江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（轴对称图形章节近三年组题汇编）

江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（轴对称图形章节近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下面是各届亚运会的会标，其中是轴对称图形的是(   ) A．B．C． D． 2．（22-23八年级上·江苏南京·期中）在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=40°，∠B=80° 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 4．（22-23八年级上·江苏南京·期中）到三角形三边距离相等的点是三角形三条（   ） A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．角平分线的交点 D．高线的交点 5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（    ）    A．线段、的交点 B．、角平分线的交点 C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点 7．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，分别以为边作等边三角形ABD与等边三角形，连接与交于点F，连接．有以下四个结论：①；②FA平分；③；④．其中结论一定正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 12．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图所示，，点P是内一定点，并且，点M、N分别是射线上异于点O的动点，当的周长取最小值时，点O到线段的距离为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，将Rt过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，现有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤垂直平分；其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在等腰中，有一个内角为，则顶角为 ． 15．（22-23八年级上·江苏南京·期中）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是 ． 16．（23-24八年级上·江苏南京·期中）等腰三角形的顶角为，底角的度数为 °． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期中）若一个等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为 ． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则 ． 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，平分，经过点 O，且若 ，， 则的周长是 ．    20．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D， E， 连接，若，的周长为， 则的周长为 21．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则 º．    22．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长是 ． 23．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 ． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点是的中点，将沿对折，点落在点处，与相交于点，则的度数为 °． 25．（22-23八年级上·江苏南京·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，．若对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定，则长的取值范围是 ． 27．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P为线段上的一动点，若为等腰三角形，则 ． 28．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．    29．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，， 点M、 N分别为上的动点， 则的最小值为 ． 三、解答题 30．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与线段关于直线l成轴对称的线段； (2)在直线l上确定一点P，使最短． 31．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，A，B， C 为格点，点 P 为线段上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）    (1)的长等于 ； (2)在图1中，画出的角平分线； (3)在图2中， 在线段上画点Q，使得． 32．（22-23八年级上·江苏南京·期中）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴l； (2)在图②中，作出点P的对称点． 33．（23-24八年级上·江苏南京·期中）过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交两边于B、C，使得为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．    34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是中线，且，是的中点． (1)求证； (2)若，，则的长为 ． 35．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.    (1)求证：为等腰三角形； (2)直接写出与之间的数量关系： . 36．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知： 是等边三角形，点P、Q分别是边上的动点，且．连接交于点M．    (1)如图1，当点P是边的中点时，＝ ； (2)在P、Q运动过程中，的大小是否变化？请利用图2证明你的结论． 37．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 38．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【教材呈现】如图是苏教版八年级上册数学教材65页的部分内容． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 小明给出上述定理证明中的部分演绎推理的过程如下： 已知：如图1，在中，，为斜边上的中线．求证：． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点．    【问题解决】请结合图2将证明过程补充完整： 【问题再探】 如图3，将的边沿着斜边上的中线折叠到，连接、．    （1）求证： （2）若，，直接写出 39．（23-24八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）    40．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的，为了让交点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明，请完成这个证明；    (2)如图③，已知四边形，请用直尺和圆规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）． 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．C 【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案. 【详解】当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠∠A，故A项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝60°时，∠C＝60°≠∠A，故B选项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，故C选项正确；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝80°时，∠C＝50°≠∠A，故D项错误.因此选C. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角相等，掌握这个知识点是解题的关键. 3．