精品解析：上海市嘉定区中科院上海实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024学年第一学期九年级数学练习 （100分钟完成，满分150分） 一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A、，未知数最高次不是1次，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； B、没有未知数，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； C、不符合题意一次函数的解析式形式，一次函数解析式右边应为整式，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意． 故选：D． 2. 下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 如果和是相反向量，那么 B. 如果和是平行向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意； B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意； 答案：D． 5. 在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 只有当时，， 理由是：∵，， ∴， ∴， ∴， 而其它选项都不能推出，即不能推出或，即不能推出， 即选项A、B、C都错误，只有选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查的是比例的性质，通过设参数的方法将比例关系转化为具体的数值，进而求解代数式的值．解题的关键是根据已知的比例关系设出参数，，再代入式子进行计算． 【详解】， ， 设，， ． 故答案为：． 8. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】原式整理得，再开立方即可得出最后结果． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解方程，用开立方的方法求根，熟练掌握正数的立方是正数，负数的立方是负数，的立方是是解答本题的关键 9. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点，、和、、，如果，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵, ∴ ∵，，， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 10. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段 的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， ∴ 故答案为：． 11. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键；先换元得到，再去分母整理即可． 【详解】解：设， 原方程可化为：， 去分母得，即， 故答案为：． 12. 若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，直角三角形的性质，勾股定理，掌握三角形的重心性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据重心和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 为的重心， 为的中点，， ，两条直角边长为6和8， ， ， ， 故答案为：． 13. 布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．画树状图，共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果， 摸到的两个红球的概率是：． 故答案为：． 14. 若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 _____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意作出图形，进而根据勾股定理求得，进而求得另外一条对角线的长． 【详解】解：设菱形ABCD的两条对角线交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，边长是10， ∴AB＝10，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD， ∴OB＝＝＝8， ∴BD＝2OB＝16； 故答案为16． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键． 15. 如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等角对等边，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键；由三角形中位线定理得，，由平行线性质及角平分线的定义得，从而，则由可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 16. 在矩形中，，，的垂直平分线交于，交于，那么四边形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，从而求出，再根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明，得到，证出四边形为菱形，设菱形的边长为，则，在中，由勾股定理得出边长长度，求出最终结果； 本题主要考查了矩形的性质和线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质． 【详解】如图所示：连接， 四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是平行四边形 四边形是菱形， 设菱形的边长为， 则 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得 所以四边形的面积为 故答案为：． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【解析】 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 18. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分） 19. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，分数指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方等，正确化简每一项是解题的关键． 分别计算化简有理数的乘方，化简绝对值，分数指数幂，负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ． 20. （1）解方程： （2）解方程组： 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组和换元法解一元二次方程，熟练掌握解二元二次方程组和换元法解一元二次方程是本题的关键． （1）设，原方程化为，解一元二次方程求解即可； （2）先把方程组化为或，再解方程组即可． 【详解】（1）解：将原方程变形为：， 设， 原方程化为， 解得：， 当时，，解得， 当时，无解， 检验：把代入原方程，适合， 原方程的解是； （2）解：， ， ， 或， 解得：或． 21. 如图，在△中，点为边的中点，设， （1）试用向量表示下列向量：________；________； （2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 【答案】（1）；； （2） 作图如下：作，且， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，平面向量的运算等知识点， （1）根据三角形法则，由即可求得的值，由点D为边的中点，与即可求得的值； （2）作，且，则； 熟练掌握三角形法则的应用是解决此题的关键． 【小问1详解】 由题意知，， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分） 22. 如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，连接交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如下图： 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，从而证明，进而可得，，然后再证，从而可得，再结合（1）的结论可得，最后利用等角的余角相等可得，从而可得，进而利用菱形的判定方法即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作、，垂足分别为点E、F，分别交于点G、H． （1）求证：； （2）延长相交于点P，当时，求证：． 【答案】（1） 证明： 四边形 是菱形， ， ， ， ； （2） 证明：， 是直角三角形斜边 的中点， 由(1)知： ， 是等边三角形， 如图，连接 ， ∵四边形是菱形， 是等边三角形， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． (1)根据菱形的性质即可解决问题； (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 是等边三角形， 是等边三角形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1、现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含的代数式表示为_______，那么可以得到等式：_______，整理后，得到之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边与斜边所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形中，，那么_______，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么_______．（直接写出答案） 【答案】（1）， （2）如图所示： （3）；或6 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，勾股定理，翻折的性质； （1）大正方形的面积还可以表示为阴影部分4个直角三角形的面积加上空白部分正方形的面积，进而可得等式； （2）如图，梯形的面积可直接利用梯形面积公式计算，也可以表示为3个直角三角形的面积和，进而可验证勾股定理； （3）利用勾股定理求出，然后分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含的代数式表示为，那么可以得到等式：， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 整理得：； 【小问3详解】 ∵在直角三角形中，， ∴； 如图3，当点在线段上时， 由折叠得：，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴； 如图4，当点在线段的延长线上时， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 综上，或6， 故答案为：；或6． 25. 在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 【答案】（1）3；（2）；（3）或1 【解析】 【分析】（1）由，得，又，得，得即可； （2）过点作，垂足为点，四边形是矩形，，可证，得，设，，利用线段和差即可得到； （3）， ，推出，当与相似时，分类讨论①若，推出，，，求得， ②若，设与交于点，由，，知，可证△AEO∽△ABC，利用性质可求，，综上所述，线段的长为或1时与相似． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）过点作，垂足为点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴2x-y=4, 当点在线段上时， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当与相似时， ①若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵设，，， ∴． ②若，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB=4，BC=3，则AC=5， 设， 由EO∥BC ∴△AEO∽△ABC ∴即 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长为或1时与相似． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学练习 （100分钟完成，满分150分） 一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，属于分式方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 如果和是相反向量，那么 B. 如果和是平行向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 方程的根是___________． 9. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点，、和、、，如果，，，那么______． 10. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是______． 11. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为________． 12. 若直角中，两条直角边长为6和8，为的重心，则的长为________． 13. 布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为_________． 14. 若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 _____． 15. 如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为________． 16. 在矩形中，，，的垂直平分线交于，交于，那么四边形的面积等于________． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 18. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分） 19. 计算： 20. （1）解方程： （2）解方程组： 21. 如图，在△中，点为边的中点，设， （1）试用向量表示下列向量：________；________； （2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法） 四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分） 22. 如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，连接交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，连接，求证：四边形为菱形． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作、，垂足分别为点E、F，分别交于点G、H． （1）求证：； （2）延长相交于点P，当时，求证：． 24. 阅读下列材料，并完成相应任务． 教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则． 如图1、现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形． （1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含的代数式表示为_______，那么可以得到等式：_______，整理后，得到之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边与斜边所满足的关系式． （2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可） （3）应用：如图3，在直角三角形中，，那么_______，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么_______．（直接写出答案） 25. 在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $