2.3　确定二次函数的表达式 第2课时　由三点确定二次函数的表达式 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 3　确定二次函数的表达式 第2课时　由三点确定二次函数的表达式 二次函数的表达式有三种基本形式 一 般 式 （a，b，c为常数，且 a≠0） 顶 点 式 （a≠0），其中 点 为顶点坐标，对称轴为直线 ⁠ ⁠ y＝ax2＋bx＋c　 y＝a（x－h）2＋k　 （h，k）　 x ＝h　 交 点 式 （a≠0），其中 x1，x2是抛物线与x轴的交点的 ⁠ y＝a（x－x1）（x－x2）　 横坐标　 注意：求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根 据不同条件，设出恰当的表达式： （1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，通常 可设顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）； （3）若给出抛物线与x轴的交点、对称轴或与x轴的交 点间的距离，通常可设交点式y＝a（x－x1）（x－ x2）（a≠0）. 题型一　确定二次函数的表达式 根据下列条件，分别求二次函数的表达式. （1）图象经过A（1，3），B（－2，12），C（－1， 5）三点； 解：（1）设所求函数表达式为y＝ax2＋bx＋c. ∴解得 ∴所求函数表达式为y＝2x2－x＋2. （2）图象经过点A（1，0），B（0，－3），且对称 轴是直线x＝2； 解：（2）设所求函数表达式为y＝a（x－2）2＋k. 将点A（1，0），B（0，－3）分别代入表达式中， 得解得 ∴所求函数表达式为y＝－（x－2）2＋1＝－x2＋4x －3. （3）图象经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3） 三点. 解：（3）设所求函数表达式为y＝a（x＋1）（x－ 3）， 将点C（0，3）代入表达式中，得 3＝a×（0＋1）×（0－3），解得a＝－1. ∴所求函数表达式为y＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋ 2x＋3. 跟踪训练 1. （1）经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3） 三点的抛物线的表达式是 ⁠； （2）已知抛物线y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c 等于 ⁠； y＝－ x2＋ x＋3　 16　 （3）在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x 的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y … 12 5 0 －3 －4 －3 0 m … 　 其中m的值是 ⁠. 5　 2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B， C三点. （1）观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛 物线的函数表达式； 解：（1）点A（－1，0），B（0， －3），C（4，5）. 把A，B，C三点的坐标分别代入，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－ 3. （第2题） （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴； 解：（2）∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2 －4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，－4），对 称轴为直线x＝1. （第2题） （3）观察图象，当x分别取何值时，y＜0、y＝0、y ＞0？ 解：（3）由对称性可知，抛物线与x轴 的另一个交点为（3，0）.观察图象，可 得当－1＜x＜3时，y＜0； 当x＝－1或3时，y＝0； 当x＜－1或x＞3时，y＞0. （第2题） 题型二　二次函数表达式与几何变换 将二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象. （1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 后得到的抛物线的表达式为 ⁠； （2）绕它的顶点旋转180°后所得抛物线的表达式 为 ⁠； （3）绕原点旋转180°后所得抛物线的表达式为 ⁠ ⁠； y＝－x2＋8x－16　 y＝x2－2x＋3　 y＝ x2＋2x－1　 （4）关于x轴对称的抛物线的表达式为 ⁠ ⁠； （5）沿y轴翻折后所得抛物线的表达式为 ⁠ ⁠. y＝x2－2x－ 1　 y＝－x2－ 2x＋1　 [分析] 二次函数图象的三大变换都可以先化为顶点式再 进行处理： （1）先化成顶点式，根据“上加下减，左加右减”的 原则进行解答即可； （2）先化成顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大 小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据 此求解； （3）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵 坐标互为相反数得出新抛物线的顶点坐标，进而得出新 抛物线的表达式； （4）利用关于x轴对称的点的坐标性质得出新抛物线的 顶点坐标，进而得出新的抛物线表达式； （5）利用关于y轴对称的点的坐标性质得出新抛物线的 顶点坐标，进而得出新的抛物线表达式. 