精品解析：江西省南昌市新民外语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023~2024学年下学期高一数学期中试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 对于，下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 已知，且， 则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多选题（共20分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 对于向量，若，则或 B. 若为单位向量，且，则 C. 若，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形 D. 四边形中， 12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系可能成立的是（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________． 14. 已知向量，的夹角是，若，，则_____． 15. 如图所示，在中，为边上的一点，且.若，则____. 16. 在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________． 四、解答题（共70分） 17. 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 18. 在平面直角坐标系中，点在角的终边上. （1）求的值： （2）求的值. 19. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 20. 已知向量，满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 21. 已知函数的部分图象如图． （1）求的表达式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 22. 如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点． （1）用和分别表示和； （2）若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年下学期高一数学期中试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】∵,∴,解得, ∴点的坐标是. 故选：D. 2. 对于，下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选:D. 3. 化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算即可求解. 【详解】对于①，,故①正确； 对于②，,故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，,故④正确. 故结果为零向量的个数是3. 故选:C. 4. 向量与的夹角为，，，在上投影数量为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影数量的概念计算即可. 【详解】在上投影数量为. 故选：D 5. 已知，且， 则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，利用数量积坐标运算即可得解. 【详解】由，得， 因为， 所以，解得. 故选：A. 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式得，再由余弦定理得． 【详解】解：∵的面积为，，， ∴由正弦定理的面积公式，得，即，解之得， 由余弦定理，得， ∴（舍负）， 故选：C． 7. 已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦型函数的图象变换、奇偶性、周期性进行求解. 【详解】由题知，把函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象． 因为为偶函数，所以，即． 又，所以． 因为的最小正周期为， 所以，即，解得． 所以， 所以． 故选：A． 8. 意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解. 【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积， 所以， 整理可得， 由此可推断出也可构成以下正三角形， 所以， 整理可得， 所以 故选：B 二、多选题（共20分） 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ABD 【解析】 【分析】判断出两向量是否共线，从而得到答案. 【详解】对于A，设，故，无解， 故与不共线，故可作为一组基底，故A正确； 对于B，设，故，无解， 和不共线，故可作为一组基底，故B正确； 对于C,，故和共线，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D，设，无解，故和不共线，故可作为一组基底，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列命题中，正确的命题为（ ） A. 对于向量，若，则或 B. 若为单位向量，且，则 C. 若，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形 D. 四边形中， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，直接判断即可 【详解】对于A，只是代表向量的模相等，向量的方向都可以是任意的，错误； 对于B，，则与方向相同或相反，则，正确； 对于C，，则必有，设，，则有，故，则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形，正确； 对于D，根据向量的平行四边形法，四边形中，因为，所以，，整理得，正确； 故选：BCD 12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系可能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理即可求得或，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以，因为，由正弦定理可得， 所以，因为，所以或， 当时，，所以是以为直角顶点的直角三角形， 所以，且，故CD正确； 当时，，所以，即为等腰三角形，所以，故A正确； 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由圆心角为，半径为1，通过弧长公式算出弧长，再根据周长等于二倍的半径加弧长可得答案. 【详解】根据弧长公式，可得弧长为，则扇形的周长为， 故答案为:4. 14. 已知向量，的夹角是，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值． 【详解】向量，的夹角是，，， 则， 则 ， 即有． 故答案为：2． 15. 如图所示，在中，为边上的一点，且.若，则____. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 故，所以. 故答案为：-3 16. 在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标表示及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，如图所示 由题意可知，设， 所以， 所以，， 由二次函数的性质知，当时，取最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共70分） 17. 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【小问1详解】 依题意，向量， ， . 【小问2详解】 由于， 所以. 18. 在平面直角坐标系中，点在角的终边上. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义可求得的值； （2）利用弦化切可得出所求代数式的值. 【小问1详解】 由于点在角的终边上，所以， 【小问2详解】 . 19. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解． 试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即. 又因为，所以. 因为为锐角三角形，所以. （2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式． 20. 已知向量，满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解； （2）利用数量积的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得， 若，则， 即，即，解得. 【小问2详解】 因为， 所以， 即与的夹角的余弦值为0. 21. 已知函数的部分图象如图． （1）求的表达式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数中可求出的值，从而可求出的表达式； （2）先由三角函数图象变换规律求出的解析式，令，，则将问题转化为与的图象在有两个不同的公共点，作出函数图象，利用图象求解即可. 【小问1详解】 函数的周期为，由图象可得，得 所以， 所以， 因为的图象经过点， 所以，解得，得， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：， 因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象， 所以， 因为关于的方程在上有两个不同的实数解， 所以在上有两个不同的实数解， 令，则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以只需与的图象在有两个不同的公共点， 作出在上的简图如下， 由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点， 所以实数的取值范围为 22. 如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点． （1）用和分别表示和； （2）若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意， ， ； 【小问2详解】 由， 得， ， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $