精品解析：江西省南昌三中教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次摸底数学试卷

2024-2025学年江西省南昌三中教育集团九年级（上）第一次摸底数学 试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2﹣5x+c=0 一定有实数根的是 （ ） A. a=0 B. c=0 C. a＞0 D. c＞0 2. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个二次函数图象经过，其中，则中最值情况是（　　） A. 最小， 最大 B. 最小， 最大 C. 最小， 最大 D. 无法判断 4. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A. ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论： ①； ②； ③（m为任意实数）； ④点，，是该抛物线上的点，且． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 用配方法解方程，经过配方，得到______． 8. 若方程有两个相等的实数根，则______． 9. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 10. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 11. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______． 12. 定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 13. 解方程 （1） （2）． 14. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 16. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． （1）求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 18. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）可求得m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为____________________． 19. 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当时，；当时．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件． （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ （3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润． 20. 如图，已知抛物线与x轴交于点． （1）求m的值和顶点M的坐标； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 21. 阅读下列材料并解决问题． [问题]解方程：； [提示]可以用“换元法”解方程． 解：设（），则原方程为，解得 ，（舍去） 所以，，． [解决问题] （1）解方程； （2）对于关于的方程恰好有3个不相等的实数根满足此方程，求m的值． 22. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． （1）此抛物线的解析式． （2）点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 23. 如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标； （3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省南昌三中教育集团九年级（上）第一次摸底数学 试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2﹣5x+c=0 一定有实数根的是 （ ） A. a=0 B. c=0 C. a＞0 D. c＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有实数根的条件对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=（-5）2-4ac=25-4ac≥0，且a≠0， ∴ac≤，且a≠0； A、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误； B、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确 C、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误； D、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 2. 抛物线是由某抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，此抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 故选：B． 3. 已知一个二次函数图象经过，其中，则中最值情况是（　　） A. 最小， 最大 B. 最小， 最大 C. 最小， 最大 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】利用推导出函数的对称轴，根据可知 随 的增大而增大，可判断中的最值情况； 【详解】∵，且 ， ∴该二次函数的对称轴为：， ∵， 且 ， ∴在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而增大， ∵ 中，， ∴ 故选：A． 【点睛】熟练掌握二次函本题考查二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性是突破本题的关键 4. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A. ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当m≠1时，函数为二次函数， ∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0， 解得，m＝﹣2或3， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 6. 抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论： ①； ②； ③（m为任意实数）； ④点，，是该抛物线上的点，且． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系．由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知与0的关系，可判断①；根据对称轴推理a、b关系，可判断②；根据当时，抛物线有最大值，即得出对于任意实数m均有，可判断③；根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小，可判断④． 【详解】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知，正确； ②抛物线的对称轴为直线，即， ∴，正确； ③图象开口向下，对称轴为直线， ∴时，有最大值，对于任意实数m均有，即，正确； ④∵在抛物线上的对称点为， ∵， ∴，错误； 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 用配方法解方程，经过配方，得到______． 【答案】 【解析】 【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，牢记完全平方公式． 8. 若方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个相等的实数根，可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，熟记一元二次方程根的判别式是解本题的关键． 9. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系：，求解即可． 【详解】解：由题意知：△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）=25＞0， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系、代数式求值，熟记一元二次方程的根与系数的关系公式是解答的关键． 10. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2043 【解析】 【分析】由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：2043． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． 11. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质． 由抛物线与轴交点坐标为及抛物线的对称轴求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴ ∴抛物线与轴另一交点坐标为， 故答案为：． 12. 定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】先根据“特征数”的定义写出函数解析式，分与两种情况，分别求解． 【详解】解：特征数为的函数解析式为，分两种情况： 当时，，函数图象与x轴只有一个交点，符合题意， 此时； 当时，， 若函数图象与x轴只有一个交点，则的根的判别式为0， 即， 解得， 综上可知，a的值为0或， 故答案为：0或． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 13. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的赶紧。 （1）方程整理后，利用配方法求出解即可． （2）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【小问1详解】 解： 方程移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； 【小问2详解】 解： 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和因式分解法是解答此题． （1）利用配方法直接解一元二次方程； （2）先对等号右边进行因式分解，再移项，再进行因式分解求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， 又∵无论m取何值，恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【解析】 【分析】（1）将代入原式，得到关于m的方程，求解即可； （2） 求出该方程根的判别式，再证明其结果为正数即可． 【小问1详解】 解：将代入原式，得， 解得：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 16. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． （1）求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 【答案】（1）2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； （2）预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据2021年某款新能源车销售量为20万辆，到2023年销售量为45万辆，若年增长率不变，可得关于的一元二次方程； （2）利用（1）中所求，进而利用2024年出口量年出口量增长率），即可得出答案． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； 【小问2详解】 解：由（1）得，（万， 答：预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的抛物线上找出点E，使． （2）在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点F． 【答案】（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求； （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）延长BA交抛物线于点E，则A、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可解答； （2）由（1）知AE∥CD、AC=DE知四边形ACDE是等腰梯形，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求． 【详解】略 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解答本题的关键． 18. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）可求得m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为____________________． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得； （2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式； （3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线过点（1，0），（3，0）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3）， ∴m＝3， 故答案为3； （2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+3， 故答案为y＝﹣4x+3； （3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1， 由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点（0，3），（3，0）， 因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 19. 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当时，；当时．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件． （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ （3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）y=-10x+800(0＜x≤52) （2）40元 （3）销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为9000元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得； （3）利润w=(x-20)(-10x+800)=-10(x-80)(x-20)= -10+9000，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设y=kx+b，根据题意可得 ， 解得：， 则y=-10x+800(0＜x≤52)； 【小问2详解】 解：根据题意，得：（x-20）（-10x+800）=8000， 整理，得：-100x+2400=0， 解得：=40，=60， ∵销售单价最高不能超过52元/件， ∴x=40， 答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元； 【小问3详解】 解：利润w=(x-20)(-10x+800)=-10(x-80)(x-20)= -10+9000， ∵-10＜0，故w有最大值，当x=50时，w最大值为9000． ∴当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为9000元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 20. 如图，已知抛物线与x轴交于点． （1）求m的值和顶点M的坐标； （2）求直线的解析式； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，求得，求出抛物线的对称轴，即可求解； （2）设，将两点代入求解即可； （3）结合函数图像，可得在点的右边或点的左边，满足，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入可得 ，解得，即， 则的对称轴为 将代入得，，即； 【小问2详解】 解：设，将，代入可得 ，解得， 即； 【小问3详解】 解：由图像可得：当时x的取值范围为或 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，根据图象求解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 21. 阅读下列材料并解决问题． [问题]解方程：； [提示]可以用“换元法”解方程． 解：设（），则原方程为，解得 ，（舍去） 所以，，． [解决问题] （1）解方程； （2）对于关于的方程恰好有3个不相等的实数根满足此方程，求m的值． 【答案】（1），；（2）m的值为2． 【解析】 【分析】（1）利用换元法解方程，设，则，得方程，利用因式分解法可解得，，舍去负值，则，求解的值即可； （2）将方程转化为函数解析式，利用函数的图象解决问题，令，，，根据图象可得当图象有三个交点的时候，符合题意，此时可求得的值． 【详解】解：（1）设，则， ∴原方程为， 解得，（舍）， ∴， 即， 解得，． （2）令，， 由题意可知，函数与的图象有三个交点， 如图，符合题意要求时，， 即对于关于的方程恰好有3个不相等的实数根满足此方程时的值为． 【点睛】本题考查了利用换元法解无理方程，利用换元法将无理方程转化为一元二次方程，从而求解；同时考查了利用函数图象，数形结合的方法，解含绝对值的方程，将方程正确的转化为相应的函数是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． （1）此抛物线的解析式． （2）点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）符合条件的点的坐标是：或或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点． （1）由抛物线的顶点为得到抛物线的对称轴为轴，则可判断点为抛物线上的对称点，再根据矩形的面积得到，则可得到点的坐标为，然后设顶点式，再把代入求出的值即可； （2）设，则，，再分别根据①当时，②当时，③当时，三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为， 四边形为矩形， 点为抛物线上的对称点，， ∵， ∴， 矩形其面积为32， ， ， ∴，， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ，，， ①当时，点在线段的垂直平分线上，此时点与点重合，其坐标是； ②当时，可得， 解得， 此时点的坐标是或； ③当时，， 解得， 此时点的坐标是或， 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或或 23. 如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）当点P在直线上方时，求出面积最大时点P的坐标； （3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）的最大值为；此时，；（3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法得出，，的值，即可求解； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点，连接．根据三角形的面积公式解答即可； （3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 【详解】（1）将代入，得：， ∴； 由题意得：，解得：， ∴； （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点， ，， ，， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 过点作于，作于．则，， ，． ． ，，， 当时，的值最大． 当时，，， 即面积的最大值为，此时点的坐标为， （3）存在三组符合条件的点， 当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， ，，，， 可得坐标如下： ①的横坐标为，代入二次函数表达式， 解得：，； ②的横坐标为3，代入二次函数表达式， 解得：，； ③的横坐标为1，代入二次函数表达式， 解得：，． 故：的坐标为或或． 【点睛】主要考查二次函数综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $