2.5　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数图象求方程近似根 课件 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

第二章　二次函数 5　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数图象求方程近似根 1. 用图象法求一元二次方程的近似根 方 法 一 直接作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图 象与x轴的交点的 就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根 方 法 二 先将一元二次方程变为ax2＋bx＝－c，再在同一 平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2＋bx和直线 y＝－c，则两图象交点的 就是方程 ax2＋bx＋c＝0的根 横坐标　 横坐标　 方 法 三 先将一元二次方程化为x2＋ x＋ ＝0，移项后， 得x2＝－ x－ ，再在同一平面直角坐标系中画 出抛物线y＝x2和直线y＝－ x－ ，则两图象交 点的 就是方程ax2＋bx＋c＝0的根 横坐标　 2. 用图象法求一元二次方程的近似根的基本步骤 （1）画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； （2）确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之 间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值，进行估计. 在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换 的位置，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两值由 负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必 有一个近似根. 题型一　利用二次函数图象求方程近似根 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3 ＝－8的近似根. 解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如答案图所示. （答案图） 由图象可知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标.一个交点的横坐标在－1和－2之间，另一个交点的横坐标在3和4之间. （答案图） ①先求－1与－2之间的根，利用计算器进行探索： x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 因此，x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似 根. ②另一个根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 因此，x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似 根. ∴一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根为 x1≈－1.4，x2≈3.4. 现在我们用求根公式来验证一下. 对于方程－x2＋2x－3＝－8， 整理，得x2－2x－5＝0. 解得x＝ ＝1± . ∴x1＝1－ ≈－1.4，x2＝1＋ ≈3.4. ∴利用图象法求得方程－x2＋2x－3＝－8的近似根x1≈ －1.4，x2≈3.4是完全正确的. 跟踪训练 1. 根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数值y的部分对应 值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围是 （　C　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c －0.11 －0.04 0.01 0.04 A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 C 2. 如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图象，由图象 可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能 是 .（精确到0.1） （第2题） x1＝0.8，x2＝3.2（合理即可）　 题型二　抛物线的对称性运用 （1）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图 象与x轴的一个交点是（－2，0），顶点是（1，3）， 下列说法中不正确的是（　C　） 图1 C A. 抛物线的对称轴是直线x＝1 B. 抛物线的开口向下 C. 抛物线与x轴的另一交点是（2，0） D. 当x＝1时，y有最大值是3 （2）已知二次函数y＝2x2－8x＋6的图象交x轴于A， B两点.若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足 ＝ ＝ ＝m，则m的值是 （　C　） A. 1 B. C. 2 D. 4 C [分析] （2）由已知条件可判定三点中必有一点在二次 函数y＝2x2－8x＋6的顶点上，通过求解二次函数的顶 点坐标及与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式 可求解m值. （3）如图2，抛物线y＝x2－2mx＋2m－1与x轴交于 A，B两点，且点A，B都在原点右侧，抛物线的顶点 为点P，当△ABP为直角三角形时，m的值为 ⁠. 2　 图2 [归纳总结] 抛物线的对称性主要注意以下三点： （1）若抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2， 0），则对称轴为直线x＝ ； （2）若抛物线图象上有两点M（x1，m），N（x2， m），则对称轴为直线x＝ ； （3）若抛物线图象上有两点的纵坐标相同，则这两点 到对称轴的距离相等. 跟踪训练 3. （1）已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0）， 若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的 值为 ⁠； （2）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线 x＝2，且经过点（3，0），则a＋b＋c的值为 ⁠. 4. 已知抛物线与x轴两交点间的距离为4，顶点为（3， －2），则抛物线的函数表达式为 ⁠. 2　 0　 y＝ x2－3x＋ 　 $$