差最值问题，一般都是应用轴对称 的性质进行图形变换，将其转化为以两个顶点为端点， 动点在中间的折线或以一个定点为端点，其余动点在一 侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂 线段最短”这两条性质求出最值. 类型一　线段最值（竖直线段和斜线段最值） 1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（3，0），B （1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点， 点P从点C沿抛物线向点A运动（点P不与点A重 合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点 A（3，0），B（1，0）， ∴抛物线的表达式为 y＝（x－3）（x－1）＝x2－4x＋3. （第1题） （2）求点P在运动的过程中线段PD的长度的最大值. 解：（2）易得点C（0，3）， 则直线AC的表达式为y＝－x＋3. 设P（x，x2－4x＋3）， 则D（x，－x＋3）， ∴PD＝（－x＋3）－（x2－4x＋3）＝ －x2＋3x＝ ＋ . （第1题） ∵－1＜0，0＜x＜3， ∴当x＝ 时，线段PD的长度 有最大值，最大值为 . （第1题） （第2题） 2. 如图，在平面直角坐标系中，A，F两 点都在y轴上（点F在点A的上方），过 点A的直线AB与过点F的抛物线相交于 B（4，0），C 两点，且AF＝4， 过点C作CD⊥x轴，垂足为D. （1）分别求出直线AB和抛物线的解析式； 解：（1）易得直线AB的解析式为 y＝ x－2. 当x＝0时，y＝－2，∴A（0，－2）. ∵AF＝4，∴F（0，2）. ∴由B，C，F的坐标可得抛物线的解析 式为y＝x2－ x＋2. （第2题） （2）点P在线段BD上（点P不与点B，D重合），过 点P作PM⊥x轴，交直线AB于点N，交抛物线于点 M，过点M作ME⊥AB于点E，求ME的最大值. 解：（2）∵ME⊥BC，MP⊥x轴， ∴易得∠MNE＝∠OAB. 由（1）知，OA＝2，OB＝4， ∴AB＝ ＝2 . （第2题） ∴ sin ∠MNE＝ sin ∠OAB＝ ＝ ＝ . ∴ME＝ MN. 设M ，则N （1＜t＜4）， （第2题） ∴MN＝－t2＋5t－4. ∴ME＝－ t2＋2 t－ ＝－ ＋ . ∵－ ＜0，1＜t＜4， ∴当t＝ 时，ME取最大值，最大值为 . （第2题） 3. 抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－4，0）和B （1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的 抛物线上一动点. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴 交于A（－4，0）和B（1，0）两点， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4. （第3题） （2）过点P作PE⊥AC于点E，求 PE的最大值及此 时点P的坐标. 解：（2）如答案图，过点P作PF⊥x轴 于点F，交直线AC于点D. （答案图） 易得点C的坐标为（0，4）， ∴直线AC的表达式为y＝x＋4. 设P（m，－m2－3m＋4）， 则D（m，m＋4）， ∴PD＝（－m2－3m＋4）－（m＋4）＝－m2－4m＝ －（m＋2）2＋4. ∵－1＜0，－4＜m＜0， ∴当m＝－2时，PD取最大值，最大值是4. ∵A（－4，0），C（0，4）， ∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°. ∵PF⊥x轴，∴∠ADF＝∠PDE＝45°. （答案图） ∵PE⊥AC，∴△PDE是等腰直角三角形， ∴ PE＝PD，∴ PE＝ PD， ∴ PE的最大值为 PD的最大值， 为 ×4＝2，此时点P的坐标为（－2，6）. （答案图） 类型二　线段和差最值 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋ c与直线AB交于点A（0，－4），B（4，0）. （1）求该抛物线的函数表达式； 解：（1）把A（0，－4），B（4，0） 代入y＝ x2＋bx＋c，得 ​ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝ x2－x－4. （第4题） （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴 于点D，求PC＋PD的最大值及此时点P的坐标. 解：（2）∵A（0，－4），B（4，0）， ∴直线AB的表达式为y＝x－4. 设P （0＜m＜4）， 则PD＝－ m2＋m＋4. （第4题） 在y＝x－4中，令y＝ m2－m－4，得x＝ m2－m， ∴C ， ∴PC＝m－ ＝－ m2＋2m， ∴PC＋PD＝－ m2＋2m－ m2＋m＋4＝ －m2＋3m＋4＝－ ＋ . ∵－1＜0，0＜m＜4， ∴当m＝ 时，PC＋PD的最大值是 ，此时P . （第4题） 5. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋ 4交x轴于A（－4，0），B（2，0）两点，交y轴于点 C，连接AC，直线AC的解析式为y＝kx＋m. （1）a＝ ，b＝ ，k＝ ， m＝ ⁠； － 　 －1　 1　 4　 （2）如图2，点P为线段AC上方的抛物线上一动点， 点F为x轴上一动点，连接PA，PC. 当△PAC的面积最 大时，求PF＋ FB的最小值及此时点P的坐标. 解：（2）如答案图，过点P作PG∥y轴交AC于点G. （答案图） 由（1）知，抛物线的解析式为y＝－ x2－x＋4，直线 AC的解析式为y＝x＋4. 设P （－4＜t＜0），则G（t，t＋ 4）， ∴S△PAC＝ PG·OA＝－t2－4t＝ －（t＋2）2＋4. ∵－1＜0，－4＜t＜0， ∴当t＝－2时，△PAC的面积最大， 此时P（－2，4）. （答案图） 过点B作BH∥AC，过点P作PH⊥BH，垂足为H. PH 与x轴的交点即为所求的点F， ∴直线BH的解析式为y＝x－2， （答案图） ∴∠FBH＝45°，∴ FB＝FH， 此时PF＋ FB＝PH，取得最小值. ∵PH⊥BH，P（－2，4）， ∴直线PH的解析式为y＝－x＋2. 联立直线PH与直线BH的解析式可得H（2，0）， ∴PF＋ FB的最小值为 PH＝ ＝4 . （答案图） 6. 如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，A（－3，0），C（0， 6 ），点D在线段OC上，且OC＝3OD，连接BD. （1）求抛物线的函数表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋6 . （第6题） （2）在第一象限的抛物线上有一动点P，过点P作 PE∥x轴交直线BD于点E，过点P作PF⊥BD交直线 BD于点F. 求2 PF－PE的最大值，并求出此时点P 的坐标. 解：（2）∵C（0，6 ），∴OC＝6 . ∵OC＝3OD，∴OD＝2 . 令y＝－ x2＋ x＋6 ＝0， 解得x＝4或x＝－3， ∴B（4，0），∴OB＝4，∴BD＝2 . ∵PE∥OB，∴∠PEF＝∠OBD. ∵∠PFE＝∠BOD＝90°∴△PFE∽△DOB， （第6题） （第6题） ∴PE∶PF＝BD∶OD＝ ，∴PF＝ PE， ∴2 PF－PE＝2 × PE－PE＝PE. 易得直线BD的表达式为y＝－ x＋2 ， ∴x＝－ y＋4. 设P （0＜x＜4）， ∴xE＝－ ＋4＝x2－x－8， ∴PE＝x－（x2－x－8）＝－x2＋2x＋8＝ －（x－1）2＋9. ∵－1＜0，0＜x＜4， ∴当x＝1时，2 PF－PE取最大值， 最大值为9，此时P（1，6 ）. （第6题） 类型三　周长最值 7. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于点 A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中 OA＝1，tan∠ABC＝ . （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得C（0，－3）， ∴OC＝3.∵∠BOC＝90°， ∴tan∠ABC＝ ＝ ， ∴OB＝4，∴B（4，0）. 又∵OA＝1，∴A（－1，0）. （第7题） 将A（－1，0），B（4，0）代入抛物线 表达式，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝ x2－ x－3. （第7题） （2）点P是直线BC下方的抛物线上一点，过点P作 PQ∥AC交BC于点Q，PH∥x轴交BC于点H，求 △PQH的周长的最大值及此时点P的坐标. 解：（2）∵A（－1，0），B（4， 0），C（0，－3）， ∴直线BC的表达式为y＝ x－3， BC＝5，AB＝5，AC＝ . 设点P ，其中0＜m ＜4. （第7题） 由 x－3＝ m2－ m－3，得x＝m2－3m， ∴点H的横坐标为m2－3m， ∴PH＝m－（m2－3m）＝－m2＋4m ＝－（m－2）2＋4. ∵－1＜0，0＜m＜4， ∴当m＝2时，PH取最大值，PH最大＝4. （第7题） 设△PQH的周长为l1，△ABC的周长为l. ∵PQ∥AC，PH∥AB， ∴∠PQH＝∠ACB，∠QHP＝∠ABC， ∴△PQH∽△ACB，∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，∴l1最大＝ ， ∴△PQH的周长的最大值为 ，此时P . （第7题） 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋ c的图象与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点 C，D（1，8）是抛物线上一点. （1）求抛物线和直线AD的表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋4x＋5. 令y＝0，即－x2＋4x＋5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5. ∴A（－1，0）. ∴直线AD的表达式为y＝4x＋4. （第8题） （2）点Q是抛物线第一象限内一动点，过点Q作 QN∥AD交BC于点N，QG⊥AB交BC于点M，交AB 于点G，求△QNM的周长的最大值. 解：（2）如答案图，过点N作 NR⊥QM于点R，延长QN与x轴交于 点F，过点D作DE⊥x轴于点E. ∵A（－1，0），B（5，0）， C（0，5），D（1，8）， ∴AE＝2，DE＝8. （答案图） ∵QN∥AD， ∴∠QFG＝∠DAE， ∴∠ADE＝∠FQG， ∴tan∠NQR＝ ＝tan∠ADE＝ ＝ ， ∴QR＝4NR. ∵QG∥CO，∴∠BMG＝∠BCO＝45°， （答案图） ∴∠QMN＝∠BMG＝45°，∴NR＝RM. 设NR＝a，则RM＝a，QR＝4a， ∴MN＝ a，QN＝ a，QM＝5a， ∴△QNM的周长为（ ＋ ＋5）a， ∴当△QNM的周长最大时，即a最大， 此时QM最大. 易得直线BC的表达式为y＝－x＋5. （答案图） 设Q（m，－m2＋4m＋5）， 则M（m，－m＋5）， 其中0＜m＜5. ∴QM＝（－m2＋4m＋5）－（－m＋5） ＝－（m－ ）2＋ . （答案图） （答案图） ∵－1＜0，0＜m＜5， ∴当m＝ 时，QM取最大值，最大值为 ， 此时a＝ ， ∴△QNM的周长的最大值为 ＋ ＋ . 类型四　面积最值 9. 如图，直线y＝－ x与抛物线y＝－ x2＋6交于A， B两点，点C是抛物线的顶点. （1）求出点A，B的坐标； 解：（1）联立解得 ∴A（6，－3），B（－4，2）. （第9题） （2）若线段AB上方的抛物线上存在一点P，使得 △ABP的面积最大.请求出此时点P的坐标. 解：（2）如答案图，过点P作 PD∥OC，交AB于点D. 设P（a，－ a2＋6），则D（a，－ a），其中－4＜a＜6. （答案图） ∴PD＝ － ＝－ a2 ＋ a＋6， ∴S△ABP＝ PD·（xA－xB）＝－ （a －1）2＋ .∵－ ＜0，－4＜a＜6， ∴当a＝1时，△ABP的面积最大， 此时点P的坐标为（1， ）. （答案图） 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－ x2＋bx ＋c与x轴交于A（－2，0），B（6，0）两点，与y轴 交于点C，点P为直线BC上方的抛物线上一动点. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）由题意，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2＋x＋3. （第10题） （2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，点E为直线 AD上一动点，连接CP，CE，BP，BE，求四边形 BPCE面积的最大值及此时点P的坐标. 解：（2）由抛物线的表达式可得，C （0，3）， ∴直线BC的表达式为y＝－ x＋3. 如答案图，过点P作x轴的垂线，交直 线BC于点Q，连接AC. （答案图） 设点P ， 则点Q ，其中0＜m＜6. ∴PQ＝－ m2＋ m. ∵AD∥BC，∴S△BCE＝S△BCA， ∴S四边形BPCE＝S△BCE＋S△BCP＝S△BCA＋S△BCP ＝ AB·OC＋ PQ·（xB－xC） ＝ ×8×3＋ ×（6－0）× （答案图） ＝－ （m－3）2＋ . ∵－ ＜0，0＜m＜6， ∴当m＝3时，四边形BPCE的面积最大， 最大值为 ，此时P . （答案图） 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2＋ x－2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C. （1）求点A的坐标； 解：（1）令y＝0，得 x2＋ x－2＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为（－3，0）. （第11题） （2）连接AC，点D为线段AC下方的抛物线上一动 点，过点D作DE∥y轴，交AC于点E，连接EO，记 △ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1－S2的最 大值及此时点D的坐标. 解：（2）如答案图，延长DE交x轴于 点K. 易得C（0，－2）， ∴直线AC的函数表达式为y＝－ x－2. 设D ， 则E ，K（t，0）， 其中－3＜t＜0. （答案图） ∴DE＝－ t2－2t，EK＝ t＋2， ∴S1＝S△ADC＝ ＝ ＝－t2－3t， S2＝S△AEO＝ ＝ ＝t＋3， （答案图） ∴S1－S2＝（－t2－3t）－（t＋3） ＝－t2－4t－3＝－（t＋2）2＋1. ∵－1＜0，－3＜t＜0， ∴当t＝－2时，S1－S2取得最大值， 最大值为1，此时点D的坐标为（－2，－2）. （答案图） 类型五　双最值 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝ x －2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于另一点C（－1，0）. （1）求抛物线的表达式； （第12题） 解：（1）易得A（4，0），B（0，－2）. ∵C（－1，0）是抛物线上一点，设抛物 线的表达式为y＝a（x＋1）（x－4）. 将B（0，－2）代入，得 －2＝－4a，解得a＝ ， ∴抛物线的表达式为 y＝ （x＋1）（x－4）＝ x2－ x－2. （2）点M为直线AB下方的抛物线上一点，点N为y轴 上一点，当△MAB的面积最大时，求MN＋ ON的最 小值. 解：（2）如答案图1，过点M作 MF⊥AC，交AB于点F. 设M ， 则F ，其中0＜m＜4. （答案图1） ∴MF＝－ （m－2）2＋2， ∴S△MAB＝ MF·（xA－xB） ＝－（m－2）2＋4. ∵－1＜0，0＜m＜4， ∴当m＝2时，△MAB的面积最大， 此时M（2，－3）. （答案图1） 如答案图2，过点O作∠KOB＝30°，过点K作OK⊥KN交OB于点N，连接MN，过点M作MP⊥OK 于点P，延长MF交直线KO于点Q. ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK， ∴KN＝ ON， ∴MN＋ ON＝MN＋KN， （答案图2） （答案图2） ∴当M，N，K三点共线，且垂直于OK时， MN＋ ON有最小值，即最小值为MP. ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK的表达式为y＝ x. 当x＝2时，y＝2 ，∴Q（2，2 ）， ∴QM＝2 ＋3. ∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°， ∴PM＝ QM＝ ＋ ， ∴MN＋ ON的最小值为 ＋ . （答案图2） $$第二章　二次函数 专题十　[提升]二次函数中其他综合问题 类型一　二次函数中三角形的相似问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋ c与x轴交于A（8，0），B（－2，0）两点，与y轴交 于点C，连接AC. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴 交于A（8，0），B（－2，0）， ∴抛物线的表达式为 y＝ （x－8）（x＋2）＝ x2－ x－4. （第1题） （2）连接BC，把原抛物线y＝ x2＋bx＋c沿射线BC 方向平移2 个单位长度，点M是平移后新抛物线上的 一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接 写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标. 解：（2）将抛物线沿射线BC方向平移 2 个单位长度，相当于将抛物线向右平 移2个单位长度，向下平移4个单位长度. （第1题） ∴平移后抛物线的表达式为y'＝ （x－ 2）2－ （x－2）－4－4＝ x2－ x－4. ∵B（－2，0），A（8，0）， C（0，－4）， ∴AB＝10，BC＝2 ，AC＝4 ， ∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°， AC＝2BC. （第1题） ∵△AMN∽△ABC，MN⊥AN， ∴ ＝ ，∴AN＝2MN. 设M ， 则N（m，0）. ∴2 ＝ . ∴ m2－5m－8＝±（8－m）， （第1题） 解 m2－5m－8＝8－m， 得m1＝4＋4 ，m2＝4－4 ； 解 m2－5m－8＝－8＋m， 得m3＝0，m4＝12. 综上所述，点M的横坐标为 12或0或4－4 或4＋4 . （第1题） 类型二　二次函数中三角形的全等问题 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－4 过点（2，－4），且交x轴于A（4，0），B两点，交y 轴于点C，点D是线段OC的中点. （1）求抛物线的表达式； （第2题） 解：（1）将（2，－4），（4，0）代入y＝ax2＋bx－ 4，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝ x2－x－4. （2）如图1，点P是第二象限抛物线上的一动点，过点 P作PM∥y轴交直线AD于点M，作PN⊥AD于点N， 点Q为线段MP的中点，求△QNP周长的最大值及此时 点P的坐标； 解：（2）易得C（0，－4）， ∵D为OC的中点，∴D（0，－2）， ∴AD＝2 ， 直线AD的表达式为y＝ x－2， ∴ sin ∠ODA＝ ＝ . ∵PM∥y轴，PN⊥AD， ∴∠PMN＝∠ODA， ∴ sin ∠PMN＝ sin ∠ODA＝ ＝ ， ∴PN＝ PM. 在Rt△MNP中，∠MNP＝90°， Q为MP的中点， ∴NQ＝PQ＝QM＝ PM， ∴C△QNP＝2PQ＋NP＝NP＋PM＝ PM. ∴当PM最大时，△QNP的周长最大. 设P ， 则M ，其中0＜m＜4， ∴PM＝ m－2－ m2＋m＋4＝－ ＋ . ∵－ ＜0，0＜m＜4， ∴当m＝ 时，PM的最大值为 ， 此时△QNP周长的最大值为 ＋ ， P . （3）将抛物线y沿射线CB方向平移后得到的新抛物 线y'经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线y对 称轴上一点，点G为新抛物线y'上一点.若 △EGF≌△ODA，请直接写出所有符合条件的点G的 坐标. 