3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

4　圆周角和圆心角的关系 第1课时　 圆周角定理及其推论1 1.圆周角的定义 顶点在　 　,两边分别与圆还有另一个交点的角,叫做圆周角. 注意:圆心角和圆周角的区别与联系: 圆上   圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心处 顶点在圆上 在同圆中,一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都和圆相交 2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的　 　. 注意:这个定理揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.这里面有两层意义:①圆周角和圆心角存在联系的前提条件是它们对着同一条弧;②对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半. 一半 3.圆周角定理的推论1 　所对的圆周角相等. 注意:(1)圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶角和底角的关系进行转化. (2)圆周角和圆周角之间的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化. (3)定理成立的条件是“同弧或等弧”,在运用定理时不要忽略了这个条件. 同弧或等弧 圆周角定理 (1)如图1,点A,B,C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为 ( ) A.25°　　 B.50° C.60°　　 D.80° B 图1 (2)如图2,A,B,C,D是☉O上的四个点,=.若∠AOB=58°,则∠BDC=　 　°. [分析] (1)先根据OA=OB, ∠BAO=25°得出∠B=25°, 再由平行线的性质得出 ∠CAB=∠B=25°,最后根据 圆周角定理即可求得∠BOC的度数; (2)连接OC.∵=,∴∠AOB=∠BOC=58°,再利用圆周角定理即可得到答案. 图2 29 1.(2024·重庆)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为 ( ) B A.28° B.34° C.56° D.62° 2.如图,A,B,C是☉O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是　 　. 65° 圆周角定理的推论1 (1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( ) A.92° B.108° C.112° D.124° 图1 C (2)如图2,点A,B,C,D在☉O上,=,∠CAD=30°, ∠ACD=50°,则∠ADB的度数为　 　. [分析] (1)先由∠ACB=90°,∠A=56°, 求出∠B的度数.再由=,得∠EOC =2∠ABC.最后在四边形OCFE中,由 四边形的内角和得∠F的度数; (2)由=,可得∠CAB=∠CAD=30°, ∴∠BAD=60°.易知∠ACD=∠ABD, 再根据三角形内角和定理即可求出∠ADB的度数. 图2 70° 3.如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,B是AC的中点,M是半径OD上任意一点,若∠BDC=40°,则∠AMB的度数不可能是( ) A.45° B.60° C.75° D.85° D 4.如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°, ∠APD=77°,则∠B的大小是 ( ) A.43° B.35° C.34° D.44° B 5.如图,AB为☉O的弦,D,C为的三等分点,BE∥AC交DC的延长线于点E,连接BD,BC. (1)求证:∠A=∠E; (1)证明:∵AC∥BE, ∴∠E=∠ACD. ∵D,C为的三等分点, ∴==. ∴∠ACD=∠A. ∴∠A=∠E. (2)若BC=3,BE=5,求CE的长. (2)解:由(1)知==, ∴∠D=∠CBD=∠A=∠E. ∴BE=BD=5,BC=CD=3, △CBD∽△BDE. ∴=,即=. 解得DE=. ∴CE=DE-CD=-3=. $$