第28章 锐角三角函数 课件 2024-—2025学年人教版数学九年级下册

28.1　锐角三角函数 第1课时　正　弦 1.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sin B的值是 (　 　) A. B. C. D. 2.【教材改编】如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°, 则下列比值中不等于sin A的是 (　 　) A. B. C. D. (第2题) D D 3.如图,在△ABC中,AC=BC=6,sin A=,则边AB的长是(　 　) A.2 B.4 C.2 D.4 B 4.如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1), C(5,6),则sin∠BAC= (　 　) A. B. C. D. C 5.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果=,那么sin A的值是  ; (2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2++=12a-36,则sin B的值为  . 　 　 6.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,sin A=.D为边AC上一点,∠BDC=45°,AD=7,求CD的长. 解:∵∠C=90°, ∴sin A==. 令BC=5x, 则AB=13x, ∴AC==12x. ∵∠BDC=45°,∠C=90°,∴∠BDC=∠CBD=45°. ∴BC=CD=5x,∴AD=AC-CD=7x=7. ∴x=1,∴CD=5x=5. 7.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边OA在x轴上,点A(10,0),sin∠COA=.若反比例函数y=(k>0,x>0)经过点C,则k的值等于(　 　) A.10 B.24 C.48 D.50 C 8.【数字文化】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,则sin θ= (　 　) A. B. C. D. A 9.(1)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C三点都在格点上,则 sin∠ABC=  ; 　 (2)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分 ∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD=  . 　 10.如图,△ABC中,AB=BC=13,AC=10,∠ABC的平分线与边AC交于点F,且与外角∠ACD的平分线CE交于点E. (1)求sin A的值; 解:(1)∵AB=BC=13,AC=10,BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠FBC,BF⊥AC,AF=AC=5. 在Rt△ABF中,BF==12, ∴sin A==. (2)求EF 的长. (答案图) (2)如答案图,过点E作EG⊥BD,垂足为G. ∵CE平分∠ACD,EF⊥AC,EG⊥BD, ∴EF=EG. 在Rt△ABF中,sin∠ABF==, 在Rt△EBG中, sin∠EBC=sin∠ABF===, ∴13EF=5×12+5EF,解得EF=. 11.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin∠OBD的值为 (　 　) A. B. C. D. D 12.(1)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D是AC边上一点,连接BD,将△BCD沿BD翻折,点C落在AB边的点C'处,连接CC'.若AB=15,sin A=,则CC’长为  ; 　 (2)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sin A=.过点D作 DE⊥AB,垂足为E,则sin∠BCE=  . 　 13.关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角. (1)求sin A的值; 解:(1)∵关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,即Δ=25sin2A-16=0, ∴sin2A=,∴sin A=±. ∵∠A为锐角,∴sin A=. (2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长. (2)∵方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,即Δ≥0, ∴100-4(k2-4k+29)≥0, ∴(k-2)2≤0. 又∵(k-2)2≥0,∴k=2. 把k=2代入原方程,得y2-10y+25=0, 解得y1=y2=5, ∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5. ①∠A是顶角时:如答案图1,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5. ∵sin A=,∴BD=4,AD=3, ∴DC=AC-AD=2, ∴BC==2, ∴△ABC的周长为10+2; (答案图1) ②∠A是底角时:如答案图2,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5. ∵sin A=,∴BD=4, ∴AD=DC=3,∴AC=6, ∴△ABC的周长为16. 综上,△ABC的周长为10+2或16. (答案图2) $$第2课时　余弦、正切 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则tan A的值是 (　 　) A. B. C. D. 2.在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为 (　 　) A. B. C. D.2 C A 3.在Rt△ABC中,AC≠BC,∠C=90°,则下列式子成立的是 (　 　) A.sin A=sin B B.sin A=cos B C.tan A=tan B D.cos A=tan B 4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3. sin A=  　,cos A=  　,tan A=  , sin B=  　,cos B=  　,tan B=  　. (第4题) B 　 5.(1)在△ABC中,∠C=90°,tan A= ,则cos B=  　; (2)如图,已知AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,连接AC,OC.若sin∠BAC=, 则tan∠BOC=  ; (3)锐角α满足cos α=, 则cos(90°-α)=  . [第5(2)题] 　 　 6.如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC边上,AE∥DC, EF⊥AB,垂足为F. (1)求证:四边形AECD是平行四边形; (1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°, ∴AD∥CE. 