2.2　二次函数的图象与性质 第2课时　二次函数y＝ax²＋c的图象与性质 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第2课时　二次函数y＝ax2＋c的图象与性质 1. 把抛物线y＝ax2向上平移c（c＞0）个单位长度，就 得到抛物线 ；向下平移c（c＞0）个单 位长度，就得到抛物线 ⁠. 2. 类比y＝ax2与y＝ax2＋c的性质： y＝ax2＋c　 y＝ax2－c　 2. 类比y＝ax2与y＝ax2＋c的性质： 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c 开口 方向 a＞0 ⁠ a＞0 ⁠ a＜0 ⁠ a＜0 ⁠ 顶点 （0，0） ⁠ 对称轴 y轴（或直线x＝0） y轴（或直线x＝0） 向上 向上 向下 向下 （0，c） 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c 有最高 （低） 点 a＞0 有 ⁠点 a＞0 有 ⁠点 有最高 （低） 点 a＜0 有 ⁠点 a＜0 有 ⁠点 最低　 最低　 最高　 最高　 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c 最大 （小） 值 a＞0 最 ⁠值为 0 a＞0 最 值为 c a＜0 最 ⁠值为 0 a＜0 最 值为 c 小　 小　 大　 大　 增减性 a＞0 当 时，y的值随x值的增大 而增大； 当 时，y的值随x值的增大 而减小 增减性 a＜0 当 时，y的值随x值的增大 而减小； 当 时，y的值随x值的增大 而增大 x＞0　 x＜0　 x＞0　 x＜0　 注意：（1）二次函数y＝ax2（a≠0）与y＝ax2＋c （a≠0） 的图象的形状相同，开口方向相同，对称轴 相同，只是顶点坐标不同. （2）对于抛物线y＝ax2＋c（a≠0），当｜a｜相同 时，图象的形状和大小完全相同，只是在位置上不同. （3）对于增减性记住一个重要结论：当a＞0时，越靠 近对称轴，y值越小；当a＜0时，越靠近对称轴，y值 越大. 3. 求函数与两坐标轴的交点坐标：与x轴相交，令y＝ 0；与y轴相交，令x＝0. 题型一　y＝ax2＋c的图象与性质 已知函数y＝－ x2，y＝－ x2＋3和y＝－ x2－1. （1）分别画出它们的图象； 解：（1）如答案图所示. （答案图） （2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：（2）它们图象的开口都向下，对称轴都为y轴，顶 点坐标分别为（0，0），（0，3），（0，－1）. （3）试说明函数y＝－ x2＋3，y＝－ x2－1的图象分 别由抛物线y＝－ x2作怎样的平移才能得到. 解：（3）函数y＝－ x2＋3的图象由抛物线y＝－ x2 向上平移3个单位长度得到，函数y＝－ x2－1的图象由 抛物线y＝－ x2向下平移1个单位长度得到. （1）抛物线y＝ x2－4可由抛物线y＝ x2沿 ⁠ 轴向 平移 个单位长度得到，它的开口方向 向 ，顶点坐标是 ，对称轴 是 轴，当 时，y有最 值为 ，当 时，y的值随x值的增大而增大， 当 时，y的值随x值的增大而减小； y　 下　 4　 上　 （0，－4）　 y　 x＝0　 小　 －4　 x＞0　 x＜0　 （2）抛物线y＝ax2＋b的形状与函数y＝2x2的图象的 形状相同，开口方向相反，与y轴交于点（0，－2）， 则该抛物线的表达式为 ⁠； y＝－2x2－2　 （3）已知点（－9，y1），（4，y2），（－2，y3）都 在抛物线y＝ax2＋m（a＞0）上，则（　C　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 C [结论] 开口向上的抛物线越靠近对称轴的点，函数值越 小，反之越大；开口向下的抛物线越靠近对称轴的点， 函数值越大，反之越小. 跟踪训练 1. 抛物线y＝ x2与抛物线y＝－ x2＋2的相同点是 （　B　） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 顶点都在x轴上 B 2. 若抛物线y＝x2＋3上有三点A（1，y1），B（5， y2），C（－2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 （　B　） A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1 B 3. （1）要由抛物线y＝2x2变换得到抛物线y＝2x2＋ 1，只需将抛物线y＝2x2沿y轴向 平移 ⁠个单 位长度； （2）把抛物线y＝ax2＋c向上平移3个单位长度，得到 抛物线y＝－4x2，则a＝ ，c＝ ⁠. 上　 1　 －4　 －3　 4. 如图，二次函数y＝－ x2＋2的图象与x轴、y轴分 别交于点A，B，C. （1）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； 解：（1）抛物线的顶点坐标为（0，2）， 对称轴为y轴. （第4题） （2）若y的值随x的值的增大而减小，求x的取值范 围； 解：（2）由图象可知，若y的值随x的值 的增大而减小， 则x＞0. （第4题） （3）求△ABC的面积. 解：（3）令y＝0，即－ x2＋2＝0， 解得x1＝－2，x2＝2. ∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为 （2，0）. ∴AB＝2－（－2）＝4. 由（1）知，点C（0，2），则OC＝2， ∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×2＝4. （第4题） 题型二　二次函数综合 如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0，c＞0）交y轴于 点C，直线AB与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点 D（0，d）. （1）若d＝4，点A（－1，3）， 且满足BD＝2AD，求点B的坐标； 解：（1）如答案图，过点A作AF⊥y轴于 点F，过点B作BG⊥y轴于点G. （答案图） ∴AF∥BG. ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵点A（－1，3），∴AF＝1，OF＝3. ∴BG＝2AF＝2. ∵d＝4，点D（0，d），∴OD＝4. ∴DF＝OD－OF＝1.∴DG＝2DF＝2. ∴OG＝OD＋DG＝6. ∴点B的坐标为（2，6）. （2）在（1）的条件下，作BE⊥x轴，交x轴于点E， 试说明点A，C，E在同一条直线上. 解：（2）将点A（－1，3），B（2，6）代 入y＝ax2＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2. 令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2）. ∵BE⊥x轴，点B（2，6），∴点E（2， 0）. ∴直线AE的表达式为y＝－x＋2. 令x＝0，则y＝2， ∴直线AE与y轴交于点（0，2）. ∴点C在直线AE上. ∴点A，C，E在同一条直线上. 跟踪训练 5. 已知抛物线y＝ x2＋1（如图所示）. （第5题） （1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ⁠）， 对称轴是 ；（2）已知y轴上一 点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴， 垂足为B，若△PAB是等边三角形，求点P的坐标. 解：（2）如答案图. 0　 1　 y轴（或直线x＝0）　 （答案图） ∵△PAB是等边三角形，PB⊥x轴， ∴∠ABO＝90°－60°＝30°. ∴AB＝2OA＝4.∴PB＝4. 把y＝4代入y＝ x2＋1中，得x＝±2 . ∴点P的坐标为（2 ，4）或（－2 ，4）. （答案图） $$