4.3.1 对数的概念-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

4.3.1　对数的概念（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】指数式和对数式的互化 2 【题型二】对数的定义及其应用 3 【题型三】对数相关性质及恒等式的应用 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 素养要求： 1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养. 自主预习 一、对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为ln__N. 二、对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 三、对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 题型研析 【题型一】指数式和对数式的互化 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 解题策略： 1.指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 2.指数式与对数式互化注意两点：(1)字母位置的改变，(2)对数式的书写要规范(ab＝N⇔b＝logaN). 【题型二】对数的定义及其应用 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高一·全国·课前预习）（多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 4．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 解题策略： 1.求对数式中x的值，注意利用方程的思想求解. 2.主要求解步骤： (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题； (2)利用指数的性质计算. 【题型三】对数相关性质及恒等式的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 2．（2024·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 二、多选题 3．（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的性质 （1）对数的基本恒等式：（，且），（，且）. （2） （且）. （3） （且）. 6．（23-24高一上·安徽·期末） . 解题策略： (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·海南省·阶段练习）已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 二、多选题 3．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）记某飞行器的最大速度，若不变，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 4．（24-25高三上·辽宁·开学考试）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知x＝log43，则下列计算正确的有（    ） A．4x＝3 B．2x＝ C．2－x＝ D．2x＋2－x＝1 6．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列计算正确的有（    ）． A． B． C． D． 7．（22-23高一上·广东广州·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数且的图像必过定点 B．若且，则 C．已知函数，则方程的实数解为 D．对任意，都有 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 9．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高一上·浙江丽水·期末）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则 . 四、解答题 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1　对数的概念（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】指数式和对数式的互化 2 【题型二】对数的定义及其应用 5 【题型三】对数相关性质及恒等式的应用 7 【当堂温习】 10 【分层练习】 12 考试要求： 1.理解对数的概念. 2.知道自然对数和常用对数. 3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 素养要求： 1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养. 自主预习 一、对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为ln__N. 二、对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 三、对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 题型研析 【题型一】指数式和对数式的互化 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则的值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C AB CD 1．A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 2．C 【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得. 【详解】由，得，即，而， 所以. 故选：C 3．AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 4．CD 【分析】根据对数式与指数式的互化以及求解对数方程的方法对应各个选项即可求解． 【详解】选项A：由可得：，则，故A错误， 选项B：由可得：，则，故B错误， 选项C：由可得，则，故C正确， 选项D：由可得：，则，故D正确， 故选：CD． 5．16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 6．/ 【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 解题策略： 1.指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 2.指数式与对数式互化注意两点：(1)字母位置的改变，(2)对数式的书写要规范(ab＝N⇔b＝logaN). 【题型二】对数的定义及其应用 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高一·全国·课前预习）（多选）下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 4．（22-23高一上·广东东莞·期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BCD AB 1．C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 2．C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 3．BCD 【分析】对于A：由对数的定义即可判断； 对于B：用对数的定义即可判断； 对于C：由常用对数的定义即可判断； 对于D：由自然对数的定义即可判断. 【详解】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确； 对于B：只有符合，且，才有，故B错误； 对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误； 对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误. 故选：BCD. 4．AB 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 5． 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 6． 【分析】由对数式底数和真数的限制条件，求算式有意义时实数的取值范围. 【详解】要使有意义， 须，即，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 解题策略： 1.求对数式中x的值，注意利用方程的思想求解. 2.主要求解步骤： (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题； (2)利用指数的性质计算. 【题型三】对数相关性质及恒等式的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 2．（2024·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 二、多选题 3．（22-23高一上·广东惠州·期中）已知正实数，满足，且，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的性质 （1）对数的基本恒等式：（，且），（，且）. （2） （且）. （3） （且）. 6．（23-24高一上·安徽·期末） . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A AD AB 1．B 【分析】根据指数幂运算结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 2．A 【分析】，则，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可. 【详解】令，则，由得， 所以. 故选：A. 3．AD 【分析】根据指对互化公式和指数的运算律即可求解. 【详解】因为正实数，满足，且， 所以，所以， 所以， 所以即解得或， 当时，当时， 故选：AD. 4．AB 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，. 故选：AB． 5． 1 0 【分析】由对数的定义，指对互化可得. 【详解】由已知且， 设，则，则，即； 设，则，则，即. 故答案为：； 6． 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 解题策略： (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·海南省·阶段练习）已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 二、多选题 3．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 5．（2023·四川宜宾·一模）计算: . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABC BCD 1．C 【分析】将代入分段函数的解析式计算即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：C. 2．D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 3．ABC 【解析】根据对数运算和指数函数的单调性判断选项. 【详解】A.，正确；B.根据函数是单调递增函数可知，故正确；C.根据指对恒等式可知，故正确；D.，故不正确. 故选：ABC 4．BCD 【分析】根据指数幂的运算性质，及指数式与对数式的互化进行计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D错误. 故选：BCD. 5． 【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即. 故答案为：. 6．e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【详解】解：， 所以． 故答案为：e． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）记某飞行器的最大速度，若不变，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 4．（24-25高三上·辽宁·开学考试）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知x＝log43，则下列计算正确的有（    ） A．4x＝3 B．2x＝ C．2－x＝ D．2x＋2－x＝1 6．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列计算正确的有（    ）． A． B． C． D． 7．（22-23高一上·广东广州·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数且的图像必过定点 B．若且，则 C．已知函数，则方程的实数解为 D．对任意，都有 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 9．（2024·四川自贡·三模）函数，则 . 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D D B ABC ABC AC 1．C 【分析】根据周期性把转化成计算即可. 【详解】因为函数的定义域为，对任意都有， 所以， 故选：C. 2．D 【分析】将表示为，分和分别讨论的单调性，从而得到结果. 【详解】因为，所以. 若，则，，所以是减函数， 因为，所以. 同理，若，则是增函数，因为，所以. 故选：D. 3．D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 4．B 【分析】利用偶函数性质以及函数在上单调递增即可判断得出结论. 【详解】易知，显然， 又因为在上单调递增，所以可得； 由偶函数性质可得， 即. 故选：B 5．ABC 【详解】因为x＝log43，所以4x＝3，故A正确；则22x＝(2x)2＝3，且2x＞0，所以2x＝，故B正确；2－x＝＝＝，故C正确；2x＋2－x＝＋＝，故D错误． 6．ABC 【分析】 根据指对互化，得，再根据指数运算判断其他选项. 【详解】因为，所以，故A正确； 则，且，所以，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 7．AC 【分析】令可判断A；当时可判断B；令可得，从而可判断C；当时可判断D. 【详解】对于A，令,可得,故函数的图象必过定点，故A正确； 对于B，若,函数单调递减，由 可得，故B错误； 对于C，令，可得,解得，故C正确； 对于D，当时，，所以,故D错误. 故选:AC. 8． ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 9．2 【分析】分和两种情况列方程求解即可. 【详解】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 10． 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 11．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高一上·浙江丽水·期末）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则 . 四、解答题 4．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 答案 C ABC 1．C 【分析】根据给定函数，探讨在时的性质，再结合性质求出函数值. 【详解】当时，，则， 因此当时，，显然， 所以 故选：C 2．ABC 【分析】令，，讨论根据的单调性确定大小关系. 【详解】令，则，，， 所以， 当时，，故B正确； 当时，由函数在上为增函数知，所以，故A正确； 当时，由函数在上为减函数知，所以，故C正确D不正确； 故选：ABC 3．1 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即，构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 4．(1)； (2)存在， 【分析】（1）根据函数是偶函数及即可求解； （2）根据函数的单调性，将问题转化为方程有两个不相等的正根，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 当时，，且， 所以，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 所以函数的解析式为. （2）假设存在正实数满足题意. 因为当时，， 所以函数在上是增函数， 所以，即， 所以是方程的两个不相等的正根， 所以，且， 所以,所以, 所以存在正实数，使得当时，函数的值域为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$