又∵AE∥DC, ∴四边形AECD是平行四边形. (2)若AE平分∠BAC,BE=5,cos B=,求BF和AD的长. (2)解:由(1)可得四边形AECD是平行四边形, ∴ AD=CE. ∵EF⊥AB,AE平分∠BAC,∠ACB=90°, ∴EF=CE,即EF=CE=AD. ∵BE=5,cos B=, ∴BF=BE·cos B=5×=4, ∴AD=EF==3. 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos∠BDC=,则BC的长为(　 　) A.10 B.8 C.4 D.2 D 8.如图,△ABC和△AED均为等腰直角三角形,∠BAC= ∠EAD=90°,AB=AC,AD=AE,点B在线段ED上,已知 AD=4,BD=2,则tan∠BCD的值为(　 　) A. B. C. D.3 A 9.(1)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则 cos∠ACB的值为  　; (2)(2024·成都外国语)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC.若tan∠ABC=, 则点C的坐标为  　; (3)如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点H,tan∠ABG=,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为　 　. 10 10.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AB⊥y轴于点B,tan∠AOB=,AB=2. (1)求反比例函数的解析式; 解:(1)∵AB⊥y轴,∴∠ABO=90°. ∵tan∠AOB==,AB=2, ∴OB=4,∴A(2,4). ∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上, ∴k=2×4=8,∴反比例函数的解析式为y=. (2)点C在这个反比例函数图象上,连接AC并延长交x轴于点D,且∠ADO=45°,求点C的坐标. (2)如答案图,过点A作AE⊥x轴于点E, ∵∠ABO=∠BOE=∠AEO=90°, ∴四边形ABOE是矩形, ∴OE=AB=2,OB=AE=4. ∵∠ADO=45°,∴△AED是等腰直角三角形, ∴DE=AE=4, ∴OD=OE+DE=2+4=6,∴D(6,0). (答案图) 设直线AD的解析式为y=ax+b, ∴解得 ∴直线AD的解析式为y=-x+6. 联立解得或 ∴C(4,2). (答案图) 11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值为(　 　) A. B. C. D.3 C 12.(1)如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,顶点B,C在第一象限,对角线AC∥x轴,交y轴于点 D.若矩形OABC的面积是6,cos∠OAC=,则k=　 　; - (2)如图,在△ABC中,tan∠ACB=,点D为AC的中点, 点E在边BC上,连接DE,将△CDE沿DE翻折,得到△FDE,点C的对应点是点F,EF交AC于点G.当EF⊥EC时,△DGF的面积为,连接AF,则AF的长度为  　. 13.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,AB上的点,连接CE,EF,CF. (1)若正方形ABCD的边长为2,E是AD的中点. ①如图1,当∠FEC=90°时,求证:△AEF∽△DCE; (1)①证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠D=90°,∴∠ECD+∠CED=90°. ∵∠CEF=90°,∴∠AEF+∠CED=90°, ∴∠AEF=∠ECD,∴△AEF∽△DCE. ②如图2,当tan∠FCE=时,求AF的长; ②解:如答案图1,延长DA交CF的延长线于点G,过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H. ∵∠H=∠D=90°, ∠GEH=∠CED, ∴△GEH∽△CED,∴=. ∵CD=2,AE=ED=1,∴GH=2HE. 设EH=m,GH=2m. (答案图1) ∵CE===,∴CH=m+. ∵tan∠ECF==, ∴=,∴m=,∴EH=,GH=, ∴EG===, ∴AG=EG-AE=-1=,DG=EG+DE=+1=. ∵AF∥CD,∴=,即=,∴AF=. (答案图1) (2)如图3,延长CF,DA交于点G,当GE=DE,sin∠FCE=时,求证:AE=AF. (2)证明:如答案图2,过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H. 设AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x,GH=y,CE=n, 同(1)②可证△GEH∽△CED, ∴==, ∴==,∴x=,y=. (答案图2) 在Rt△CGH中,sin∠ECF==, ∴CG=3GH,CH=2GH,∴=, ∴2y=x+n,∴2×=+n,∴2at=t2+n2. 在Rt△CDE中,n2=t2+a2, ∴2at=2t2+a2,∴a=t. ∵AF∥CD,∴=,∴=, ∴AF==a-=a-t. ∵AE=a-t,∴AE=AF. (答案图2) $$第3课时　 特殊角的三角函数值 1.sin 45°+的值等于(　 　) A.1 B. C. D.2 2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则∠B的度数是(　 　) A.30° B.45° C.60° D.75° B C 3.若△ABC中,sin A=cos B=,则下列最确切的结论是(　 　) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 C 4.爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J.如图,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)(　 　) A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J B 5.(1)sin 30°+cos 30°tan 60°=　 　; (2)2cos245°-=  　; (3)若2cos(α-15)°=,则α=　 　; (4)若+=0,那么△ABC的形状是　 　. 2 -1 45 等边三角形 6.计算: (1); 解:原式==3. (2)2sin 60°cos 45°+3tan 30°sin 45°; 解:原式=2××+3××=. (3)cos 60°-2sin245°+tan230°; 解:原式=-2×+× =-2×+×=0. (4)sin 30°+cos 45°-2tan 30°tan 60°. 解:原式=×+×-2×× =+-2=-. 7.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D, BD=.若点E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为(　 　) A. B. C.1 D. 8.已知∠A为锐角,且tan A=,则∠A的取值范围是(　 　) A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90° (第7题) C B 9.(1)如图,△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上,则tan(α+β)　 　tan α+tan β;(填“>”“<”或“=”) (2)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值 为  . [第9(1)题] > 　 10.在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山.如图,施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D处(A,C,D三点在同一直线上).为了计算隧道CD的长,现另取一点B,测得∠CAB=30°,∠ABD=105°,AC=1 km,AB=4 km,求隧道CD的长.(结果保留根号) 解:如答案图,过点B作BE⊥AD,垂足为E, 在Rt△ABE中,AB=4 km,∠CAB=30°, ∴BE=AB=2 km,AE=AB=2 km, ∠ABE=90°-∠CAB=60°, ∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=45°. 在Rt△DBE中,DE=BE·tan 45°=2 km, ∴AD=AE+DE=(2+2)km, ∴CD=AD-AC=2+2-1=(2+1)km, 答:隧道CD的长为(2+1)km. (答案图) 11.【数形结合】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,∴tan 15°====2-.类比这种方法,计算tan 22.5°的值为(　 　) A.+1 B.-1 C. D. B 12.如图,在△ABC中,AB=4,BC=7,∠B=60°,点D在边BC上,CD=3,连接AD.如果将△ACD沿直线AD翻折后,点C的对应点为点E,那么点E到直线BD的距离 为  　. 13.如图,☉O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c. (1)求证:===2R; (1)证明:作直径BE,连接CE,如答案图所示, 则∠BCE=90°,∠E=∠A, ∴sin A=sin E==,∴=2R. 同理:=2R,=2R, ∴===2R. (答案图) (2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4,利用(1)的结论求AB的长和sin B的值. (2)解:由(1)得,=, 即==2R, ∴AB==4,2R==8. 如答案图,过点B作BH⊥AC于点H. ∵∠AHB=∠BHC=90°, ∴AH=AB·cos 60°=4×=2, CH=BC·cos 45°=4×=2, ∴AC=AH+CH=2(+), ∴sin B===. $$第4课时　 用计算器求三角函数值 1.用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是 (　 　) A.0.71 B.0.72 C.0.69 D.0.70 B 2.如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为28°,高为7米.用计算器求AB的长,下列按键顺序正确的是 (　 　) B 3.比较sin 70°,cos 70°,tan 70°的大小关系是 (　　) A.tan 70°<cos 70°<sin 70° B.cos 70°<sin 70°<tan 70° C.cos 70°<tan 70°<sin 70° D.sin 70°<cos 70°<tan 70° 4.若tan 35°tan α=1,则锐角∠α=　 　. 5.(1)若α为锐角,且sin2α+cos226°=1,则α= ; (2)比较大小:sin 48°　 　cos 48°.(填“>”“<”或“=”) B 55° 26 ° > 6.图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB=AC=50 cm,∠B=47°.(参考数据:sin 47°≈0.73,cos 47°≈0.68,tan 47°≈1.07) (1)求车位锁的底盒长BC; 解:(1)如图2,过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB=AC,∴BH=HC. 在Rt△ABH中,∠B=47°,AB=50 cm, ∴BH=AB·cos B=50×cos 47°≈34(cm), ∴BC=2BH=68 cm. (2)若一辆汽车的底盘高度为30 cm,当车位锁上锁时,问:这辆汽车能否进入该车位? (2)在Rt△ABH中, ∴AH=AB·sin B=50×sin 47°≈36.5(cm). ∵36.5>30, ∴当车位锁上锁时,这辆汽车不能进入该车位. 7.若sin α≤,则锐角α的取值范围是(　 　) A.0°<α≤30° B.60°≤α<90° C.0°<α≤60° D.30°≤α<90° C 8.计算(可用计算器): (1)sin 55°≈　 　;(精确到0.01) (2)cos 57°32'58″≈　 　;(精确到0.001) (3)cos 22°-tan 22°≈　 　;(精确到0.001) (4)若cos A=0.235 8,则锐角A≈　 　;(精确到1″) (5)若sin(90°-A)=,则cos A=  . 0.82 0.537 0.523 76°21'40″ 　 9.自行车因其便捷环保深受人们喜爱,成为日常短途代步与健身运动首选.图1是某品牌自行车的实物图,图2是它的简化示意图.经测量,车轮的直径为66 cm,中轴轴心C到地面的距离CF为33 cm,后轮中心A与中轴轴心C的连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB=72°,后轮切地面l于点D.为了使得车座B到地面的距离BE为90 cm,应当将车架中立管BC的长设置为　 　cm.(参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.1) 60 10.如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50,≈1.73) (1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离; 解:(1)如答案图1,过点A作AM⊥DE,交ED的延长线于点M,过点C作CF⊥AM,垂足为F,过点C作CN⊥DE,垂足为N,则四边形CFMN为矩形, ∴CF=NM,FM=CN. 由题意可知,AC=80 mm,CD=80 mm, ∠DCB=80°,∠CDE=60°. 在Rt△CDN中,CN=CD·sin∠CDE≈69.2(mm), ∴FM≈69.2 mm,∠DCN=90°-60°=30°, ∴∠BCN=80°-30°=50°, (答案图1) ∴∠ACF=90°-50°=40°. 在Rt△AFC中,AF=AC·sin 40°≈51.2 mm, ∴AM=AF+FM≈120.4 mm. 答:点A到直线DE的距离约为120.4 mm. (答案图1) (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10°后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直线DE上即可,求CD旋转的角度. (2)旋转后,如答案图2所示,根据题意可知, ∠DCB=80°+10°=90°. 