精品解析：甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024-2025学年第一学期甘肃省武威市凉州区谢河中学联片教研 九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（ ） A B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 3. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 8. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A B. C. D. 3 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 若是方程一个根，则的值为______． 12. 若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是_______． 13. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 14. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 15. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 17. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，使得，则__________ 18. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 三、解答题（共66分） 19. 已知二次函数． （1）求二次函数的图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象； （3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 20. 用适当的方法解下列方程． （1）；（用配方法） （2）；（用公式法） （3）； （4）． 21. 某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持续观望，房地产开发商为了加快资金周转，价格经过两次下调后，以每平方米7290元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率． 22. 已知二次函数的图像经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 23. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） （2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若,，求的长． 25. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 26. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． （1）求这个函数的关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 27. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； （3）在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期甘肃省武威市凉州区谢河中学联片教研 九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴这个方程为， 故选：B． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，其根的判别式求解即可． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选D． 3. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为 ∴，   故选：D ． 4. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移规则是：左加右减，上加下减；按此规则求解即可． 【详解】解：抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线； 故选：B． 5. 平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， ∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， 如图， ∵点，轴， ∴点坐标， 将代入得，， 解得， ∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点， 如图， 当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，， 当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时， 由得，， 解得， ∴时与三角形有两个交点， 综上，， 故选：C． 6. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案， 【详解】解：二次函数（为常数，且）的对称轴为， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 当时，随的增大而减小． ， ． 故选：B． 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C． 8. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 9. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质；证明，则可得，，则可求得面积． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转知：， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A关于原点O的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴于．先求出，，再证明，得到，，则可求出，最后根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于． ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ∴点A关于原点O的对称点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，关于原点对称的点的坐标特点，正确根据一线三垂直模型构造全等三角形求出点A的坐标是解题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值．解题的关键在于将方程的根代入方程．将a代入求解即可． 【详解】解：∵a是的根， ∴， ∴； 故答案为：3． 12. 若方程的两根分别为，，则点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形以及一元二次方程的根与系数的关系：，代入数值，求出的值，据此即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，． ∴， 解得， 则点， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设这个小组有x人，根据题意可知每人需要送出张贺年片，再根据全组共送贺年片72张列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组有x人，则每人需送出张贺年片， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 14. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 15. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求的点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为3． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确有①②③④， 故答案为：①②③④． 17. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，使得，则__________ 【答案】##50度 【解析】 【分析】由平行线的性质可求得，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解． 本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵与关于中心对称， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 已知二次函数． （1）求二次函数的图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质； （1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标和对称轴方程； （2）描点画出图象即可； （3）根据函数图象，分析判断函数的增减性即可． 【小问1详解】 ， 抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 当时，， 当时， 解得，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 描出特殊点，，，，画出图象如下： 【小问3详解】 由图象可得，当时，随着的增大而减小． 20. 用适当的方法解下列方程． （1）；（用配方法） （2）；（用公式法） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）先计算判别式根据公式法解方程，即可求解． （3）先移项，然后因式分解法解方程，即可求解； （4）直接开平方法解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：； 【小问4详解】 解：， ∴或， 解得：． 21. 某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持续观望，房地产开发商为了加快资金周转，价格经过两次下调后，以每平方米7290元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 设平均每次下调的百分率为，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x． ， 解得：，（舍去） 答：平均每次下调的百分率为． 22. 已知二次函数的图像经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与轴的交点为， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图像与轴的交点坐标、解一元二次方程等知识． （1）根据题意，利用待定系数法，将点代入表达式即可确定函数关系式； （2）由（1）中所求的表达式为，令，解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点， ，解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为， 令，则，即，解得或， 二次函数图像与轴的交点坐标为，． 23. 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） （2）当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）25元或43元；34元，512万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式和方程并熟练掌握二次函数的性质． （1）根据利润销售量（销售单价成本），代入代数式求出函数关系式； （2）令利润，求出x的值；将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：． 答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元． ， 当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 24. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若,，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，,， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴在中，． 25 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形性质，角的运算和勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据旋转的性质即可得到，再根据勾股定理即可解题； （2）根据旋转的性质即可得到，从而到，结合，可得到，从而得到的度数． 【小问1详解】 由旋转的性质可知：，， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，， ， ， ， ， ． 26. 已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． （1）求这个函数的关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1） （2）在，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键. （1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式； （2）代入即可判断． 【小问1详解】 解：设二次函数的关系式为：， ∵当时，y有最小值， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线表达式为：， 将点代入得， 解得， ∴二次函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴在此函数图象上． 27. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； （3）在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为，点的坐标为 （3）或 或 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，再将这两点坐标代入，即可求解； （2）先判断为等腰直角三角形，得的周长为：，设 则 计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后点的坐标，分三种情况：当是对角线时，当是对角线时，当是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可. 【小问1详解】 直线与坐标轴交于点和， 当 时， ， 时，即， 解得：， ∴点，， 把两点的坐标代入 中得， ，解得 ， ∴抛物线解析式为 ； 【小问2详解】 ∵ ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 的周长为：， ∴当取最大值时， 的周长取最大值， ∵抛物线的解析式为直线的解析式为， 设 ，则， ， 当 时，有最大值为，此时的周长为，点的坐标为； 【小问3详解】 抛物线沿射线方向平移 个单位长度，相当于向右平移个单位， 向下平移个单位， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为， 当是对角线时， ∵点的坐标为，，， ， 当是对角线时， ∵点的坐标为， ， ； 当是对角线时， ∵点的坐标为， 综上，点的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$