B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 利用角平分线的性质，只有角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】到三角形各边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法： 故选：． 6．B 【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D． 【详解】解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等； 故选：B 【点睛】本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 7．D 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，，， ∴点到边的距离等于， ∴点到的距离为， ∵点是边上的任意一点， ∴的最小值为3，即． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 8．A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 9．C 【分析】根据等腰三角形的性质利用证明可得出①正确；作于P，于Q，证明，得出，证出平分，得②正确；在上截取，连接，证明，则，可得，是等边三角形，即可得，得④正确；由，可得，得③不正确；进而可得出结论． 【详解】解：①∵三角形ABD与等边三角形ACE是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ②作于P，于Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点A在的平分线上， ∴FA平分，②正确； ④如图，在DF上截取，连接AO， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，④正确； ③∵，， ∴ ， 即，③不正确； 综上所述：正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 10．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，根据等腰三角形的性质可得，，可证明，再根据全等三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 故选：D 11．D 【分析】由题意易证，然后可判断①②，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可判断③，过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，证明，根据全等三角形的性质可得，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 12．B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于，则的长即为周长的最小值，连接、，作，利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于， 则， 周长为 则的长即为周长的最小值， 连接、，作，    由对称定可得：，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称求最短距离，通过轴对称确定周长最小值的位置是解题的关键． 13．D 【分析】根据翻折的性质即可知，再根据全等三角形的性质即可判断①②③⑤正确，由于不一定等于，故不一定是等边三角形，故④错误，由此即可选择． 【详解】解：将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处， ， ，，，， ，平分，故①②③正确， ，， 垂直平分，故⑤正确， 不一定等于， 不一定是等边三角形，故④错误， 综上可知，①②③⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定，垂直平分线的判定以及等边三角形的判定．理解折叠后的两个三角形全等是解答本题的关键． 14．或 【分析】根据等腰中，有一个内角为，并没说明此内角是顶角还是底角，故需分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵等腰中，有一个内角为， ∴当为顶角时，其顶角为； 当为底角时，其顶角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和为和等腰三角形等这对等角的性质进行分类讨论是解题的关键． 15．15或18厘米 【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可. 【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm， ∴第三边可能为4cm或7cm， 即三边为4、4、7或4、7、7， 求得周长分别为15cm,18cm, 故填15或18. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点. 16． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键． 由题意知，底角的度数为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底角的度数为， 故答案为：． 17．3或4/4或3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；分两种情况讨论：腰长为4、底边为4，先根据每种情况得到三条边长，再根据三角形三边关系判定三角形是否存在即可． 【详解】解：当腰长为4时，，则等腰三角形三边边长分别是4，4，2， ， 此时等腰三角形存在，腰长为4； 当底边为4时，，则等腰三角形三边边长分别是3，3，4， ， 此时等腰三角形存在，腰长为3； 故答案为：3或4． 18． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角定理；先根据等腰三角形的性质及三角形的外角定理得到，再根据三角形内角和定理求解，最后求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 19．27 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，根据平行线的性质及角平分线的性质得，，进而可得，，再利用三角形周长公式即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为： , 故答案为：27． 20．10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边，然后即可求出周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴， ∵的周长为， ∴， 的周长． 故答案为：10． 21．45 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为45． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， 的周长， 故答案为：． 23．4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可． 【详解】解：当时，点P在上； 当时，点P在上或点P在上； 当时，点P在上； 综上：满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4．    24．120 【分析】由，，得，根据是斜边的中点，得，可得，而将沿对折，使点落在点处，有，即知，从而可得答案． 【详解】解：，， ， 是斜边的中点， ， ， ， 将沿对折，使点落在点处， ， ， ， 故答案为：120． 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质． 25． 【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 26．或 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的性质是解题的关键． 如图，当时或时，对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定，分别计算求解即可． 【详解】解：如图， ∴当时或时，对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定， 当时， ∵， ∴； 当时，； 综上所述，长的取值范围是或， 故答案为：或． 27．或或或 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，分，，三种情况讨论，分别画出图形，根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 当时， ∵，，， ∴； ②时， 过点作于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴或， 当时， 过点作于点，则， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 综上所述，的长为或或或 故答案为：或或或． 28．