在Rt△BCD中,CD=80 mm,BC=40 mm, ∴tan D===0.50,∴∠D≈26.6°, ∴旋转的角度约为60°-26.6°=33.4°. 答:CD旋转的角度约为33.4°. (答案图2) 11.下列结论中正确的有 (　 　) ①sin 20°+sin 30°=sin 50°;②tan 40°tan 50°=1;③sin234°+cos2β=1,则锐角β=34°;④若∠A为锐角,且sin A=cos 28°,则锐角A=62°. A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 C 12.如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°.已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为　 　m.(结果精确到0.1 m) 4.4 13.(1)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想: ①sin 30°　 　2sin 15°cos 15°; ②sin 36°　 　2sin 18°cos 18°; ③sin 45°　 　2sin 22.5°cos 22.5°; ④sin 60°　 　2sin 30°cos 30°; ⑤sin 80°　 　2sin 40°cos 40°. 猜想:已知0°<α<45°,则sin 2α　 　2sin αcos α;(填“>”“<”或“=”) = = = = = = (2)在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=2α,请根据图1,图2的提示,利用等积法验证结论. 解:(2)验证如下: 如图1,在Rt△AEB中,sin 2α=,AB=1, 则BE=sin 2α. 如图2,在Rt△ADB中,sin α=,cos α=,AB=1, 则BD=sin α,AD=cos α. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD=2sin α. ∴S△ABC=AC·BE=sin 2α,S△ABC=BC·AD=·2sin αcos α. ∴sin 2α=2sin αcos α. $$28.2　解直角三角形及其应用 28.2.1　解直角三角形 1.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC为6 m,则自动扶梯AB的长约为(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75) (　 　) A.7.5 m　 B.8 m　 C.9 m　 D.10 m D 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边上的中点,连接CD.已知CD=4,cos∠BCD=,则BC的值为(　 　) A. B.2 C.4 D.4 C 3.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为 (　 　) A.+1 B.sin2α+1 C.+1 D.cos2α+1 A 4.如图,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则CD=　 　. (第4题) 5.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为　 　. (第5题) 3 24 6.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是△ABC的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E,若CD=5,sin∠BCD=. (1)求BC的长; 解:(1)∵DE⊥BC,sin∠BCD==. ∴DE=×5=3,∴CE==4. ∵∠B=45°,∴DE=BE=3. ∴BC=BE+CE=7. (2)求∠ACB的正切值. (2)过点A作AF⊥BC于点F,如图所示. ∴DE∥AF. ∵点D是AB的中点, ∴DE是△ABF的中位线, ∴AF=2DE=6,BF=2BE=6, ∴CF=BC-BF=1,∴tan∠ACB==6. 7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为(　 　) A. B. C. D.4 8.在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6, CD=1,则BC的长为(　 　) A.5 B.7 C.5或7 D.3+1 C C 9.(1)如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4 m,BC=(4-2)m,那么电线杆AB的长为　 　 m;(结果保留根号) 6 (2)如图,在△ABC中,AB=6,sin B=,tan C=,则△ABC 的面积为  　. 10.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图1景区内修建观光索道,设计示意图如图2所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A,B两处的水平距离AE为576 m,DF⊥AF,垂足为F.(图中所有点都在同一平面内,点A,E,F在同一水平线上)(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.41) (1)求索道AB的长(结果精确到1 m); 解:(1)在Rt△ABE中,∠AEB=90°, ∠BAE=15°, ∴AB=≈≈594(m). 答:索道AB的长为594 m. (2)求水平距离AF的长(结果精确到1 m). (2)如答案图,过点C作CG⊥DF于点G. ∴∠BGD=∠BGF=∠BEF=∠EFG=90°, ∴四边形BEFG是矩形, ∴EF=BG. ∵CD=AB=594 m,∠DCG=45°, ∴CG=CD·cos 45°=594×≈419(m), ∴EF=BG=BC+CG=50+419=469(m), ∴AF=AE+EF=576+469=1 045(m). 答:水平距离AF的长为1 045 m. (答案图) 11.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,∠B=45°,AB=,CE平分∠ACB交AB于点E,则线段CE的长为(　 　) A.+1　　 B.2　　 C.　　 D.- B 12.(1)如图1,是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板,数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度.他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图,并测得AB=120 cm,BD=80 cm,∠ABD=105°,∠BDQ=60°,底座四边形EFPQ为矩形,EF=5 cm.则此展板最高点A到地面PF的距离为　 　 cm;(结果精确到1 cm.参考数据:≈1.41,≈1.73) 159 (2)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠ABC=∠DAC=90°,tan∠ACB=,=,则=  . 　 13.图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1 m,BC=0.6 m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7 m.如图2,打开后备箱,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 27°≈0.454,cos 27°≈0.891,tan 27°≈0.510,≈1.732) (1)求打开后备箱后,车后盖最高点B'到地面l的距离; 解:(1)如答案图,作B'E⊥AD,垂足为E, 在Rt△AB'E中, ∵∠B'AD=27°,AB'=AB=1 m, ∴sin∠B'AE=sin 27°=. ∴B'E=AB'·sin 27°≈1×0.454=0.454(m). ∵平行线间的距离处处相等, ∴点B'到地面l的距离为B'E+AO=0.454+1.7=2.154(m)≈2.15 m. 答:打开后备箱后,车后盖最高点B'到地面l的距离为2.15 m. (答案图) (2)若小琳爸爸的身高为1.8 m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由. (答案图) (2)没有碰头的危险,理由如下: 如答案图,过点C'作C'F⊥B'E,垂足为F, ∵∠B'AD=27°,∠B'EA=90°,∴∠AB'E=63°. ∵∠AB'C'=∠ABC=123°, ∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°. 在Rt△B'FC'中,B'C'=BC=0.6 m, ∴B'F=B'C'·cos 60°=0.3 m, ∴C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∵1.85>1.8,∴没有碰头的危险. $$28.2.2　应用举例 第1课时　应用举例(一) 1.如图,小明在点C处测得树的顶端点A的仰角为α,同时测得BC=15 m,则树的高度AB为 (　 　) A.15tan α m B. m C.15sin α m D. m A 2.如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°,看这栋楼底部C的俯角β为60°,无人机与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高度为(　 　) A.140 m B.160 m C.180 m D.200 m B 3.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为(　 　) A.20米 B.15米 C.12米 D.(10+5)米 B 4.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得某马拉松赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是　 　米.(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,tan 21.8°≈0.400 0) 9.5 5.【教材改编】如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距40 m的点D处,观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为　 　.(结果保留整数,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19) 8 m 6.某校新装了国旗旗杆(如图所示),星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后,站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°,站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°,已知小明目高AE=1.4 m,距旗杆CG的距离为15.8 m,小刚目高BF=1.8 m,距小明24.2 m,求国旗的宽度CD.(最后结果保留一位小数,参考数据:sin 23°≈0.390 7,cos 23°≈0.920 5,tan 23°≈0.424 5) 解:如图,作EM⊥CG于点M,作FN⊥CG于点N. 易得四边形GAEM,GBFN是矩形, ∴ME=GA=15.8 m, FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40(m), MG=AE=1.4 m,NG=BF=1.8 m, 在Rt△DME中,∠DME=90°,∠DEM=45°, ∴DM=ME=15.8 m, ∴DG=DM+MG=15.8+1.4=17.2(m). 在Rt△CNF中,∠CNF=90°,∠CFN=23°, ∴CN=FN·tan 23°≈40×0.424 5≈17.0(m), ∴CG=CN+NG=17.0+1.8=18.8(m), ∴CD=CG-DG=18.8-17.2=1.6(m). 答:国旗的宽度CD约为1.6 m. 7.如图,重庆建川博物馆的主题雕塑“冒着敌人的炮火”矗立在鹅公岩长江大桥旁,为了测量雕塑AE的大致高度,小南同学在点C处测得雕塑顶部A的仰角为45°,雕塑底部E的仰角为37°,然后小南同学沿着CB方向走8 m到达点D,此时测得雕塑顶部A的仰角为54.5°,小南同学的身高忽略不计.已知A,B,C,D,E在同一平面内,则该雕塑AE的高度约为(参考数据:tan 37°≈0.75,tan 54.5°≈1.40) (　 　) A.7 m　　B.8 m　　C.21 m　　D.28 m A 8.如图所示,测得两幢大楼AB,CF的间距BF=30 m,CD=20 m,从点C处看点A的俯角为45°,从点D处看点B的俯角为30°,则AB的高度为　 　.(结果保留根号) (10-10)m 9.如图,某活动小组利用无人机航拍校园,已知无人机的飞行速度为3 m/s,从A处沿水平方向飞行至B处需10 s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°,则这架无人机的飞行高度大约是　 　m.(参考数据:≈1.732,结果保留整数) 20 10.图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm.(精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) (1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处,请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别; 解:(1)过点C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E,D,交水平线于点F,如答案图1所示, 在Rt△AEF中, tan∠EAF=. ∴EF=AF·tan 15°≈130×0.27=35.1(cm). ∵∠EAF=∠DAF,AF=AF,∠AFE=∠AFD=90°, ∴△ADF≌△AEF. ∴EF=DF=35.1 cm. ∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm), ED=2EF=35.1×2=70.2(cm)>26(cm), ∴小杜下蹲的最小距离=208-195.1=12.9(cm). (答案图1) (2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但站在B点仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明. (2)能,理由如下: 过点B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点M,N,交水平线于点P,如答案图2所示, 在Rt△APM中, (答案图2) (答案图2) tan∠MAP=, ∴MP=AP·tan 20°≈150×0.36=54(cm). ∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°, ∴△AMP≌△ANP, ∴PN=MP=54 cm, ∴BN=BP-PN=160-54=106(cm). 