海南省海口市2024-—2025学年上学期九年级人教版数学期中考试预测卷

海南省海口市2024-2025年九年级上册人教版数学期中考试预测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（   ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 3．通过一元二次方程配方后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（   ） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 5．二次函数的图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 7．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 10．已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 11．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 12．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．方程的解是 ． 14．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 15．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 . 16．如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是 m． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． (2)画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； (3)画出与关于点成中心对称的图形． 19．若关于x的方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求实数m的值． 20．传统中秋节俗中保存最完整的是馈送月饼的节俗，月饼成为中秋佳节的象征，也是紫金人民最热爱的糕点之一．超市销售某品牌的月饼，平均每天可售出20盒，每盒盈利40元，临近中秋节，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2盒． (1)若降价8元，则平均每天销售数量为______盒； (2)为尽快减少库存，要使超市每天销售利润为1200元，每盒月饼应降价多少元？ 21．如图，在等边三角形中，是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D D B B A D C 题号 11 12 答案 B C 1．C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形．根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可求出答案． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2．C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③和④是一元二次方程， 故选：C． 3．A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 4．D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大；首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【详解】解：袋子中共有个球，其中红球个数最多， 从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大， 故选：D． 5．D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据顶点式可得顶点坐标为，即对称轴为，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴顶点坐标为， ∴对称轴为， 故选：D ． 6．B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、方程的解 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】①当时，，解得： ②当时，关于x的方程有实数根 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 7．B 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 8．A 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 则， 解得，． 故选：A． 9．D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化成顶点式，再根据图象平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】解：化为顶点式为， ∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴，即． 故选：D． 10．C 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 11．B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 12．C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 13． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 14．/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 15． 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，先根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．10 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设，则：，由题意，得： ， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去 当时，，符合题意； 故的长度是； 故答案为：10 17．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）用十字相乘法将原方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可； （2）移项后，利用提公因式法将方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 18．(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【知识点】由平移方式确定点的坐标、画旋转图形、平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（）根据平移方式，横坐标加，纵坐标减计算即可求解； （）根据题意画出绕点顺时针旋转后得到； （）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出的三个顶点，再画出即可； 本题考查了直角坐标系中的平移问题，旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，掌握点的平移规律、旋转作图与中心对称作图是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：点先向下平移格，再向右平移格， ∵ ∴，即， 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）∵与关于点成中心对称的图形，，， ∴，，， ∴即为所求． 19．(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是： （1）由方程有两个实数根，得到，解不等式即可得到答案； （2）根据，得出方程有两个相等的实数根，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 20．(1) (2)元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价每降低元，平均每天可多售出盒，可得降价元，则平均每天可多售出盒，即平均每天销售数量为盒； （2）设每盒月饼降价x元，则每天可售出盒，每盒利润元，根据总利润每盒利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得出结论． 【详解】（1）解：当降价8元，平均每天销售数量为盒， 故答案为：； （2）解：设，每盒月饼应降价元， ， 解得：，， 又∵尽快减少库存， ∴， 答：每盒月饼应降价元． 21．(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（）由旋转性质可知：，，根据是等边三角形得，，证明即可； （）由旋转性质可得，再证明是等边三角形，则有，再由周长公式即可求解； 本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转性质可知：，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵可由逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 22．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）； （3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）， 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式； （2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； （3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=- x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=- x+3，再解方程组 得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标． 【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得， ∴直线AC的解析式为y=3x+3； （2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）， 作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′， ∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变， ∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在． 过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把C（0，3）代入得b=3， ∴直线PC的解析式为y=﹣x+3， 解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）； 过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣， ∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣， 解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）. 综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$