3.1　圆 课件 2024-—2025学年北师大版数学九年级下册

1　圆 1.圆的定义 圆是平面上到　 　的距离等于　 　的所有点组成的图形,定点就是　 　,定长就是　 　.以点O为圆心的圆记作　 　,读作“圆O”. 注意:(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r).到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点都在同一个圆上. (2)圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. (3)“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 定点 定长 圆心 半径 ☉O 2.圆的有关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的　 　叫做弦. 直径:经过　 　的弦叫做直径. (2)圆弧:圆上任意　 　间的部分叫做圆弧. 半圆:圆的任意一条直径的两个　 　分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (3)等圆:能够　 　的两个圆叫做等圆. 等弧:在　 　中,能够互相重合的弧叫做等弧. 线段 圆心 两点 端点 重合 同圆或等圆 注意:(1)直径是弦,是圆中最长的弦,而弦不一定是直径. (2)半圆是弧,而弧不一定是半圆. (3)弧包括优弧和劣弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.劣弧只需用弧端点的两个字母表示,优弧必须用三个字母表示,其中表示端点的两个字母写在两端. (4)等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧. (5)在等圆中,所有的直径都　 ,所有的半径都　 　,直径是半径的　 　. 相等 相等 2倍 3.点和圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种:　 　、　 　、 　 　.设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d, 则 (1)点P在圆外⇔　 　; (2)点P在圆上⇔　 　; (3)点P在圆内⇔　 　. 例:已知☉O的半径为3,当OP=5时,点P与☉O的位置关系为　 　.  点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 点在圆外 4.平面上的点P与☉O上的点的距离最大(小)问题: 点P可以在圆外、圆上、圆内,不管点P在哪里,只要该点连接圆心并延长,与圆有两个交点,该点与远交点的距离就是最大值,与近交点的距离就是最小值.以此来构造数学模型解决动点最值问题,如表所示: 点的 位置 数学模型 点P到圆上 的点的最大值 点P到圆上 的点的最小值 点P在 圆外 BP AP 点P在 圆上 BP就是 直径的长度 AP=0 点P在 圆内 BP AP 圆的有关概念 (1)在以下所给的命题中,正确的有 ( ) ①直径是弦;②弦是直径;③一条弦所对的两条弧,不是优弧就是劣弧;④直径是半径的两倍;⑤经过圆内一点,可以作无数条直径. A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 A (2)如图,点O是☉O的圆心,则线段　 　是☉O的半径;线段　 　是☉O的弦,其中最长的弦是线段　 　;劣弧是  　;优弧是  　. OA,OB,OC AB,AC AC , , 1.下列说法中,正确的是 ( ) A.弧是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径 D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 2.已知☉O中最长的弦长8 cm,则☉O的半径是( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm B B 3.如图,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的矩形空地,他在以边长BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长应不超过　 　m. 4 圆的定义 如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数. [分析] 由AB=2DE可知DE与☉O半径相等,由此可连接OD,从而得△ODE为等腰三角形,从而得到∠ODC的度数,而∠ODC=∠OCD,从而易得∠AOC的度数. 解:如答案图, 连接OD. ∵AB=2DE=2OD, ∴OD=DE. 又∵∠E=18°. ∴∠DOE=∠E=18°. ∴∠ODC=36°. 同理∠OCD=∠ODC=36°, ∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°. (答案图) 4.如图,A,B,C是☉O上三点,∠A=80°,∠C=60°,则∠B的大小为　 　. 140° 5.如图,四边形ABCD的一组对角∠ABC,∠ADC都是直角.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上. 证明:如答案图,取AC的中点为点O,连接OD,OB. ∵∠ABC和∠ADC都是直角, O为AC的中点, ∴OD=AC,OB=AC. ∴OA=OB=OC=OD. ∴A,B,C,D四点在以点O为 圆心,以AC为直径的圆上. (答案图) 点和圆的位置关系 在矩形ABCD中,已知AB=3 cm,AD=4 cm. (1)若以A为圆心,5 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A的位置关系如何? 解:(1)如答案图,连接AC. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC==5 cm. ∴点C在☉A上. ∵AB=3 cm<5 cm,AD=4 cm<5 cm,∴点B,D在☉A内. (答案图) (2)若以A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是什么? [分析] 要确定点与圆的位置关系,关键是确定点到圆心的距离与半径的大小关系. (2)∵AB=3 cm,AD=4 cm,AC=5 cm, ∴AB<AD<AC. 要使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是3 cm<r<5 cm. (答案图) 6.已知☉O的周长为8π cm,若PO=2 cm,则点P在☉O　 　;若PO=4 cm,则点P在☉O　　;若PO=6 cm,则点P在☉O　　. 内 上 外 $$