小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3=123(cm). ∴小若头顶超出点N的高度 123-106=17(cm)>15(cm). ∴小若踮起脚尖后能被识别. 11.如图,重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮,号称“重庆之眼”.摩天轮是一个圆形,直径AB所在直线垂直水平地面于点C,最低点B离地面的距离BC为1.6 m.某天,妈妈带着洋洋来坐摩天轮,当妈妈站在点D处仰头看摩天轮的圆心时,仰角为37°,为了选择更佳角度为洋洋拍照,妈妈向后退了49 m到达点D'处,当洋洋坐的轿厢F与圆心O在同一水平线时,他俯头看见妈妈的眼睛,此时俯角为42°.已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6 m, 妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上,则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是(参考数据:sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75,sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.90) (　 　) A.118.8 m B.127.6 m C.134.4 m D.140.2 m B 12.如图,一无人机在建筑物AB上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大37°.已知建筑物AB位于水平地面AC上,小明在A处测得无人机的仰角为53°,小明从A处出发沿着AC走了24 m后到达点C处,发现无人机正好在他的正上方.无人机、小明和建筑物的剖面在同一平面内,小明身高忽略不计,小明、建筑物AB都与水平面垂直,则建筑物AB的高度约为　 　m. 参考数据:sin 37°≈, cos 37°≈, tan 37°≈  25 13.如图,在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡,坡面BC与水平面的夹角为30°,在B点处测得楼顶D的仰角为45°,在坡顶C处测得楼顶D的仰角为15°,B和C的水平距离为300米.(A,B,C,D在同一平面内,参考数据:≈1.41,≈1.73) (1)求坡面BC的长度;(结果保留根号) 解:(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E. ∵B和C的水平距离为300米, ∴BE=300米. ∵∠CBE=30°, ∴BC===200(米). (2)一天傍晚,小晴从A出发去坡顶C散步,已知小晴从A到B的速度为每分钟50米,从B沿着BC上坡的速度为每分钟25米.若她18:00出发,请通过计算说明她在18:20前能否到达坡顶C处?(结果精确到0.1) (2)如图,过点B作BF⊥CD于点F, ∵CG∥AB,∴∠BCG=∠CBE=30°. ∵∠GCF=15°, ∴∠BCF=15°+30°=45°. ∵∠BFC=90°,∴△BCF为等腰直角三角形, ∴CF=BF===100(米),∠CBF=∠BCF=45°, ∴∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°. ∵∠BFD=90°,∴BD===200(米). ∵∠ABD=45°,∠BAD=90°, ∴AB=BD×cos 45° =200×=200(米), ∴小晴从A出发去坡顶C所用时间为: +≈20.8(分). ∵20.8>20,∴她在18:20前不能到达坡顶C处. $$第2课时　应用举例(二) 1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,则海轮航行的距离AB为(　 　) A.2海里 B.2sin 55°海里 C.2cos 55°海里 D.2tan 55°海里 C 2.如图,琪琪开车从A地出发,沿着北偏东60°的方向行驶,到达O地后沿着南偏西40°的方向行驶来到B地,且B地恰好位于A地的正东方向上,则下列说法正确的是(　 　) A.O地在B地的北偏东50°方向上 B.∠AOB=30° C.A地在O地的南偏西60°方向上 D.sin∠BAO= C 3.如图,在一笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A的北偏东60°的方向上,在码头B北偏西45°的方向上,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用的时间相等,则v1∶v2=(　 　) A. B.2 C.4 D.6 A 4.如图,海面上有A,B两岛分别位于C岛的正北方向和正东方向上,一艘船从C岛出发,以20海里/小时的速度向正北方向航行2小时到达A岛,此时测得B岛在A岛的南偏东58°方向上,则B,C两岛之间的距离约为　 　海里.(参考数据:sin 58°≈0.8,cos 58°≈0.5,tan 58°≈1.6) 64 5.科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,B,C两地的距离是　 km.(结果保留根号) 2　 6.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品.经测量,A在灯塔C的南偏西60°方向,B在灯塔C的南偏东45°方向,且在A的正东方向,AC=3 600米. (1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位); 解:(1)如答案图,过点C作CD⊥AB于点D, 在Rt△ACD中,∠ACD=60°,AC=3 600米, ∴AD=3 600×=1 800(米), CD=×3 600=1 800(米). 在Rt△BCD中,∠BCD=45°, ∴∠B=45°=∠BCD,∴BD=CD=1 800(米), ∴BC==1 800≈2 545(米). 答:B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米. (答案图) (2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处? (参考数据:≈1.414,≈1.732) (2)AB=AD+BD=1 800+1 800 ≈4 917.6(米), 甲组9分钟航行的距离为600×9=5 400(米). ∵5 400米>4 917.6米, ∴甲组能在9分钟内到达B处. 