四川省德阳外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

德阳外国语学校高2023级2024年秋季 第一学月考试数学试题 考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ） A. 5、10、15 B. 3、9、18 C. 3、10、17 D. 5、9、16 4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 8. 已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若A和互斥，则A和一定相互独立 B. 若事件，则 C. 若A和相互独立，则A和一定不互斥 D. 不一定成立 10. 如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，连接PC，下列说法正确的是（ ） A. 平面PCD⊥平面PBD B. 三棱锥外接球的表面积为 C. PD与平面PBC所成角的正弦值为 D. 若点M在线段PD上（包含端点），则△BCM面积的最小值为 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题 12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________． 13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是__________． 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 四、解答题 15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数； （2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求. 16. 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． （1）证明：B1D⊥平面ABD； （2）证明：平面EGF∥平面ABD. 17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立． （1）甲乙两人同时命中目标的概率； （2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率． 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点在底面圆周上，为垂足. （1）求证：. （2）若，当直线与平面所成角的正切值为2时， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离. 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 德阳外国语学校高2023级2024年秋季 第一学月考试数学试题 考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明： 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)， 所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)， ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD. （2）证明：由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)， ·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 【17题答案】 【答案】（1）0.72 （2）0.98 【18题答案】 【答案】（1）证明如下： 由题意可知底面平面，故， 又平面， 故平面，由平面，得， 又平面， 故平面，由平面，可得. （2）①； ② 【19题答案】 【答案】（1）证明：取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； （2）存在， （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $