2.2　二次函数的图象与性质 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2， y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 1. 二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质 函数 y＝a（x－h）2（a ＞0） y＝a（x－h）2（a＜ 0） 大致图象 h＞0 h＜0 函数 y＝a（x－h）2（a ＞0） y＝a（x－h）2（a＜ 0） 开口方向 ⁠ ⁠ 顶点坐标 ⁠ 对称轴 ⁠ 最值 当x＝h时， 最 值为0 当x＝h时， 最 值为0 向上 向下 （h，0） 直线x＝h 小　 大　 函数 y＝a（x－h）2（a ＞0） y＝a（x－h）2（a＜ 0） 增减性 x＜h时，y的值随x 值的增大而 ⁠ ⁠； x＞h时，y的值随x 值的增大而 ⁠ x＜h时，y的值随x值 的增大而 ⁠； x＞h时，y的值随x值 的增大而 ⁠ 减 小　 增大　 增大　 减小　 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质 函数 y＝a（x－h）2 ＋k（a＞0） y＝a（x－h）2＋k（a＜ 0） 开口方向 ⁠ ⁠ 对称轴 直线 ⁠ 顶点坐标 ⁠ 最值 当x＝h时， 最 值为k 当x＝h时， 最 值为k 向上 向下 x＝h　 （h，k） 小　 大　 函数 y＝a（x－h）2 ＋k（a＞0） y＝a（x－h）2＋k（a＜ 0） 增减性 x＜h时，y的值 随x值的增大 而 ⁠； x＞h时，y的值 随x值的增大 而 ⁠ x＜h时，y的值随x值的 增大而 ⁠； x＞h时，y的值随x值的 增大而 ⁠ 减小　 增大　 增大　 减小　 注意：当k＝0时，上表就是y＝a（x－h）2（a≠0） 的性质. 3. 二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2的图象的关系 形状 ，开口方向 ⁠. 只要把y＝ax2的图象向左（h＜0）或向右（h＞0）平 移 个单位长度，就可以得到y＝a（x－h）2的图象. 相同　 相同　 4. 二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2＋k的图象的关系 形状 ，开口方向 ⁠. 只要把y＝ax2的图象向右（或向左）平移 个单位长 度，再向上（或向下）平移 个单位长度就可以得到y ＝a（x－h）2＋k的图象. 相同　 相同　 注意：（1）事实上，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2，y ＝a（x－h）2＋k的图象均可通过平移二次函数y＝ ax2的图象得到.平移的规律可总结为“左加右减自变 量，上加下减常数项”. （2）由于从y＝a（x－h）2＋k中可以直接看出抛物 线的顶点坐标，所以通常把y＝a（x－h）2＋k叫做二 次函数的顶点式. 题型一　二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝（x－ 1）2与y＝（x＋1）2的图象，并指出图象间的关系. 解：图象如图所示，关系：函数y＝x2的图象向右平移1 个单位长度得到函数y＝（x－1）2的图象；函数y＝x2 的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）2的 图象. （1）抛物线y＝－ （x＋1）2可以看作由y＝－ x2 向 平移 个单位长度形成的； （2）抛物线y＝－ （x－1）2可以看作由y＝－ x2 向 平移 个单位长度形成的； 左　 1　 右　 1　 （3）抛物线y＝2（x＋3）2的开口 ；顶点坐标 为 ；对称轴是直线 ；当 x 时，y的值随x的值的增大而减小；当x ⁠ 时，y的值随x的值的增大而增大； （4）抛物线y＝－2（x－1）2的开口 ；顶点坐 标为 ；对称轴是直线 ；当x ⁠ 时，y的值随x的值的增大而减小；当x 时， y的值随x的值的增大而增大. 向上　 （－3，0）　 x＝－3　 ＜－3　 ＞ －3　 向下　 （1，0）　 x＝1　 ＞ 1　 ＜1　 跟踪训练 1. 关于抛物线y＝（x－1）2，下列说法错误的是 （　B　） A. 开口向上 B. 当x＞1时，y的值随x的值的增大而减小 C. 对称轴是直线x＝1 D. 顶点坐标为（1，0） B 2. 抛物线y＝3（x＋5）2的开口向 ，顶点坐标 为 ；当x＝ 时，y有最 ⁠ 值，为 ⁠. 上　 （－5，0）　 －5　 小　 0　 题型二　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 请直接指出下列函数的图象特征. 函数 y＝2（x－2）2－1 y＝－（x＋1）2＋1 开口 方向 ⁠ ⁠ 顶点 坐标 ⁠ ⁠ 对称 轴 直线 ⁠ 直线 ⁠ 向上 向下 （2，－1） （－1，1） x＝2　 x＝－1　 函数 y＝2（x－2）2－1 y＝－（x＋1）2＋1 增减 性 当 时，y的 值随x的值的增大而 增大；当 ⁠ 时，y的值随x的值的 增大而减小 当 时，y的值 随x的值的增大而减小； 当 时，y的值 随x的值的增大而增大 最值 当 时，y有 最小值为－1 当 时，y有最 大值为1 x＞2　 x＜2　 x＞－1　 x＜－1　 x＝2　 x＝－1　 （1）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再 向上平移4个单位长度，得到的抛物线是（　A　） A. y＝（x－3）2＋4 B. y＝（x＋3）2＋4 C. y＝（x－3）2－4 D. y＝（x＋3）2－4 （2）若点A（m－3，y1），B（m，y2），C（m＋ 4，y3）都在二次函数y＝（x－m）2＋1（m为常数） 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ⁠. （用“＞”号连接起来） A y3＞y1＞y2　 跟踪训练 3. 下列关于抛物线y＝－（x－1）2＋2的说法，不正确 的是（　D　） A. 开口向下 B. 顶点在第一象限 C. 对称轴是直线x＝1 D. 当x＜1时，y的值随x的值的增大而减小 D 4. 如图，二次函数的图象是由y＝－x2向右平移1个单 位长度，再向上平移4个单位长度得到的，这时图象与x 轴的交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴交于 点C. （1）求二次函数的表达式； （第4题） 解：（1）抛物线y＝－x2向右平移1个 单位长度再向上平移4个单位长度后所 得抛物线的表达式为y＝－（x－1）2 ＋4. （第4题） （2）若P是抛物线的对称轴l上一动点，求使AP＋CP 最小的点P的坐标.　　 解：（2）当y＝0时，则－（x－1）2 ＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴点A（－1，0），点B（3，0）. 当x＝0时，y＝－（x－1）2＋4＝－1 ＋4＝3， ∴点C（0，3）. （第4题） 易得抛物线y＝－（x－1）2＋4的对称轴l为直线x＝ 1，点A与点B关于直线x＝1对称. 如答案图，连接BC交直线x＝1于点P， 则PA＝PB， （答案图） ∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC. ∴此时AP＋CP的值最小. 设直线BC的表达式为y＝kx＋b. 把B（3，0），C（0，3）分别代入，得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－1＋3＝2， ∴点P的坐标为（1，2）. （答案图） $$