7.如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的点A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的点B处,此时与灯塔P的距离约为(　 　) A.27海里 B.50海里 C.75海里 D.15海里 参考数据:sin 37°≈, cos 37°≈, tan 37°≈ C 8.如图,一艘货轮以18 km/h的速度在海面上沿正东方向航行,当行驶至A处时,发现它的东南方向有一灯塔B,货轮继续向东航行30 min后到达C处,发现灯塔B在它的南偏东15°方向上,则此时货轮与灯塔B的距离是　 　km. 18 9.如图,我国某海域有A,B两个港口,相距80海里,港口B在港口A的东北方向,点C处有一艘货船,该货船在港口A的北偏西30°方向上,在港口B的北偏西75°方向上,则货船与港口A之间的距离为　 　海里.(结果保留根号) 40 10.(2024·重庆)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) (1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位); 解:(1)如图,过点B作BE⊥AC于点E. 在Rt△ABE中,∠BAE=90°-45°=45°,AB=40海里, ∴AE=AB·cos 45°=40×=20(海里), BE=AB·sin 45°=40×=20(海里), 在Rt△BCE中,∠CBE=60°, ∴CE=BE·tan 60°=20× =20(海里), ∴AC=AE+CE=20+20≈77.2(海里), ∴A,C两港之间的距离约为77.2海里. (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明. (2)甲货轮先到达C港,理由如下: 如图,由题意,得∠CDF=30°,DF∥AG, ∴∠GAD=∠ADF=60°, ∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°. 在Rt△ACD中,∠CAD=90°-∠GAD=30°, ∴CD=AC=(10+10)海里, AD=CD=(10+30)海里. ∴乙货轮航行的路程=AD+CD=10+30+10+10 =20+40≈105.4(海里). 在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BE=20海里, ∴BC==40海里, ∴甲货轮航行的路程=AB+BC= 40+40≈96.4(海里). ∵96.4海里<105.4海里, ∴甲货轮先到达C港. 11.如图,一艘轮船在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行,航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是(　 　) A.20海里 B.40海里 C.海里 D.海里 D 12.如图,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向上,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向上.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航 行  小时即可到达. (结果保留根号) 　 13.如图1,重庆东站位于重庆南岸茶园新区,是全国在建的最大城景融合的高铁枢纽站之一,目前正处于紧锣密鼓施工中.从设计图纸中,发现从广场A到B,受地形的影响,不能直接到达.施工设计图设计了两条线路,如图2所示:线路①A→C→B,线路②A→D→E→B.经勘测,C位于广场A的东北方向且到AB的距离为200 m,D位于广场A南偏东30°方向,也在F的正南方,AF=75 m.E在D的正东方向300 m处,也在B的南偏西60°方向.(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2,结果保留整数) (1)求AD的长度; 解:(1)如答案图. 由题意,得∠DAG=30°,DF⊥AB,AG⊥AB, ∴DF∥AB, ∴∠ADF=∠GAD=30°, ∴在Rt△ADF中, AD=2AF=150 m. 答:AD的长度为150 m. (答案图) (2)为缩短施工时间,决定从线路①和线路②中选择一条较短线路先进行施工,应该选择哪一条线路先施工? (2)如答案图,过点C作CK⊥AB于点K,过点E作EH⊥AB于点H, 由题意,得DE∥AB, DE=FH=300 m, DF=HE,KC=200 m, ∠CAB=45°, ∠NBE=60°,BN⊥AB, ∴∠HBE=90°-60°=30°. (答案图) 在Rt△ADF中,DF==75 m, ∴HE=75 m. 在Rt△BHE中,BE=2HE=150 m, BH==225 m, ∴线路②的施工路程为: AD+DE+EB=150+300+150≈705(m). 在Rt△ACK中,∠CAB=45°, ∴AK==200 m, (答案图) AC==200 m. ∵AB=AF+FH+HB=75+300+225=600(m), ∴BK=AB-AK=600-200=400(m). 在Rt△CBK中,由勾股定理,得 BC==200 m, ∴线路①的施工路程为: AC+CB=200+200≈720(m). ∵705<720, ∴应该选择线路②先施工. 答:应该选择线路②先施工. (答案图) $$第3课时　应用举例(三) 1.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长为(　 　) A.5 m B.10 m C.15 m D.20 m B 2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列说法正确的是(　 　) A.斜坡AB的坡度是10° B.斜坡AB的坡度是tan 10° C.AC=1.2tan 10° m D.AB= m B 3.如图,某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6 m,∠ACB为45°,改造后扶梯AD的坡比是1∶2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是(　 　) A.6 m B.(12-6)m C.(6-4)m D.(6-6)m 4.一条上山直道的坡度为1∶7,沿这条直道上山,每前进100 m所上升的高度为　 m. D 10　 5.如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长26 m,斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移　 　m时,才能确保山体不滑坡.(参考数据:tan 50°≈1.2) 10 6.如图,光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌,点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点(A,B,D,E在同一直线上),小红同学在距点E 9米的点C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°,同时测得教学楼外墙上点D的仰角为30°,从点C沿坡度为1∶的斜坡向上走到点F时,DF正好与水平线CE平行. (1)求点F到直线CE的距离;(结果保留根号) 解:(1)如答案图,过点F作FH⊥CE于点H, 易证四边形FHED是矩形,∴FH=DE. 