跟踪训练 3. 将抛物线y＝（x－2）（x－4）先绕坐标原点O旋 转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达 式为（　C　） A. y＝x2＋10x＋24 B. y＝－x2－10x－24 C. y＝－x2－2x D. y＝x2＋2x C 4. 二次函数y＝x2－2x－3关于x轴对称的函数图象的 表达式为 ⁠. y＝－x2＋2x＋3　 题型三　二次函数与几何综合 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋ bx＋2与x轴交于点A（－1，0），B（2，0），与y轴 上方交于点C，点F是抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋2 （a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B （2，0）， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. （2）当点F在第一象限运动时，过点F作FH∥AC交 BC于点H，求FH的最大值； 解：（2）如答案图1，连接BC，过点F作 FN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点H作 HK⊥FN于点K. （答案图1） （答案图1） ∵易知点C（0，2）， ∴OB＝OC＝2， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. 易得直线BC的解析式为y＝－x＋2. 设点F（x，－x2＋x＋2），其中0＜x＜2，则点M（x，－x＋2）， ∴FM＝（－x2＋x＋2）－（－x＋2）＝－x2＋2x. ∵AC∥HF，OC∥FN， ∴∠HFK＝∠ACO， ∴tan∠HFK＝tan∠ACO＝ ， ∴FK＝2HK，∴FH＝ HK， ∴当HK的值最大时，FH的值最大. （答案图1） 易知∠HMK＝∠BMN＝∠BCO＝45°， ∴HK＝KM. ∴FM＝3HK， ∴HK＝ FM＝ （－x2＋2x）＝ － （x－1）2＋ .∵－ ＜0，0＜x＜2， ∴当x＝1时，HK有最大值为 ，此时FH有最大值为 . （答案图1） （3）过点F作FE⊥x轴交直线BC于点D，交x轴于点 E. 若∠FCD＋∠ACO＝45°，求点F的坐标. 解：（3）易知点F在y轴右侧. ①如答案图2，当点F在直线BC上方时，延长射线CF交x轴于点N. （答案图2） 由（2）知，∠BCO＝∠OBC＝45°. ∵∠FCD＋∠ACO＝45°， ∠OBC＝∠FCD＋∠BNC＝45°， ∴∠ACO＝∠BNC， ∴tan∠CNO＝tan∠ACO＝ . ∴ON＝2OC＝4，∴N（4，0）. （答案图2） 解得x1＝0（舍去），x2＝ ， ∴点F的坐标是 ； 易得直线CN的解析式为y＝－ x＋2. 令－ x＋2＝－x2＋x＋2， （答案图2） ②如答案图3，当点F在直线BC下方时，设CF交x轴于 点Q. （答案图3） ∵∠FCD＋∠ACO＝45°， ∠OCB＝∠FCO＋∠FCD＝45°， ∴∠ACO＝∠FCO， ∴△AQC是等腰三角形，CO平分∠ACQ， ∴OQ＝OA＝1，∴Q（1，0）. 易得直线CQ的解析式为y＝－2x＋2. 令－2x＋2＝－x2＋x＋2， 解得x1＝0（舍去），x2＝3， ∴点F的坐标是（3，－4）. 综上所述，点F的坐标是 或（3，－4）. （答案图3） 跟踪训练 5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，且AC＝ ，OB＝OC ＝3OA. （1）求抛物线的表达式； （第5题） 解：（1）∵OB＝OC＝3OA，AC＝ ， ∴OA＝1，OC＝OB＝3， ∴A（1，0），B（－3，0），C（0，3）. 将A，B，C三点代入y＝ax2＋bx＋c中， 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. （第5题） （2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形 PBAC的面积最大，求出四边形PBAC面积的最大值， 并求出此时点P的坐标. 解：（2）如答案图，S四边形PBAC＝S△ABC＋ S△PBC. ∵S△ABC为定值，为6， ∴S△PBC最大时，S四边形PBAC最大. （答案图） （答案图） 过点P作y轴的平行线交BC于点H. ∵B（－3，0），C（0，3）， ∴直线BC的表达式为y＝x＋3. 设点P（m，－m2－2m＋3）， 则点H（m，m＋3），其中－3＜m＜0. ∴S△PBC＝ PH·OB＝－ m2－ m ＝－ ＋ . ∵－ ＜0，－3＜m＜0， ∴当m＝－ 时，S△PBC最大， 即S四边形PBAC最大，最大 值为 ，此时点P . （答案图） $$