2.2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 我们可以用配方法将y＝ax2＋bx＋c化为y＝a ＋ ，其中－ ， 与y＝a（x－h）2＋ k中的h，k对应，因此可以由y＝a（x－h）2＋k的性 质得到y＝ax2＋bx＋c的性质，如下表： 函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c （a＜0） 开口 方向 ⁠ ⁠ 对称轴 直线 ⁠ 向上 向下 x＝－ 　 函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c （a＜0） 顶点 坐标 ⁠ 最值 当x＝－ 时， 最 值为 当x＝－ 时， 最 值为 小　 大　 函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c （a＜0） 增减性 当x＜－ 时（对称 轴左侧），y的值随 x的值的增大而 ⁠ ⁠；当x＞－ 时（对称轴右侧），y的值随x的值的增大而 ⁠ ⁠ 当x＜－ 时（对称轴左 侧），y的值随x的值的 增大而 ⁠； 当x＞－ 时（对称轴右 侧），y的值随x的值的 增大而 ⁠ 减 小　 增大 增大　 减小　 注意：（1）探究一般式y＝ax2＋bx＋c的性质往往是 化成顶点式来研究，注意配方的熟练运用. （2）一般式的顶点坐标公式要熟练记忆. （3）画出二次函数大致图象时一般要求出与坐标轴的 交点、对称轴及顶点坐标. （4）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把 两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即 可比较大小.一定记住：若a＞0，越靠近对称轴，y的 值越小；若a＜0，越靠近对称轴，y的值越大. 题型一　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 已知二次函数y＝x2＋x－6，请回答下列问题： （1）将它配方化为y＝a（x－h）2＋k的形式； 解：（1）y＝ － . （2）写出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴 和函数的最值； 解：（2）该函数图象的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线x＝－ ，该函数有最小值为－ . （3）画出函数y＝x2＋x－6的大致图象； 解：（3）函数y＝x2＋x－6的大致图象如答案图： （答案图） （4）根据图象回答：当x 时，y的值随x的值 的增大而增大；当x 时，y＞0；当－3 ＜x≤2时，y的取值范围是 ⁠. ＞－ 　 ＜－3或x＞2　 － ≤y≤0　 （1）若点A（－1，y1），B（2，y2），C（3， y3）在抛物线y＝－2x2＋8x＋c的图象上，则y1，y2， y3的大小关系是（　C　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2 （2）把二次函数y＝ x2＋3x＋ 的图象向右平移2个单 位长度后，再向上平移3个单位长度，所得函数图象的 顶点坐标是 ⁠. C （－1，1）　 跟踪训练 1. 已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞ 0，c＞0，则该函数的图象可能为（　C　） A B C C D 2. （1）抛物线y＝x2＋4x＋5的顶点坐标是 ⁠ ，对称轴是 ⁠； （2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上部分点的坐 标（x，y）的对应值如表所示： x … 0 1 2 … y … －3 －4 －3 … 则b的值为 ⁠； （－2， 1）　 直线x＝－2　 －2　 （3）将抛物线y＝x2－2x＋1向下平移2个单位长度， 再向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是 ⁠ ⁠. y ＝x2－2　 3. 已知二次函数y＝－ x2＋2x＋6，请回答下列问题： （第3题） （1）把它配方成y＝a（x－h）2＋k的形式，写出该 函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）作出 函数y＝－ x2＋2x＋6的图象； 解：（1）y＝－ （x－2）2＋8，该函数图象的开口向 下，顶点坐标为（2，8），对称轴为直线x＝2. （2）作图略. （3）该函数与x轴的交点坐标为 ⁠ 和 ，与y轴的交点坐标为 ⁠； （4）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ；当0 ＜y＜6时，x的取值范围是 ⁠. （－2，0）　 （6，0）　 （0，6）　 6＜y≤8　 －2＜x＜0或4＜x＜6　 题型二　二次函数综合 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）和 B（0，3），与x轴负半轴交于点C，D是抛物线上的 动点. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代 入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. （2）过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接 BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的 坐标. 解：（2）易知OA＝OB＝3，∴AB＝3 ， ∠BAO＝45°.∵DF⊥AB，∴EF＝AE. ∵S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝ .∴AF＝2. ∴点F（1，0）.∴点E（2，1）. ∴直线DF的表达式为y＝x－1. 联立方程组 解得或 ∵点D在第一象限， ∴点D . 跟踪训练 4. 如图，抛物线y＝－ x2平移后经过原点O和点A （6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛 物线y＝－ x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物 线围成的阴影部分的面积为（　C　） A. B. 12 C. D. 15 （第4题） C 5. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 6 m；则当水面下降 m时，水面宽8 m. （第5题） 　 $$