7 【分析】作，连接，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得，则利用三角形三边的关系得到当点C、 O、H共线时取等号，即可求解． 【详解】解：作，连接，如图，    ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵（当点C、 O、H共线时取等号）， ∴点C到点O的最小距离为， 故答案为：7． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系.能通过三角形的三边关系得出当点C、 O、H共线时的最短值为是解决此题的关键． 29． 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，三角形三边关系，勾股定理以及三角形面积计算等知识．作A关于的对称点D，连接，推出，，由三角形三边关系得到，当时，长最小，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到的面积，即可求出得到的最小值是． 【详解】解：作A关于的对称点D，连接， ∴， ∵， ∴， 当时，长最小， ∵， ∴ ∵的面积， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 30．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最短． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时最短， 则点即为所求． 31．(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与涉及作图，角平分线的判定定理，全等三角形的判定定理等知识． （1）由勾股定理可得； （2）取格点E，连接并延长交于D，即为所求； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点． 【详解】（1）； 故答案为：5； （2）取格点E，连接并延长交于D，如图：   即为所求； 理由：由图可知， ∴， ∴， 过E作于F， ∵， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∴是的角平分线； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点．，如图：    理由：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l； （2）延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接AC、BD交于点F，连接FE，FE即为所求对称轴l， （2）如图所示，延长AD、BC交于点E，令AC、BD的交点为F，连接EF并延长交AB于点H，EH所在直线为该图形的对称轴，连接BP，交EH于点G，连接AG并延长，交BC于点，点即为所求， 【点睛】本题考查轴对称图形，尺规作图，找出图形的对称轴是解题的关键． 33．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，尺规作图；方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求；取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求． 【详解】解：方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求； ∵平分，， ∴， 则为等腰三角形； 方法二：取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴， 则为等腰三角形．    34．(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形中位线定理． （1）连接，根据三角形中线的性质和直角三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的中线， 是的中线． 是高， ， 是的中线． ， ， ， 是的中点， ； （2）解：，是高， 是中线， 是的中点， 是的中位线， ， 是中线， ， 故答案为：8． 35．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论和等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，，然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得可得，再根据垂直定义可得，从而可得，最后进行计算可得，即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）， 理由：∵， ∴， ∴，， ∴ =2(∠ABC+∠ACB)-180° ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 36．(1) (2)不变，证明见详解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，即可求出； （2）根据等边三角形的性质得到，再证明，得到，利用三角形外角定理进行角的代换即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵点P是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：的大小不变，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，熟知等边三角形的性质并灵活应用，证明三角形全等是解题关键． 37．（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 38．问题解决：见解析；问题再探：（1）见解析；（2） 【分析】[问题解决]过点作，交的延长线于点，由证明，得到，，由证明，得到，即可证明． [问题再探]（1）由折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理推出，即可得到； （2）令，，则，，由勾股定理得到，求出x即可求解． 【详解】[问题解决] 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，   ，， 为斜边上的中线， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． [问题再探] 解：（1）由折叠的性质得到， 为斜边上的中线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）延长交于，   ，，， ， ， 由折叠的性质得到，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 令，，则，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何变换综合题，关键是通过作辅助线构造全等三角形；由勾股定理列出关于，的方程组． 39．（1） （2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形； （3）作于点F，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线a于点I，再连接并延长交直线b于点B，在射线上取一点A，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵ △PDE <math latex="$\bigtriangleup&amp;#32;PDE$"><mrow><mo>△</mo><mi>P</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></mrow></math> 是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形． （3）如图④， 作法：1．作于点F； 2．以为边在右侧作等边； 3．以为边在上方作等边c； 4．连接交直线a于点I； 5．连接并延长交直线b于点B； 6．在射线上取一点A，连接，使； 7．连接， 就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得和都是等边三角形，， ∴， ∴点P、点H都在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分， ∴IG=IF， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴就是所要求作的等边三角形． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识． 40．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称得到，，结合三角形三边关系直接求解即可得到证明； （2）作点的对称点，连接交于一点即可得到答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵点A与关于l对称， ∴l垂直平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：作点的对称点，连接交于一点即为P点，如图所示， ∵点的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴交于一点即为P点， 学科网（北京）股份有限公司 $$