双曲线及其性质的综合 期中基础复习专题练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2024-2025期中基础复习专题练 双曲线及其性质的综合 一、双曲线的定义与方程 1.双曲线的定义 一般地,平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线(如图所示). (1)两个定点叫做双曲线的焦点; (2)叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的渐近线 如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为曲线的渐近线。 双曲线的渐近线与双曲线永不相交 双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数 双曲线的渐近线方 程为,双曲线的 渐近线方程为. 4.双曲线的离心率 (1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用表示,即. (2)的几何意义:是表示双曲线张口大小的一个量,越大,张口越大. (3)的范围: . 5.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为,其中离心率,渐近线方程为,它们互相垂直 6.共轭双曲线 若一个双曲线的实轴和虚轴分别是另一个双曲线的虚轴和实轴,则这两个双曲线是共轭的,其中一个双曲线是另一个双曲线的共轭双曲线,双曲线的共轭双曲线方程为 ,它们有共同的渐近线,其方程为,它们的离心率满足关系式. 7.双曲线求标准方程常见结论 (1)与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为; (2)若双曲线的渐近线方程是,则双曲线的方程可设为; (3)与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为; (4)过两个已知点的双曲线的方程可设为; (5)与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可设为. 二、双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 三、双曲线拓展性质及常见重要结论 1. 双曲线的第二定义 平面内到定点的距离与到定直线(定点在定直线外)的距离之比为常数(其中)的点的轨迹是双曲线.常数是双曲线的离心率.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线相应于定点的准线. (1)对于双曲线,左焦点对应的准线方程为;右焦点 对应的准线方程为. (2)对于双曲线,下焦点, 对应的准线方程为;上焦点对应的准线方程为 2.焦半径 双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长度称为焦半径. (1)若为焦点在轴上的双曲线上的任意一点，为双曲线的左、右焦点，则，,其中. (2)若为焦点在轴上的双曲线上的任意一点,设点分别为双曲线的下、上焦点.，,其中. 3.通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为. 4.焦点三角形 为双曲线的两个焦点,是双曲线上的动点, 则的面积 , 通过余弦定理可得 5.斜率乘积为定值（双曲线的第二定义） (1) 双曲线长轴的两个端点与除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为; (2)设,是双曲线上关于原点对称的两点,点为该双曲线上不同于,的任一点, 若直线, 的斜率分别为, 则. 一、单选题 1．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 二、多选题 9．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 10．（24-25高二上·全国·课后作业）设为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且，若的内切圆半径为，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为 D．的离心率为 11．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 12．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 三、填空题 13．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·上海·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 ． 15．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为 . 16．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 . 四、解答题 17．（2024·安徽高二上·阶段测试）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 18．（2024·云南大理高二上·期中）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 19．（2024·吉林长春高二上·期中）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍． (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求． 20．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． (1)求曲线的方程； (2)已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； (3)在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案： 1．A 【详解】方程表示双曲线， ，解得， 故的取值范围为， 故选：A. 2．B 【详解】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 3．D 【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 4．B 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以． 故选：B． 5．A 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 6．B 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得， 则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 7．C 【详解】设点在第一象限，由题知， 解得，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 所以， 令，因为，所以， 则， 由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增， 所以． 故选：C 8．D 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 9．CD 【详解】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确； 故选：CD 10．BD 【详解】如图，设点在第一象限，如图，设的内切圆与三边相切于点， 则，， 由双曲线的定义得，设，所以， 所以，A错误； 设的中点为，由，知． 因为，，所以为直角三角形，B正确； 在中，，C错误； 在中，， 由为直角三角形， ，知， 由，得，D正确． 故选：BD 11．BCD 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 12．BCD 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 13．9 【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点， 于是点与点也是双曲线的两个焦点， 因此，最后使用基本不等式中“1”的代换， 于是就有（当且仅当时取等号）， 因此的最小值为9． 故答案为：9 14． 【详解】因为，，且为中点， 所以，且，， 因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：.    15．/ 【详解】如图，连接， 因为，所以，由对称性可得， 由，可设，则， 由双曲线的定义可知，，， 则，由得，， 即，解得， 又由得，， 即，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 16．2 【详解】直线分别与内切圆的切点为，如图所示： 由切线的性质可得， 由双曲线的定义可得，即， 所以，即， 又，因此. 设，则， 又，因此.于是，即， 所以由，可得，即. 故答案为：2. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 18．(1) (2) 【详解】（1）由题得， ① 由对称性不妨设的顶点为，则， ② 联立①②解得，， 所以的方程为． （2）设，， 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由得， 所以， 解得， 因为，， 所以 ． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或；又因为，所以， 所以直线的方程为． 19．(1) (2) 【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即， 即，解得， 所以椭圆C：， 则椭圆C伴随双曲线的方程为． （2）    由（1）可知，， 设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程， 与双曲线联立并消去y，得， 则， 所以，，则， 又， 又，解得或（舍去）， 又， 所以 ， 因为，所以． 20．(1) (2) (3)，分别为，且定值为6 【详解】（1）由于曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：， 故曲线绕原点逆时针旋转后得到曲线：． 设是上任意一点，绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点， 则，， 由于在上，所以，化简得， 故的方程为， （2）设直线，,, 联立直线与双曲线的方程，消去得， ， 所以由韦达定理可得，， 因为，故，， 即， ，化简得， 代入可得，故， 结合，故， 由可得 ， 由于在双曲线上，故， 所以 代入和可得， 故 （3）由双曲线方程可得， 不妨设，由（2）知， 故， 由于，则，， ， 因此 ， 故存在两个定点，，使得为定值， 且，分别为，且定值为6 学科网（北京）股份有限公司 $$