解：（3）易得B（－2，0）. ∵将抛物线y沿射线CB方向平移， y＝ x2－x－4＝ （x－1）2－ ， ∴设抛物线y向左平移t（t＞0）个单 位长度，向上平移2t个单位长度， ∴y'＝ （x－1＋t）2－ ＋2t. ∵y'经过原点， ∴0＝ （t－1）2－ ＋2t， 解得t＝2（负值已舍去）. ∴y'＝ （x＋1）2－ ＝ x2＋x. ∵△EGF≌△ODA， ∴EF＝OA＝4，EG＝OD＝2，∠FEG＝∠AOD＝ 90°. 如答案图，过点F作FH∥y轴，过点G 作GI∥y轴，过点E作EK∥x轴，EK交 FH于点H，交GI于点I. （答案图） ∴HE＝1，FH＝ . 易证△FHE∽△EIG， ∴ ＝ ＝ ＝2， ∴EI＝ ，IG＝ ， ∴G 或 . （答案图） $$第二章　二次函数 专题十一　[易错]《二次函数》中常见的错误 易错点一　忽略二次函数y＝ax2＋bx＋c中a≠0 1. 若函数y＝（3－m） 是二次函数，则m的值为 （　B　） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 9 2. 已知函数y＝（m2－3m） 的图象是抛物 线，则m＝ ⁠. B －1　 易错点二　二次函数区间最值分类讨论不全面 3. 已知二次函数y＝－（x－h）2＋4（h为常数），当 自变量x的值满足1≤x≤4时，与其对应的函数值y的最 大值为0，则h＝ ⁠. 4. 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋1（m为常数）， 当自变量x的值满足－3≤x≤－1时，与其对应的函数 值y的最小值为5，则m＝ ⁠. －1或6　 1或－5　 易错点三　对二次函数的系数a，b，c理解不清 5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分 图象如图所示，其对称轴为直线x＝－ ， 且与x轴的一个交点坐标为（－2，0）.下列 结论：①abc＞0；②a＝b；③2a＋c＝0； ④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等 的实数根.其中正确结论的序号是（　D　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ （第5题） D 6. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图 所示，下列5个结论：①2a＋b＝0；②b＜a＋c；③4a ＋2b＋c＞0；④a＋b≥m（am＋b）（m为任意实 数）；⑤方程ax2＋bx＋c＝n有实数根的条件是n≤1. 其中正确的结论有（　C　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （第6题） C 易错点四　对二次函数表达式几何变换理解不清 7. 将抛物线y＝2x2－8x－7绕原点O旋转180°，得到 的新抛物线的表达式为 ⁠. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋ 2与y轴的交点为点A，将该抛物线绕着点A旋转180° 后得到的抛物线所对应的函数表达式为 ⁠ ⁠. y＝－2x2－8x＋7　 y＝x2＋2x＋ 2　 （第8题） 易错点五　二次函数中忽略自变量实际取值 9. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的 盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时， 平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2 株，平均单株盈利就减少0.5元，则当每盆植入 ⁠株 时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13 元，则每盆需要植入 株. 7　 7或9　 10. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110 元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推 广费用a元（a＞0）.未来30天，这款时装将开展“每 天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价 均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降 1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电 商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大 而增大，a的取值范围应为 ⁠. 0＜a＜6　 11. 如图，已知在正方形ABCD中，A（1，1），B （1，2），C（2，2），D（2，1），有一抛物线y＝ －（x＋1）2向上平移m个单位（m＞0）与正方形 ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围 是 ⁠. 5≤m≤11　 （第11题） $$