在Rt△CDE中,∠DCE=30°, ∴DE=CE·tan∠DCE=9×tan 30°=3(米), ∴FH=DE=3米. 答:点F到直线CE的距离为3米. (答案图) (2)若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求出宣传牌AB的 高度.(结果精确到0.01,参考数据:sin 67°≈0.92,tan 67°≈2.36, ≈1.41,≈1.73) (2)∵CF的坡度为1∶,∴在Rt△FCH中,CH=FH=9米. ∴DF=EH=CH+CE=9+9=18(米). ∵∠AFD=45°,∴△ADF是等腰直角三角形, ∴AD=DF=18米. 在Rt△BCE中,∠BCE=67°, ∴BE=CE·tan∠BCE=9×tan 67°≈21.24(米), ∴AB=AD+DE-BE=18+3-21.24≈1.95(米). 答:宣传牌AB的高度约为1.95米. 7.如图,已知点C与某建筑物底端B相距220米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡顶D处,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 20°≈0.342,cos 20°≈0.940,tan 20°≈0.364) (　 　) A.13米 B.14米 C.36米 D.37米 B 8.数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度,如图,已知斜坡AE的坡度为i=1∶2.4,小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°,他沿着斜坡行走13 m到达点F处,在F处测得建筑物顶端C处的仰角为35°,小明和建筑物的剖面在同一平面内,小明的身高忽略不计,则建筑物CD的高度约为(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7) (　 　) A.28.0 m B.28.7 m C.39.7 m D.44.7 m D 9.(2024·成都七中)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,则古树DE的高度约为　 m 参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈, tan 37°≈,计算结果保留根号 (40-10)　 10.某日,重庆市北碚区缙云山突发山火,山火无情,人间有爱,各地消防迅速出动,冲锋在前,共抗险情.消防员在缙云山山脚A观测到一处着火点D的仰角为30°,然后沿着坡比为5∶12的斜坡前进104米到达B处平台,继续前进到达C,测得斜坡CD的坡角为37°,沿斜坡CD前行800米到达着火点D. (1)求着火点D距离山脚的垂直高度; 解:(1)如图,过点B,C,D分别作水平面的垂线,垂足分别为E,F,G,延长BC交DG于点H,则四边形BCFE,BHGE,CHGF是矩形. ∴BE=HG. 在Rt△CDH中,∠DCH=37°,CD=800米, ∴DH=CD·sin 37°≈800×=480(米). 在Rt△ABE中,AB=104米,=, 设BE=5x米,则AE=12x米. ∴AB==13x米,∴13x=104,解得x=8. ∴BE=HG=40米,AE=96米,∴DG=DH+HG=520米. 答:着火点D距离山脚的垂直高度为520米. (2)已知消防员在平地的平均速度为4 m/s,求消防员通过平台BC的时间.保留一位小数,参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,≈1.732 (2)在Rt△ADG中,∠DAG=30°, DG=520米, ∴AG=DG=520米. 在Rt△DCH中,∠DCH=37°, CD=800米, ∴CH=CD·cos∠DCH≈640米, ∴FG=CH=640米, ∴BC=EF=AG-AE-FG=(520-736)米. ∴消防员通过平台BC的时间:≈41.2(秒). 答:消防员通过平台BC的 时间为41.2秒. 11.如图,学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度,他们在点C测得旗杆顶部A的仰角为35°,再沿着坡度为3∶4的坡面向下走了3.5 m到达D处,再继续向旗杆方向走了15 m到达E处,在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°,已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5 m,则旗杆的高度AB约为(参考数据:tan 35°≈0.7,tan 65°≈2.1) (　 　) A.19.8 m B.19.7 m C.18.3 m D.16.2 m C 12.如图,小华站在河岸上的点G处,看见河里有一小船朝着岸边划过来,此时测得小船C的俯角∠FDC=30°.若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m,BG=0.7 m,BG平行于AC所在的直线,迎水坡i=4∶3,坡长AB=8 m,点A,B,C,D,F,G在同一平面内,则此时小船C到岸边的距离CA为　 m.(结果保留根号) (8-5.5)　 13.如图所示为学校旁边一座小山的截面图.已知AB是水平线,经测量AB=1 712 m,BC,CD,AD是斜坡,斜坡BC的坡角为37°,坡长为1 000 m,CD⊥BC,斜坡AD的坡比为i=5∶12,过点C作CE⊥AB,垂足为E.(参考数据:tan 37°≈0.75) (1)求坡顶C到水平线AB的距离; 解:(1)∵CE⊥AB,垂足为E,斜坡BC的坡角为37°,坡长为1 000 m, ∴∠CEB=90°, ∠B=37°,BC=1 000 m. 在Rt△CEB中,tan B=≈,CE2+BE2=BC2. ∴设CE=3k,BE=4k, ∴BC=5k=1 000,解得k=200, ∴CE=3k=600 m. 答:坡顶C到水平线AB的距离为600 m. (2)某徒步爱好者小明沿着这个截面按照B→C→D→A的路线走完全程,求小明所走的总路程. (答案图) (2)如答案图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥CE于点N, ∴∠CND=∠DMA=90°. ∵CD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠B+∠BCE=∠NCD+∠BCE=90°, ∴∠B=∠NCD=37°. 在Rt△CND中, tan∠NCD=≈,DN2+CN2=CD2, ∴设DN=3x,CN=4x,则CD=5x. 易知四边形NEMD是矩形, ∴NE=DM=600-4x,DN=ME=3x. ∵斜坡AD的坡比为i=5∶12, 在Rt△ADM中,tan A==,DM2+AM2=AD2, ∴DM∶AM∶AD=5∶12∶13. ∵AB=1 712 m,BE=800 m, ∴AM=1 712-800-3x=(912-3x)m, (答案图) ∴==,解得x=80, ∴DM=600-4x=280 m, ∴AD=DM=728 m,CD=5x=400 m, ∴BC+CD+DA=1 000+400+728=2 128(m). 答:小明所走的总路程是2 128 m. (答案图) $$