2.5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0 （a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0） b2－ 4ac ＞0 有 ⁠ ⁠实数根 抛物线与x轴有 ⁠交 点，交点的 ⁠是一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根x1与x2 两个不相等 的　 两个　 横坐标　 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0 （a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0） b2－ 4ac ＝0 有 ⁠ 实数根 抛物线与x轴有且只有 ⁠ 交点（顶点）（即顶点 在x轴上） 两个相等的　 一 个　 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0 （a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0） b2－ 4ac ＜0 ⁠ 抛物线与x轴 ⁠交点 无实数根 没有　 注意：（1）抛物线与一元二次方程是有密切联系的， 方程ax2＋bx＋c＝0的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与 x轴的交点的横坐标，即若一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的 两个交点坐标分别是（x1，0），（x2，0）. （2）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m有交 点，则交点坐标就是方程组的解.反 之，若方程组有实数解，则两函数y ＝ax2＋bx＋c，y＝kx＋m的图象有交点；若无实数 解，则没有交点. 题型一　二次函数与一元二次方程的关系 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象， 根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个 实数根； （2）写出y的值随x的值的增大而减小 时自变量x的取值范围； （3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根， 求k的取值范围. [分析] （1）根据函数与方程的关系，函数图象与x轴 的两个交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的两个 实数根； 解：（1）由图象可知，方程的两个实数 根为x1＝1，x2＝3. （2）根据函数图象可知，在对称轴的右侧，y的值随x 的值的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取 值范围； 解：（2）由图象可知，当x＞2时， y的值随x的值的增大而减小. （3）方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，即 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝k有两个交 点，据此即可直接写出k的取值范围. 解：（3）由图象可知，k的取值范围 是k＜2. 跟踪训练 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常 数）的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝m有实数 根的条件是（　A　） A. m≥－4 B. m≥0 C. m≥5 D. m≥6 （第1题） A 2. （1）若二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两 个交点，则k的取值范围是 ⁠； （2）若关于x的函数y＝kx2＋2x－ 与x轴仅有一个 交点，则实数k的值为 ⁠； （3）若二次函数y＝mx2＋（m－2）x＋m的顶点在x 轴上，则m＝ ⁠； k＞－1　 0或－ 　 －2或 　 （4）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部 分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解 集是 ⁠. [第2（4）题] －1＜x＜3　 题型二　抛物线与一次函数图象的交点 如图，直线y＝－2x＋8与x轴交于点A，与y轴交 于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A和点B. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）把x＝0代入y＝－2x＋8，得y＝8， ∴点B的坐标为（0，8）. 把y＝0代入y＝－2x＋8，得0＝－2x＋8， 解得x＝4，∴点A的坐标为（4，0）. 将（0，8），（4，0）代入y＝x2＋bx＋c 中，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋8. （2）结合图象直接写出不等式x2＋bx＋c＞－2x＋8的 解集； 解：（2）由图象可得，不等式x2＋bx＋c＞ －2x＋8的解集为x＜0或x＞4. （3）若点C（1，y1），D（m，y2）都在抛物线上， 当y2＞y1时，求m的取值范围. 解：（3）∵y＝x2－6x＋8， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝3. ∴点C（1，y1）关于对称轴的对称点C'的坐 标为（5，y1）. ∵抛物线开口向上， ∴当y2＞y1时，m＜1或m＞5. 跟踪训练 3. 如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于 A（－1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式 mx＋n＜ax2＋bx＋c解集是 ⁠. （第3题） －1＜x＜5　 4. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一 次函数y＝2x－m，将该二次函数在 x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下 方，图象的其余部分不变，得到一个 新函数的图象（如图所示），当直线 y＝2x－m与新函数图象有4个交点 时，m的取值范围是 ⁠. 6＜ m＜ 　 （第4题） $$