3.6　直线和圆的位置关系 第2课时 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第2课时　 切线的判定与三角形的 内切圆 1.切线的判定 (1)定理:过半径　 　且　 　于这条半径的直线是圆的切线. (2)如果圆心到一条直线的距离　 　半径,那么这条直线是圆的切线. 注意:(1)切线的判定定理有两层意思:①过半径外端;②垂直于半径.同时满足①②才是圆的切线. (2)切线证明思路如下: ①已知公共点时,连接公共点和圆心来证明垂直; ②未知公共点时,过圆心作垂线来证明垂线段是半径. 外端 垂直 等于 2.三角形的内切圆 和三角形三边都相切的圆可以作出　 　,并且只能作出　 　,这个圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形　 　的交点,叫做三角形的内心. 一个 一个 三条角平分线 注意:(1)外心是三角形三边垂直平分线的交点;内心是三角形内角平分线的交点. (2)外心是三角形外接圆圆心,到三角形三个顶点的距离相等;内心是三角形内切圆圆心,到三角形三边的距离相等. (3)若△ABC的三边分别为a,b,c,其内切圆的半径为r,则S△ABC=(a+b+c)r. (4)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则其内切圆半径为r=或r=. 切线的判定 如图,以等边三角形ABC的边BC为直径画圆,交AC于点D,DF⊥AB于点F,连接OF,且AF=1. (1)求证:DF是☉O的切线; [分析] (1)连接OD,根据等边三角形及圆的性质求出OD∥AB,再由DF⊥AB,推出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可(连半径,证垂直); (1)证明:如答案图,连接OD. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=∠A=60°. ∵OC=OD, ∴△OCD是等边三角形, ∴∠CDO=∠A=60°, ∴OD∥AB. ∵DF⊥AB,∴OD⊥DF, ∴DF是☉O的切线. (答案图) (2)求线段OF的长度. [分析](2)由∠A=60°,OD⊥DF,DF⊥AB,AF=1可求得AD,DF的长度,再根据中位线的性质求出CD,OD的长度,根据勾股定理即可求得OF的长度. (2)解:∵OD∥AB,OC=OB, ∴OD是△ABC的中位线,∴AD=CD. ∵∠AFD=90°,∠A=60°, ∴∠ADF=30°.又∵AF=1, ∴CD=OD=AD=2AF=2. 由勾股定理,得DF2=AD2-AF2=3. 在Rt△ODF中, OF===, ∴线段OF的长度为. [方法点拨] 证明圆的切线的常用方法: ①公共点已给定:连接半径,证明半径垂直于该直线.简记为“连半径,证垂直”. ②公共点未给定:从圆心向直线作垂线段,证明垂线段的长等于半径.简记为“作垂直,证半径”. 1.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,则直线BC与☉O的位置关系为　 　. 相切 2.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,点D是的中点,CD与AB交于点E,F是AB延长线上的一点,且CF=EF. (1)求证:CF是☉O的切线; (1)证明:如答案图,连接OC,OD. ∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC. ∵FC=FE,∴∠FCE=∠FEC. ∵∠OED=∠FEC,∴∠OED=∠FCE. ∵AB是直径,点D是的中点, ∴∠DOE=90°.∴∠OED+∠ODC=90°, ∴∠FCE+∠OCD=90°,即∠OCF=90°. ∵OC是半径,∴CF是☉O的切线. (答案图) (2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长. (2)解:如答案图,过点G作GH⊥AB于点H. 设OA=OD=OC=OB=r,则OF=r+2, 在Rt△COF中,42+r2=(r+2)2, 解得r=3. ∵GH⊥AB,OD⊥AB,∴GH∥DO. 又∵点G为BD的中点, (答案图) ∴GH是△BOD的中位线. ∴BH=OB=,GH=OD=. ∴AH=AB-BH=6-=. ∴AG==. (答案图) 三角形的内切圆 如图,在△ABC中,内切圆☉I与边BC,CA,AB分别切于点D,E,F. (1)若AB=6,AC=8,BC=10,试求☉I 的面积; [分析] (1)利用勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形,连接IF,ID,IE,IA,IB,IC,则IF,ID,IE分别是△ABI,△BCI,△ACI的高,由S△ABI+S△BCI+S△ACI=S△ABC,列方程求圆的半径,从而得到☉I的面积; 解:(1)∵AB2+AC2=62+82=102=BC2, ∴△ABC是直角三角形, ∴S△ABC=AB·AC=24. 如答案图,连接IF,ID,IE,IA,IB,IC, 则由内切圆的性质知,IF,ID,IE分 别是△ABI,△BCI,△ACI的高. 设此高为r,则有S△ABI+S△BCI+S△ACI=(AB+BC+AC)·r=24, 解得r=2. ∴S☉I=π×22=4π. (答案图) (2)若∠A=88°,试求∠EDF的度数,并探求∠A与∠EDF有何关系? [分析](2)利用切线性质及四边形的内角和定理、圆周角定理可求; (2)∵☉I内切于△ABC, ∴IF⊥AB,IE⊥AC, ∴在四边形AEIF中,∠A+∠EIF=180°. 又∵∠EDF是圆心角∠EIF所对的圆周角, ∴∠EDF=∠EIF=×(180°-∠A)=90°-∠A. 由∠A=88°,得∠EDF=46°. (答案图) (3)△DEF一定是锐角三角形吗?为什么? [分析](3)由(2)即可判断. (3)是.理由如下: 由(2)中的关系知∠EDF一定是锐角. 同理可得,△DEF的其余两个内角也是锐角, ∴△DEF一定是锐角三角形. [知识总结] 三角形任意两条角平分线的交点就是三角形内切圆的圆心,交点到三角形任意一边的距离是内切圆的半径. 3.如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 ( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 B 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=　 　. 1 $$