3.6　直线和圆的位置关系 第1课时 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

6　直线和圆的位置关系 第1课时　 直线和圆的位置关系及 切线的性质 1.直线和圆的三种位置关系 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 圆心到直线的距离d 与半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点个数 2 1 0 公共点名称 交点 切点 — 例:已知圆的半径为3,圆心到某直线的距离是2,则此直线与圆的位置关系为　 　;圆心到某直线的距离是3,则此直线与圆的位置关系为　 　;圆心到某直线的距离是4,则此直线与圆的位置关系为　 　.  相交 相切 相离 2.圆的切线的定义与性质 (1)定义:直线和圆有　 　的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做　 　. (2)性质:圆的切线垂直于过　 　的半径. 唯一 切点 切点 判断直线与圆的位置关系 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,分别以下面给出的r为半径作圆,试问所作的圆与斜边AB所在的直线分别有怎样的位置关系?请说明理由. (1)r=4;(2)r=4.8;(3)r=5. [分析] 要判断直线与圆的位置关系,只要求出圆心到直线的距离d,再比较d与r的大小即可.因此应先过点C作AB边的高并求出高. 解:如答案图,作斜边AB上的高CD. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==10. 由三角形的面积公式,可得CD·AB=AC·BC, ∴CD===4.8, 即点C到直线AB的距离d=4.8. (1)当r=4时,d>r,此时☉C与AB相离; (2)当r=4.8时,d=r,此时☉C与AB相切;(3)当r=5时,d<r,此时☉C与AB相交. [方法归纳] 判断直线与圆的位置关系的关键是求出圆心到直线的距离,有的时候也可以直接用定义判断. 1.已知圆的半径为10 cm,圆心到直线l的距离为8 cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 C 2.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 ( ) A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相交 C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离 C 切线的性质 如图,BE是☉O的直径,A和D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C. (1)若∠ADE=25°,求∠C的度数; 解:(1)如答案图,连接OA. ∵AC是☉O的切线,OA是☉O的半径, ∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°. ∵=,∠ADE=25°, ∴∠AOE=2∠ADE=50°. ∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°. (答案图) (2)若AB=AC,CE=2,求☉O的半径. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵=,∴∠AOC=2∠B.∴∠AOC=2∠C. ∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°.∴3∠C=90°. ∴∠C=30°.∴OA=OC. 设☉O的半径为r, ∵CE=2,∴r=(r+2),解得r=2.∴☉O的半径为2. [方法点拨] 在运用切线的性质时,连接圆心和切点是常作的辅助线,这样可以产生半径和垂直条件. 3.如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为  　. 或 4.如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE. (1)求证:AC平分∠DAB; (1)证明:如答案图1, 连接OC, ∵CD为☉O的切线,OC是☉O的半径, ∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO. 又∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO, ∴∠CAD=∠CAO,∴AC平分∠DAB. (答案图1) (2)若EC=2,sin∠CAD=,求☉O的半径. (2)解:如答案图2,连接OC,OE,BC, ∵∠COE=2∠CAD,∠COB=2∠CAB, ∠CAD=∠CAB, ∴∠COE=∠COB,∴EC=BC=2. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. 在Rt△ABC中, sin∠CAB==sin∠CAD=, ∴AB=3BC=3×2=6, ∴☉O的半径为3. (答案图2) $$