精品解析：四川省眉山市东坡区苏洵初级中学2024—2025学年上学期期中质量监测九年级数学试题

眉山市东坡区苏洵初级中学2022级九上期中质量监测 一．选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 的被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故此选项符合题意； B． 的被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C ． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】．是二次根式的有，，，共3个， 故选：B． 3. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③和④是一元二次方程， 故选：C． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算结果错误； B、，故本选项的计算结果错误； C、与的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算结果错误； D、，故本选项的计算结果正确． 故选：D 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 故选：A． 6. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 7. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 8. 关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数关系得到关于k的不等式，解不等式可以得到答案． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得，解得 由根与系数关系得： ∴-3-k<-1，解得：k>-2 综上，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元 二次方程根与系数关系的应用，熟练应用根与系数关系是解题关键． 9. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【解析】 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 10. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 可由的图象平移得到 B. 对称轴是直线 C. 图象有最低点 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移问题，根据平移不会改变开口方向可判断A；根据二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为可判断B、D，根据二次项系数的符号即可判断C． 【详解】解：A、二次函数可以由向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，不可以由的图象平移得到，原说法错误，不符合题意； B、二次函数的对称轴为直线，原说法错误，不符合题意； C、二次函数的图象开口向上，有最小值，原说法正确，符合题意； D、二次函数的顶点坐标为，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 11. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断二次函数与轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断和的正负，通过和的正负判断二次函数的开口方向和与轴的交点位置即可求解． 【详解】解：由可知二次函数图象与轴交于 观察选项A和选项B的一次函数经过一二三象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向上，与轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一二四象限，可得， 若，，则二次函数开口方向向下，与轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系，和二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 12. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答． 【详解】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②二次函数对称轴为直线，当时有，解得，故此命题是真命题； ③∵， ∴， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数为，顶点纵坐标为，则，则；C点坐标为；则，； 则，． ∴四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 14. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据同类二次根式求参数．解题的关键是得到两个最简二次根式是同类二次根式． 15. 将抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，据此即可解答． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 16. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的开口向上，有最小值，对称轴是直线，可知时的函数值与时的函数值相等，根据当时，y随x的增大而增大，可以判断、、的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，有最小值，对称轴是直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵的对称点为，且， ∴． ∵是顶点， ∴最小． ∴． 故答案为：． 17. 已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当x+y=-5，xy=4时， =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，据此结合图象进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 根据函数图象可得关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的除法运算法则以及零指数幂的运算法则求解即可； （2）根据积的乘方的逆运算将整理为，并利用完全平方公式计算，然后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算、运用平方差公式进行运算、化简绝对值、零指数幂以及乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，进而可得，，再解即可； （2）依据题意，运用因式分解法计算可以得解． 【小问1详解】 解：， ， ， 则，， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， 或 ，． 21. （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键． （1）首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解； （2）根据二次根式的性质化简，根据完全平方公式得到，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 23. 某商场经营一种成本为每千克40元的产品． （1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． （2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 【答案】（1）月份该产品销售的月平均增长率为 （2）销售该产品时每千克应涨30元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键． （1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，列方程并解方程即可解决； （2）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，结合月销售利润=每件利润×数量即可列出方程，解方程即可； 【小问1详解】 解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去）， 答：月份该产品销售的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售该产品时每千克应涨y元, , 解得：， 当时，月销售成本为，不合题意舍去， 当时，月销售成本为，符合题意， ∴， 答：销售该产品时每千克应涨30元． 24. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒 （1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值； （2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值． 【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8． 【解析】 【分析】（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答； （2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可. 【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， ∴S△ABC＝×6×6＝18， ∵AP＝t，CP＝6﹣t， ∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t）， ∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的， ∴t2+×6×（6﹣t）＝18×， 解之，得t1＝2，t2＝4； （2）∵AP＝t，PQ＝2AP， ∴PQ＝2t， ①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8， 解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去）， ②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8， 解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t≤6时，S＝ 6×6﹣t2＝8， 解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）， 综上，t的值为或2时，重叠面积为8． 【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键. 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）解方程后，根据定义即可求点坐标； （2）求出方程的解为，，根据，得出，根据点M在直线上，求出，即可得出答案； （3）先求出直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求，， 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得：， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴直线恒过定点，则方程的衍生点M为， ∴根据根与系数的关系有，， 即， ∴，． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解新定义衍生点，熟练掌握一次函数的图像及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）P点坐标(2,-6)时， △PBC的最大面积为8． 【解析】 【分析】解析 (1)由A,B,C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式; (2)过P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标. 【详解】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入可得 ，计算得出， 抛物线解析株式为y= x2-3x-4; （2）点P在抛物线上，可设P(t,t2-3t-4), 过P作 PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图 B(4,0),C(0,-4),直线BC解析式为y=x-4, F(t,t-4), PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t, =+=PFOD+PFBE=PF(OE+BE)= (-t2+4t)4=-2(t-2) 2+8, 当t=2时, 最大值为8,此时t2-3t-4=-6, 当P点坐标为(2,-6)时,△PBC的最大面积为8. 【点睛】本题主要考查待定系数法球二次函数的解析式及二次函数与图形面积的最值，注意灵活运用所学知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山市东坡区苏洵初级中学2022级九上期中质量监测 一．选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 6. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 8. 关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 10. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 可由的图象平移得到 B. 对称轴是直线 C. 图象有最低点 D. 顶点坐标是 11. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题） 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 14. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 15. 将抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为__________________． 16. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 17. 已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为______． 三．解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2） 21. （1）计算：； （2）若，求的值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 23. 某商场经营一种成本为每千克40元的产品． （1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率． （2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？ 24. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒 （1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值； （2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值． 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $