安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二上学期数学统一作业4

2024-10-29
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内容正文:

绝密★启用前 2023级高二第一学期数学统一作业4 命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩 考试说明:1.考查范围:选择性必修第一册第一章. 2.试卷分值:130分;考试时间:100分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上,否则无效. 考试结束后只交答题卷. 第I卷(选择题) 一、单选题:本大题共8小题,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.以下四个命题中,正确的是(    ) A. 若,则三点共线 B. C. 为直角三角形的充要条件是 D. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底 2.在三棱锥中,,为上的点,且,则(    ) A. B. C. D. 3.已知,,,若,,三向量共面,则实数等于(    ) A. B. C. D. 4.定义,若向量,向量为单位向量,则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.在空间直角坐标系中,一束光线从点发出,被平面反射,到达点之后被吸收,则光线所走的路程为(    ) A. B. C. D. 6.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线方程为已知:在空间直角坐标系中,,经过点的平面的方程为,经过点的直线方程为,则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 8.如图,在棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心,为线段上一点,则下列说法正确的是(    ) A. 的最小值为 B. 若平面,则 C. 若平面,则三棱锥 外接球的表面积为 D. 若为线段的中点,且,则 二、多选题:本大题共3小题,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.从点出发,沿着向量方向取点,使,则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 10.在正三棱柱中,点满足,其中,则(    ) A. 棱 B. 平面 C. D. 11.在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面内四边形的内部且包括边界的动点,且,则下列说法正确的有(    ) A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为 C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 第II卷(非选择题) 三、填空题:本大题共3小题,共15.0分。 12.已知平面的法向量为,平面的法向量为,若,则实数          . 13.已知正四棱柱中,,若是侧面内的动点,且,则的最小值为          . 14.在长方体中,已知,,分别为,的中点,则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为          . 四、解答题:本大题共4小题,共57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知向量,,满足,,且,求. 16.本小题分 如图,在正四棱锥中,为底面中心,,为的中点,. 求证:平面; 求直线到平面的距离. 17.本小题分 如图,四棱锥的底面是正方形,底面,为的中点,,. 证明:; 设平面平面,求与平面所成角的正弦值. 18.本小题分 如图所示,已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的三等分点,且,,沿将折起到的位置,使. 求证:平面 在线段上是否存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为,若存在,设,求的值若不存在,说明理由. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$第 1页,共 4页 绝密★启用前 2023级高二第一学期数学统一作业 4 命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩 考试说明:1.考查范围:选择性必修第一册第一章. 2.试卷分值:130 分;考试时间:100 分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上,否则无效.考试结束后只交答题卷. 第 I卷(选择题) 一、单选题:本大题共 8小题,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.以下四个命题中,正确的是( ) A.若�� = 12�� + 13�� ,则�, �, �三点共线 B. � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣ C. ▵���为直角三角形的充要条件是�� ⋅ �� = 0 D.若 � , � , � 为空间的一个基底,则 � + � , � + � , � + � 构成空间的另一个基底 2.在三棱锥� − ���中,�� = � , �� = � , �� = �,�为��上的点,且�� = 4��,则�� =( ) A. � − 12 � + 14 � B. 3 4 � + 1 4 � − � C. 12 � + 1 4 � − 13 � D. 1 4� + 2 3� + � 3.已知� = (2, − 1,3),� = ( − 1,4, − 2),� = (1,3, �),若� ,� ,�三向量共面,则实数�等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.定义� ⊗� = � 2 − � ⋅ � ,若向量� = (1, − 2,2),向量� 为单位向量,则� ⊗ � 的取值范围是( ) A. [6,12] B. [0,6] C. [ − 1,5] D. [0,12] 5.在空间直角坐标系� − ���中,一束光线从点�(2, − 1,3)发出,被平面���反射,到达点�(1,1,2)之后被吸 收,则光线所走的路程为( ) A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 14 6.三棱柱��� − �1�1�1中,底面边长和侧棱长都相等,∠���1 = ∠���1 = 60∘,则异面直线��1与��1所成 角的余弦值为( ) A. 66 B. 3 3 C. 2 2 D. 6 3 第 2页,共 4页 7.在空间直角坐标系����中,经过点�(�0, �0, �0)且法向量为� = (�, �, �)的平面方程为�(� − �0) + �(� − �0) + �(� − �0) = 0,经过点�(�0, �0, �0)且一个方向向量为� = (�, �, �)(��� ≠ 0)的直线�方程为 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � .已知:在空间直角坐标系����中,�(0,0,1),经过点�的平面�的方程为� + � + 2� − 2 = 0,经 过点�的直线�方程为�2 = � = 1 − �,则直线�与平面�所成角的正弦值为( ) A. 16 B. 1 5 C. 5 6 D. 11 14 8.如图,在棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心,�为线段��上一点,则下 列说法正确的是( ) A. �� + ��的最小值为 2 B.若�� ⊥平面���,则�� = 64 �� C.若�� ⊥平面���,则三棱锥� − ���外接球的表面积为9�2 D.若�为线段��的中点,且��//��,则�� = 25�� 二、多选题:本大题共 3小题,共 18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的。全部选对 的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。 9.从点�(1,2,3)出发,沿着向量� = ( − 4, − 1,8)方向取点�,使|��| = 18,则�点的坐标为( ) A. ( − 1, − 2,3) B. (9,4, − 13) C. ( − 7,0,19) D. (1, − 2, − 3) 10.在正三棱柱��� − �1�1�1中,点�满足�� = 1 2�� + ���1 ,其中� ∈ [0,1],则( ) A. � ∈棱��1 B. � ∈平面���1�1 C. ��//��1 D. �� ⊥ �� 11.在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�是棱��的中点,点�是底面�1�1�1�1内(四边形�1�1�1�1 的内部且包括边界)的动点,且�� ⊥ �1�,则下列说法正确的有( ) A.动点�的轨迹是一段圆弧 B.动点�的轨迹长度为 5 C.线段��长度的最小值为 1455 D.直线��与平面����所成角的正切值最大为 2 5 3 第 3页,共 4页 第 II卷(非选择题) 三、填空题:本大题共 3小题,共 15.0分。 12.已知平面�的法向量为� = (1, − 1, �),平面�的法向量为� = ( − 2,2,6),若�//�,则实数� = . 13.已知正四棱柱���� − �1�1�1�1中,�� = 2,��1 = 3.若�是侧面���1�1内的动点,且�� ⊥ ��,则 �1� 的最小值为 . 14.在长方体���� − �1�1�1�1中,已知��1 = �� = 2�� = 2,�,�分别为��1,�1�1的中点,则平面�1���1 被三棱锥�1 − ���外接球截得的截面圆面积为 . 四、解答题:本大题共 4小题,共 57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13 分 ) 已知向量� ,� ,�满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4,求� ⋅ �. 16.(本小题 14 分) 如图,在正四棱锥� − ����中,�为底面中心,�� = �� = 3,�为��的中点,�� = 2��. (1)求证:��//平面���; (2)求直线��到平面���的距离. 第 4页,共 4页 17.(本小题 15 分) 如图,四棱锥� − ����的底面是正方形,�� ⊥底面����,�为��的中点,�� = 23�� ,�� = �� = 2. (1)证明:�� ⊥ ��; (2)设平面��� ∩平面��� = �,求�与平面���所成角的正弦值. 18.(本小题 15 分) 如图所示,已知△ ���是边长为 6 的等边三角形,点�,�分别是边��,��的三等分点,且�� = 13��,�� = 1 3��,沿��将△ ���折起到△ �′��的位置,使∠�′�� = 90 ∘. (1)求证:�′� ⊥平面����; (2)在线段��上是否存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 ,若存在,设�� = ��� (� > 0),求�的值;若不存在,说明理由. 绝密★启用前 2023级高二第一学期数学统一作业4 命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本大题共8小题,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.以下四个命题中,正确的是(    ) A. 若,则三点共线 B. C. 为直角三角形的充要条件是 D. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底 【答案】D  【解析】【分析】 此题考查利用向量判断三点共线,及基底的概念,考查数量积的运算,考查利用空间向量判断三角形形状. 由向量共线判断;由平面向量的数量积判断,假设,则,判断. 【解答】 解:若,因为,则,,三点不共线,故错误; 因为, 当两个向量不线时,故错误; 三角形是直角三角形,不一定是即, 也可能是或,故错误. 已知向量是空间的一个基底, 假设, 则, 所以无解,则空间向量不共线, 所以构成空间的另一个基底,所以正确; 故选D. 2.在三棱锥中,,为上的点,且,则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算,属于基础题. 利用空间向量的线性运算求解即可. 【解答】 解:, . 故选B. 3.已知,,,若,,三向量共面,则实数等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理的应用,属于基础题. 由题意,,三向量共面,可得存在实数,使得 ,可得 ,即可解得 . 【解答】解:由题意,,三向量共面,可得 , 即  , 所以  解得 . 故选A. 4.定义,若向量,向量为单位向量,则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的运算,属于基础题. 根据新定义与空间向量的数量积,模长运算,计算     ,根据  的范围即可求解. 【解答】 解:设向量 与 的夹角为 ,  , ,               . 又  , ,    ,     . 故选A. 5.在空间直角坐标系中,一束光线从点发出,被平面反射,到达点之后被吸收,则光线所走的路程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间坐标关于坐标平面的对称点问题,考查空间两点间的距离公式,属于基础题. 求出点关于平面的对称点,再求出的长度即可. 【解答】 解:点关于平面的对称点, 由于点, 所以线所走的路程为. 故选D. 6.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了异面直线所成的角,考查学生的计算能力,属于中档题. 先选一组基底,将两条异面直线的方向向量用基底表示,然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可. 【解答】 解:如图, 设,,,棱长均为, 则 ,,, ,, ,    ,    ,   , 异面直线与所成角的余弦值为, 故选A. 7.在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线方程为已知:在空间直角坐标系中,,经过点的平面的方程为,经过点的直线方程为,则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了直线与平面成角问题,属于中档题. 根据题意,求出平面的法向量,直线的方向向量,再计算直线与平面所成角的正弦值即可. 【解答】 解:由题意知,平面的方程为,直线方程为, 所以平面的法向量为,直线的方向向量为, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选A. 8.如图,在棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心,为线段上一点,则下列说法正确的是(    ) A. 的最小值为 B. 若平面,则 C. 若平面,则三棱锥 外接球的表面积为 D. 若为线段的中点,且,则 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间几何体的性质,以及利用向量法解决几何问题的方法,几何体的外接球问题,属于中档题. 选项由线面垂直证得,,进而由点与点重合时即可判断;选项利用内切球求得即可判断;选项找到球心,由勾股定理求得半径,即可判断;选项由空间向量的线性运算即可判断. 【解答】 解:由题意棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心, 所以平面,又平面, 所以,. 则当点与点重合时,取得最小值, 又, 则最小值为,A错误. 在正四面体中,因为平面,易得在上,所以,又点,也分别是和的内心, 则点为正四面体内切球的球心. ,. 设正四面体内切球的半径为, 因为, 所以, 解得,即,故,B错误. 设三棱锥外接球的球心为,半径为,易得球心在直线上,且,则,即, 解得,故三棱锥外接球的表面积为,C错误. 若为线段的中点,则,. 设,则. 因为, 所以设,则,解得 故,D正确. 故选D. 二、多选题:本大题共3小题,共18分。 9.从点出发,沿着向量方向取点,使,则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查空间向量的坐标表示及模,属于基础题. 由题意知,,故可设,由向量的相等求出点坐标. 【解答】 解:设,则, 即. 由得, 所以, 所以, 所以或 则点的坐标为或, 故选BC. 10.在正三棱柱中,点满足,其中,则(    ) A. 棱 B. 平面 C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定及性质,空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题. 取得中点,由,得,即可判断;通过证明平面,即可判断. 【解答】 解:取的中点,的中点,连接,,,如图: 由, 得,, 所以时,与重合; 时,与重合,此时; 时,,故A错误,B正确;C错误; 在正三棱柱中, 时,,即; 时,因为平面,平面, 所以,又,所以, 又,,平面,, 所以平面,又平面, 所以,故D正确. 11.在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面内四边形的内部且包括边界的动点,且,则下列说法正确的有(    ) A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为 C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了空间向量垂直关系的向量表示,考查了空间向量法求直线与平面所成角,动点轨迹问题,属中档题. 以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,先设动点,,,通过向量垂直关系得到坐标间的关系是,可判断轨迹,的轨迹长度和线段长度的最小值可转为二次函数问题求解;最后运用空间向量夹角公式求直线与平面所成角的最值。 【解答】 解:由题意,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则,,,,,,. 设,,, 则,. 由,可知,即. 记,的中点为,可知点在直线上,易知, 所以项错误,项正确. 因为,所以 , 所以的最小值为,所以项正确. 平面的一个法向量可以取, 因为, 设直线与平面所成角为,, 所以, , 则, 所以直线与平面所成角的正切值最大为,项正确. 故选BCD. 三、填空题:本大题共3小题,共15分。 12.已知平面的法向量为,平面的法向量为,若,则实数          . 【答案】  【解析】【分析】 根据平面的平行关系求出法向量的平行关系,根据向量平行得到关于的方程,解出即可. 本题考查了平面的法向量,考查共线向量问题,是基础题. 【解答】 解:若,则, 则,解得:, 故答案为:. 13.已知正四棱柱中,,若是侧面内的动点,且,则的最小值为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了空间距离求解问题的应用,属于中档题. 以为原点建立空间直角坐标系,由题意可得要使最小,只需最小,即最大,进而求出,从而得出答案. 【解答】 解:如图,以为原点建立空间直角坐标系, 设点, 则,, , 又得:即; 又平面,故为与平面所成角,要使最小,只需最小,即最大, 令, , 当时,最大, 则, 所以   故答案为:. 14.在长方体中,已知,,分别为,的中点,则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查三棱锥的处接球表面积及截面圆面积问题,属于较难题. 建立空间直角坐标系,利用向量坐标,可以证明,取为中点,有,因此点为三棱锥外接球的球心,则,球心到平面的距离为,勾股定理可得截面圆的半径为,即得解. 【解答】 解:以点为原点建立空间直角坐标系如图所示: 依题意得:,,, 则,, 所以,则; 设为中点,因为则, 所以点为三棱锥外接球的球心,则. 设球心到平面的距离为,又因为为中点,所以点到平面的距离为, 由于,所以, 故截面圆的半径为, 所以截面圆面积为. 故答案为:. 四、解答题:本大题共4小题,共48分。 15.本小题分 已知向量,,满足,,且,求. 【答案】解:向量,,满足,,且, , 所以. 可得:.  【解析】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 由已知可得:,即可得出. 16.本小题分 如图,在正四棱锥中,为底面中心,,为的中点,. 求证:平面; 求直线到平面的距离. 【答案】解:证明:在正四棱锥中,连接,则为的中点,且, 由于平面,,平面, 所以,,所以,,两两垂直. 以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为,故E为靠近点的三等分点, 由正四棱锥的性质可得,,则, 则,,,,,,, 所以,,, 设平面的法向量为, 则,取,则,, 则为平面的一个法向量, 因为,所以, 又因为平面,所以平面. 由知平面, 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 由知,平面的一个法向量为, 所以点到平面的距离, 故直线到平面的距离为.  【解析】本题考查线面平行的向量表示,利用空间向量求线面的距离,属于中档题. 建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,根据,即可证明结论; 由知平面,所以直线到平面的距离即为点到平面的距离,利用向量方法求解即可. 17.本小题分 如图,四棱锥的底面是正方形,底面,为的中点,,. 证明:; 设平面平面,求与平面所成角的正弦值. 【答案】解法一:平面,,以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 ,,,, 所以,, 所以, 所以. 由正方形得,, 平面,平面, 平面; 又平面,平面平面, , 于是与平面所成的角即为与平面所成的角. 由知, 设平面的一个法向量,则,即, 取,则,, 于是是平面的一个法向量, 因为,设与平面所成角为, 则. 解法二:依题意,将几何体补形为一个棱长为的正方体, 如图所示,取的中点,连接,,在正方形中,延长交于,则∽. ,即为的中点, ,即, 平面,,平面,又平面, ,又,,平面,平面. 平面. . 同解法一.  【解析】本题考查直线与平面垂直,直线与平面平行的判断定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题. 解法一:以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,通过,证明. 证明,,说明与平面所成的角即为与平面所成的角.求出平面的一个法向量,求出,利用空间向量的数量积求解即可. 解法二:取的中点,连接,,在正方形中,延长交于,则∽证明,即,推出,得到平面,证明平面,推出. 同解法一. 18.本小题分 如图所示,已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的三等分点,且,,沿将折起到的位置,使. 求证:平面 在线段上是否存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为,若存在,设,求的值若不存在,说明理由. 【答案】证明:因为,所以, 在中,,, 由余弦定理得:, 所以,则, 由勾股定理逆定理得:, 因为,平面,所以平面; 由可知两垂直,所以以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则, 所以, 因为,,平面, 所以平面,所以为平面的一个法向量, 假设线段上存在点,设,则, 所以,所以, 设平面的法向量为,则 令,则, 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为 所以, 化简得,,解得或, 所以在线段上是存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为, 此时或.   【解析】本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题. 用余弦定理求出的长,进而用勾股定理逆定理得到,从而证明出线面垂直; 建立空间直角坐标系,假设存在点,设,为平面的一个法向量,再求出平面的法向量,用向量夹角公式求解出答案. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$第 1页,共 18页 绝密★启用前 2023 级高二第一学期数学统一作业 4 命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答 案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回 答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本大题共 8 小题,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.以下四个命题中,正确的是( ) A.若�� = 12�� + 13�� ,则�, �, �三点共线 B. � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣ C. ▵���为直角三角形的充要条件是�� ⋅ �� = 0 D.若 � , � , � 为空间的一个基底,则 � + � , � + � , � + � 构成空间的另一个基底 【答案】D 【解析】【分析】 此题考查利用向量判断三点共线,及基底的概念,考查数量积的运算,考查利用空间向量判断三角形形状. 由向量共线判断�;由平面向量的数量积判断��,假设  � + � = �1 � + � + �2 � + � = �1� + �1 + �2 � + �2�,则 �1 = 1 �1 + �2 = 0 �2 = 1 ,判断�. 【解答】 解:�:若�� = 12�� + 13�� ,因为12+ 1 3 ≠ 1,则�,�,�三点不共线,故错误; �:因为|(� ⋅ � ) ⋅ � | = |� | ⋅ |� | ⋅ cos � , � ·� = |� | ⋅ |� | ⋅ cos � , � · � , 当两个向量不线时 cos � , � ≠ 1,故 � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣错误; �:三角形���是直角三角形,不一定是�� ·�� = 0 即∠� = 90°, 也可能是∠� = 90°或∠� = 90°,故错误. � :已知向量 �  → ,  � →  ,  � → 是空间的一个基底, 假设  � + � = �1 � + � + �2 � + � = �1� + �1 + �2 � + �2�, 第 2页,共 18页 则 �1 = 1 �1 + �2 = 0 �2 = 1 , 所以无解,则空间向量� + �  ,  � + �  ,  � + � 不共线, 所以 � → + � →  ,  � → + �  → ,  � → + � → 构成空间的另一个基底,所以正确; 故选 D. 2.在三棱锥� − ���中,�� = � , �� = � , �� = �,�为��上的点,且�� = 4��,则�� =( ) A. � − 12 � + 14 � B. 3 4 � + 1 4 � − � C. 12 � + 1 4 � − 13 � D. 1 4� + 2 3� + � 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算,属于基础题. 利用空间向量的线性运算求解即可. 【解答】 解:∵ �� = 4��, ∴ �� = �� + �� = (�� − �� ) + 3 4�� = (�� − �� ) + 3 4 (�� − �� ) = � − � + 3 4� − 3 4� = 34 � + 1 4� − �. 故选 B. 3.已知� = (2, − 1,3),� = ( − 1,4, − 2),� = (1,3, �),若� ,� ,�三向量共面,则实数�等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理的应用,属于基础题. 由题意� ,� ,�三向量共面,可得存在实数�,�使得 � = �� + �� ,可得 2� − � = 1 −� + 4� = 3 3� − 2� = � ,即可解得 � = 1 � = 1 � = 1 . 第 3页,共 18页 【解答】解:由题意� ,� ,�三向量共面,可得 � = �� + �� (�, � ∈ �), 即 (1,3, �) = �(2, − 1,3) + �( − 1,4, − 2) = (2� − �, − � + 4�, 3� − 2�), 所以 2� − � = 1 −� + 4� = 3 3� − 2� = � , 解得 � = 1 � = 1 � = 1 . 故选 A. 4.定义� ⊗� = � 2 − � ⋅ � ,若向量� = (1, − 2,2),向量� 为单位向量,则� ⊗ � 的取值范围是( ) A. [6,12] B. [0,6] C. [ − 1,5] D. [0,12] 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了空间向量的运算,属于基础题. 根据新定义与空间向量的数量积,模长运算,计算 � ⊗ � = 9 − 3 cos �,根据 cos �的范围即可求解. 【解答】 解:设向量 � 与 � 的夹角为 �, ∵ | � | = 3,| � | = 1, ∴ � ⊗ � = |� |2 − � ⋅ � = |� |2 − | � || � | cos � = 9 − 3 cos �. 又 � ∈ [0, �], ∴ cos � ∈ [ − 1,1], ∴ � ⊗ � ∈ [6,12]. 故选 A. 5.在空间直角坐标系� − ���中,一束光线从点�(2, − 1,3)发出,被平面���反射,到达点�(1,1,2)之后被吸 收,则光线所走的路程为( ) A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 14 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查空间坐标关于坐标平面的对称点问题,考查空间两点间的距离公式,属于基础题. 求出点�(1,1,2)关于平面���的对称点�′,再求出��′的长度即可. 【解答】 解:点�(1,1,2)关于平面���的对称点�′( − 1,1,2), 由于点�(2, − 1,3), 第 4页,共 18页 所以线所走的路程为��′ = (2 + 1)2 + ( − 1 − 1)2 + (3 − 2)2 = 14. 故选 D. 6.三棱柱��� − �1�1�1中,底面边长和侧棱长都相等,∠���1 = ∠���1 = 60∘,则异面直线��1与��1所成 角的余弦值为( ) A. 66 B. 3 3 C. 2 2 D. 6 3 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了异面直线所成的角,考查学生的计算能力,属于中档题. 先选一组基底,将两条异面直线的方向向量用基底表示,然后利用夹角公式求异面直线��1与��1所成角的 余弦值即可. 【解答】 解:如图, 设 ��1 =� , �� =� , �� =� ,棱长均为 1, 则 � ⋅� =12 ,   � ⋅� =12 , � ⋅� =12, ∵��1 =� +� , ��1 =� −� +�, ∴��1 ⋅��1 =(� +� )·(� −� +� )= 1 2 − 1+ 1 2+ 1 2 − 1 2 + 1 = 1,  |��1 |= (� +� )2=   � 2+2� ⋅� +� 2= 1+1+1=   3,   |��1 |= (� −� +� )2=   1+1+1−1+1−1=   2, ∴  cos<��1 ,��1 >= 66 , ∴异面直线��1与��1所成角的余弦值为 6 6 , 故选 A. 第 5页,共 18页 7.在空间直角坐标系����中,经过点�(�0, �0, �0)且法向量为� = (�, �, �)的平面方程为�(� − �0) + �(� − �0) + �(� − �0) = 0,经过点�(�0, �0, �0)且一个方向向量为� = (�, �, �)(��� ≠ 0)的直线�方程为 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � .已知:在空间直角坐标系����中,�(0,0,1),经过点�的平面�的方程为� + � + 2� − 2 = 0,经 过点�的直线�方程为�2 = � = 1 − �,则直线�与平面�所成角的正弦值为( ) A. 16 B. 1 5 C. 5 6 D. 11 14 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了直线与平面成角问题,属于中档题. 根据题意,求出平面�的法向量,直线�的方向向量,再计算直线�与平面�所成角的正弦值即可. 【解答】 解:由题意知,平面�的方程为� + � + 2(� − 1) = 0,直线�方程为�−02 = �−0 1 = �−1 −1, 所以平面�的法向量为� = (1,1,2),直线�的方向向量为� = (2,1, − 1), 所以直线�与平面�所成角的正弦值为 |� ⋅� ||� |⋅|� | = 1 6⋅ 6 = 1 6. 故选 A. 8.如图,在棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心,�为线段��上一点,则下 列说法正确的是( ) A. �� + ��的最小值为 2 B.若�� ⊥平面���,则�� = 64 �� C.若�� ⊥平面���,则三棱锥� − ���外接球的表面积为9�2 D.若�为线段��的中点,且��//��,则�� = 25�� 【答案】D 第 6页,共 18页 【解析】【分析】 本题考查空间几何体的性质,以及利用向量法解决几何问题的方法,几何体的外接球问题,属于中档题. �选项由线面垂直证得�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,进而由点�与点�重合时即可判断;�选项利用内切球求得�� = 3 4��即可判断;�选项找到球心,由勾股定理求得半径,即可判断;�选项由空间向量的线性运算即可判断. 【解答】 解:由题意棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心, 所以�� ⊥平面���,又��, �� ⊂平面���, 所以�� ⊥ ��,�� ⊥ ��. 则当点�与点�重合时,�� + ��取得最小值, 又�� = �� = �� = 23�� = 2 3 × 2 2 − 12 = 2 33 , 则最小值为�� + �� = 4 33 ,A 错误. 在正四面体����中,因为�� ⊥平面���,易得�在��上,所以�� ∩ �� = �, 又点�,�也分别是▵���和▵���的内心, 则点�为正四面体����内切球的球心. �� = 23�� = 2 3 3 ,�� = ��2 − ��2 = 2 63 . 设正四面体����内切球的半径为�, 因为��−��� = ��−��� + ��−��� + ��−��� + ��−���, 所以 1 3 �▵��� ⋅ �� = 1 3 �▵��� ⋅ � + 1 3 �▵��� ⋅ � + 1 3 �▵��� ⋅ � + 1 3 �▵��� ⋅ �, 解得� = �� = ��4 = 6 6 ,即�� = 34��,故�� = 34�� ,B 错误. 设三棱锥� − ���外接球的球心为�,半径为�,易得球心�在直线��上,且�� ⊥ ��,则�2 = ��2 = ��2 + (�� − ��)2,即�2 = 2 33 2 + � − 66 2 , 第 7页,共 18页 解得� = 3 64 ,故三棱锥� − ���外接球的表面积为 4�� 2 = 27�2 ,C 错误. 若�为线段��的中点,则�� = 12�� = 1 6��,�� = �� + 16�� = 13�� + 16�� + 16�� = 16�� + 16�� = 14�� + 1 6�� . 设�� = ��� ,则�� = �� + ��� = �� + ��� + ��� = (1 − �)�� + ���. 因为��//��, 所以设�� = ���,则 1 4 = (1 − �)� 1 6 = �� ,解得 � = 25 � = 512 , 故�� = 25��,D 正确. 故选 D. 二、多选题:本大题共 3 小题,共 18 分。 9.从点�(1,2,3)出发,沿着向量� = ( − 4, − 1,8)方向取点�,使|��| = 18,则�点的坐标为( ) A. ( − 1, − 2,3) B. (9,4, − 13) C. ( − 7,0,19) D. (1, − 2, − 3) 【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查空间向量的坐标表示及模,属于基础题. 由题意知,�� = �� ,故可设�(�0, �0, �0),由向量的相等求出�点坐标. 【解答】 解:设�(�0, �0, �0),则�� = �� , 即(�0 − 1, �0 − 2, �0 − 3) = �( − 4, − 1,8). 由|��| = 18 得 ( − 4�)2 + ( − �)2 + (8�)2 = 18, 所以� =± 2, 所以(�0 − 1, �0 − 2, �0 − 3) =± 2( − 4, − 1,8), 所以 �0 =− 7 �0 = 0 �0 = 19 或 �0 = 9 �0 = 4 �0 =− 13 , 则�点的坐标为( − 7,0,19)或(9,4, − 13), 故选 BC. 10.在正三棱柱��� − �1�1�1中,点�满足�� = 1 2�� + ���1 ,其中� ∈ [0,1],则( ) 第 8页,共 18页 A. � ∈棱��1 B. � ∈平面���1�1 C. ��//��1 D. �� ⊥ �� 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定及性质,空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题. 取��得中点�,由�� = 12�� + ���1 ,得���1 = �� ,即可判断���;通过证明�� ⊥平面���,即可判断�. 【解答】 解:取��的中点�,�1�1的中点�1,连接��,��,��,如图: 由�� = 12�� + ���1 , 得���1 = �� − 1 2�� = �� − �� = �� ,� ∈ [0,1], 所以� = 0 时,�与�重合; � = 1 时,�与�1重合,此时��//��1; 0 < � < 1 时,��//��1,故 A 错误,B 正确;C 错误; 在正三棱柱��� − �1�1�1中, � = 0 时,�� ⊥ ��,即�� ⊥ ��; � ≠ 0 时,因为��1 ⊥平面���,�� ⊂平面���, 所以�� ⊥ ��1,又��//��1,所以�� ⊥ ��, 又�� ⊥ ��,��,�� ⊂平面���,�� ∩ �� = �, 所以�� ⊥平面���,又�� ⊂平面���, 所以�� ⊥ ��,故 D 正确. 第 9页,共 18页 11.在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�是棱��的中点,点�是底面�1�1�1�1内(四边形�1�1�1�1 的内部且包括边界)的动点,且�� ⊥ �1�,则下列说法正确的有( ) A.动点�的轨迹是一段圆弧 B.动点�的轨迹长度为 5 C.线段��长度的最小值为 1455 D.直线��与平面����所成角的正切值最大为2 53 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查了空间向量垂直关系的向量表示,考查了空间向量法求直线与平面所成角,动点轨迹问题,属中 档题. 以�1为坐标原点,�1�1,�1�1,�1�所在直线分别为�轴、�轴、�轴建立空间直角坐标系,先设动点�(�0, �0, 0), �0,�0 ∈ 0,2 ,通过向量垂直关系得到坐标间的关系是 2�0 + �0 − 2 = 0,可判断�轨迹,�的轨迹长度和 线段��长度的最小值可转为二次函数问题求解;最后运用空间向量夹角公式求直线与平面所成角的最值。 【解答】 解:由题意,以�1为坐标原点,�1�1,�1�1,�1�所在直线分别为�轴、�轴、�轴建立空间直角坐标系,如 图所示, 则�1(0,0,0),�(0,2,2),�1(0,2,0),�(0,0,2),�(2,0,2),�(2,2,2),�(2,1,2). 设�(�0, �0, 0),�0,�0 ∈ 0,2 , 则�� = (2,1,0),�1� = (�0, �0 − 2,0). 由�� ⊥ �1� ,可知�� ⋅ �1� = 0,即 2�0 + �0 − 2 = 0. 记�1,�1的中点为�,可知点�在直线�1�上,易知|�1�| = 5, 所以�项错误,�项正确. 因为 0⩽�0⩽1,所以 |��|2 = (�0 − 2)2 + (�0 − 1)2 + (0 − 2)2 = (�0 − 2)2 + (2 − 2�0 − 1)2 + 4 = 5�02 − 8�0 + 9 = 5(�0 − 4 5 ) 2 + 295 ≥ 29 5, 所以|��|的最小值为 145 5 ,所以�项正确. 平面����的一个法向量可以取� = (0,0,1), 第 10页,共 18页 因为�� = (�0 − 2,1 − 2�0, − 2), 设直线��与平面����所成角为�,� ∈ 0, �2 , 所以 sin� = |cos < ��,� > | = −2 �� � = 2 5(�0− 4 5) 2+295 ≤ 2 529, 则 cos�⩾ 329, 所以直线��与平面����所成角的正切值最大为2 5 3 ,�项正确. 故选 BCD. 三、填空题:本大题共 3 小题,共 15 分。 12.已知平面�的法向量为� = (1, − 1, �),平面�的法向量为� = ( − 2,2,6),若�/ ​ /�,则实数� = . 【答案】−3 【解析】【分析】 根据平面的平行关系求出法向量的平行关系,根据向量平行得到关于�的方程,解出即可. 本题考查了平面的法向量,考查共线向量问题,是基础题. 【解答】 解:若�/ ​ /�,则� //� , 则 1 −2 = −1 2 = � 6,解得:� =− 3, 故答案为:−3. 13.已知正四棱柱���� − �1�1�1�1中,�� = 2,��1 = 3.若�是侧面���1�1内的动点,且�� ⊥ ��,则 �1� 的最小值为 . 【答案】 5 【解析】【分析】 本题主要考查了空间距离求解问题的应用,属于中档题. 以�为原点建立空间直角坐标系,由题意可得要使 �1� 最小,只需 �1� 最小,即 tan∠�1��1最大,进而 求出�1� = (� − 2,2, � − 3) = ( − 1 2 , 2, − 3 2 ),从而得出答案. 【解答】 解:如图,以�为原点建立空间直角坐标系, 设点� �,2, � ,� ∈ 0,2 , � ∈ 0, 3 , 第 11页,共 18页 则� 2,0,0 , � 0,2,0 , �1 2,2, 3 ,�1 2,0, 3 , ∴ �� = �,0, � , �� = �− 2,2, � , 又�� ⊥ ��得:�� ⋅ �� = �2 − 2�+ �2 = 0,即 �− 1 2 + �2 = 1; 又�1�1 ⊥平面���1�1,故∠�1��1为�1�与平面���1�1所成角,要使 �1� 最小,只需 �1� 最小,即 tan∠�1��1最大, 令� = 1 + cos�, � = sin�, � ∈ 0, � , ∴ tan∠�1��1 = �1�1 �1� = 2 �−2 2+ �− 3 2 = 2 cos�−1 2+ sin�− 3 2 = 2 5−4sin �+�6 , ∴当� = �3时,tan∠�1��1最大, 则�1� = (� − 2,2, � − 3) = ( − 1 2 , 2, − 3 2 ), 所以|�1� | = 1 4 + 4 + 3 4 = 5. 故答案为: 5. 14.在长方体���� − �1�1�1�1中,已知��1 = �� = 2�� = 2,�,�分别为��1,�1�1的中点,则平面�1���1 被三棱锥�1 − ���外接球截得的截面圆面积为 . 【答案】 9� 8 【解析】【分析】 本题考查三棱锥的处接球表面积及截面圆面积问题,属于较难题. 建立空间直角坐标系,利用向量坐标,可以证明�� ⊥ ��,取�为��中点,有�� = �� = �� = �1�,因此 点�为三棱锥�1 − ���外接球的球心,则� = 1 2 ��,球心�到平面�1���1的距离为 2ℎ = 1 4�1�,勾股定理可 得截面圆的半径为� = �2 − ℎ2,即得解. 【解答】 解:以点�为原点建立空间直角坐标系如图所示: 第 12页,共 18页 依题意得:� 0,2,0 ,� 1,2,1 ,� 0,1,2 , 则�� = −1,0, − 1 ,�� = −1, − 1,1 , 所以�� ⋅ �� = 1 + 0 − 1 = 0,则�� ⊥ ��; 设�为��中点,因为�� ⊥ ��则�� = �� = �� = �1�, 所以点�为三棱锥�1 − ���外接球的球心,则� = 1 2�� = 5 2 . 设球心�到平面�1���1的距离为ℎ,又因为�为��中点,所以点�到平面�1���1的距离为 2ℎ, 由于 2ℎ = 14�1� = 1 4 × 2 2 = 2 2 ,所以ℎ = 2 4 , 故截面圆的半径为� = �2 − ℎ2 = 98, 所以截面圆面积为 9� 8. 故答案为: 9� 8. 四、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。 15.(本小题 12 分) 已知向量� ,� ,� 满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4,求� ⋅ �. 【答案】解:∵向量� ,� ,� 满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4, (2� + � ) ⋅ � = 2� ·� + � ·� = (0, − 5,10)·(1, − 2, − 2) =− 10, 所以� ⋅ � =− 18. 可得:� ⋅ � =− 18. 【解析】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 由已知可得:(2� + � ) ⋅ � = 2� ·� + � ·� =− 10,即可得出. 16.(本小题 12 分) 如图,在正四棱锥� − ����中,�为底面中心,�� = �� = 3,�为��的中点,�� = 2��. 第 13页,共 18页 (1)求证:��/​ /平面���; (2)求直线��到平面���的距离. 【答案】解:(1)证明:在正四棱锥� − ����中,连接��,则�为��的中点,且�� ⊥ ��, 由于�� ⊥平面����,��,�� ⊂平面����, 所以�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,所以��,��,��两两垂直. 以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�轴、�轴、�轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为�� = 2��,故 E 为��靠近点�的三等分点, 由正四棱锥的性质可得,�� = ��,则�� = 3, 则�(3,0,0),�( − 3,0,0),�(0, − 3,0),�(0,3,0),�(0,0, 32 ),�(0,0,3),�(0,2,1), 所以�� = (0,3, 32 ),�� = (6,0,0),�� = ( − 3,2,1), 设平面���的法向量为� = (�, �, �), 则 � ⋅ �� = 6� = 0 � ⋅ �� =− 3� + 2� + � = 0 ,取� = 1,则� = 0,� =− 2, 则� = (0,1, − 2)为平面���的一个法向量, 第 14页,共 18页 因为�� ⋅ � = 3 − 3 = 0,所以�� ⊥ � , 又因为�� ⊄平面���,所以��/ ​ /平面���. (2)由(1)知��/ ​ /平面���, 所以直线��到平面���的距离即为点�到平面���的距离. 由(1)知�� = (3,3,0),平面���的一个法向量为� = (0,1, − 2), 所以点�到平面���的距离� = |�� ⋅� | |� | = 3 5 = 3 5 5 , 故直线��到平面���的距离为3 5 5 . 【解析】本题考查线面平行的向量表示,利用空间向量求线面的距离,属于中档题. (1)建立空间直角坐标系,求出平面���的法向量� ,根据�� ⋅ � = 0,即可证明结论; (2)由(1)知��/ ​ /平面���,所以直线��到平面���的距离即为点�到平面���的距离,利用向量方法求 解即可. 17.(本小题 12 分) 如图,四棱锥� − ����的底面是正方形,�� ⊥底面����,�为��的中点,�� = 23�� ,�� = �� = 2. (1)证明:�� ⊥ ��; (2)设平面��� ∩平面��� = �,求�与平面���所成角的正弦值. 【答案】解法一:(1) ∵ �� ⊥平面����,�� ⊥ ��,以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�,�, �轴建立如图所示的空间直角坐标系� − ���, 第 15页,共 18页 则 �(0,0,0),�( 43 , 0, 2 3 ),�(0,0,2),�(1,2,0), 所以�� = ( 43 , 0, 2 3 ),�� = (1,2, − 2), 所以�� ⋅ �� = 43 − 4 3 = 0, 所以�� ⊥ ��. (2)由正方形����得,��/ ​ /��, ∵ �� ⊂平面���,�� ⊄平面���, ∴ ��/ ​ /平面���; 又∵ �� ⊂平面���,平面��� ∩平面��� = �, ∴ ��//�, 于是��与平面���所成的角即为�与平面���所成的角. 由(1)知,�� = ( 43 , 0, 2 3 ), �� = (1,2,0) 设平面���的一个法向量� = (�, �, �),则 � ⋅ �� = 0 � ⋅ �� = 0 ,即 4 3 � + 2 3 � = 0 � + 2� = 0 , 取� = 2,则� =− 1,� =− 4, 于是� = (2, − 1, − 4)是平面���的一个法向量, 因为�� = (0,2,0),设�与平面���所成角为�, 则���� = |cos < �� , � > | = 22 4+1+16 = 21 21 . 解法二:(1)依题意,将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�, 如图所示,取��的中点�,连接��,��,在正方形����1中,延长��交��1于�,则△ ���∽△ ���. ∴ ���� = �� �� = 1 2,即�为��1的中点, ∴ �� ⊥ ��,即�� ⊥ ��, ∵ �� ⊥平面���,��//��,∴ �� ⊥平面���,又�� ⊂平面���, 第 16页,共 18页 ∴ �� ⊥ ��,又�� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,∴ �� ⊥平面���. ∵ �� ⊂平面���. ∴ �� ⊥ ��. (2)同解法一. 【解析】本题考查直线与平面垂直,直线与平面平行的判断定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查 空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题. 解法一:(1)以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�,�,�轴建立如图所示的空间直角坐标系� − ���, 通过�� ⋅ �� = 0,证明�� ⊥ ��. (2)证明��/​ /��,��/ ​ /�,说明��与平面���所成的角即为�与平面���所成的角.求出平面���的 一个法向量,求出�� = (0,2,0),利用空间向量的数量积求解即可. 解法二:(1)取��的中点�,连接��,��,在正方形����1中,延长��交��1于�,则△ ���∽△ ���.证 明�� ⊥ ��,即�� ⊥ ��,推出��//��,得到�� ⊥平面���,证明�� ⊥平面���,推出�� ⊥ ��. (2)同解法一. 18.(本小题 12 分) 如图所示,已知△ ���是边长为 6 的等边三角形,点�,�分别是边��,��的三等分点,且�� = 13��,�� = 1 3��,沿��将△ ���折起到△ �′��的位置,使∠�′�� = 90 ∘. (1)求证:�′� ⊥平面����; (2)在线段��上是否存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 ,若存在,设�� = ��� (� > 0),求�的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1)证明:因为∠�′�� = 90∘,所以�′� ⊥ ��, 在△ �′��中,�′� = �� = 13�� = 2,�′� = �� = 2 3 �� = 4, 由余弦定理得:��2 = �′�2 + �′�2 − 2�′� ⋅ �′�cos 60∘ = 4 + 16 − 2 × 2 × 4 × 12 = 12, 第 17页,共 18页 所以�� = 2 3,则�′�2 +��2 = �′�2, 由勾股定理逆定理得:�′� ⊥ ��, 因为�� ∩�� = �,��,�� ⊂平面����,所以�′� ⊥平面����; (2)由(1)可知��,��,��′两垂直,所以以�为原点,��,��,��′所在的直线分别为�, �, �轴,建立空间 直角坐标系,如图所示, 则�(0,0,0), �(0,2 3, 0), �(4,0,0), �′(0,0,2), �(1,3 3, 0), 所以�� = (0,2 3, 0), ��′ = (0,0,2), ��′ = (0, − 2 3, 2), �� = ( − 3,3 3, 0), 因为�� ⊥ ��,�� ⊥ �′�,�� ∩ ��′ = �,��,��′ ⊂平面�′��, 所以�� ⊥平面�′��,所以�� = (0,2 3, 0)为平面�′��的一个法向量, 假设线段��上存在点�,设�� = ��� � > 0 ,则�� = �( − 3,3 3, 0) = ( − 3�, 3 3�, 0), 所以�(4 − 3�, 3 3�, 0)(0 < � ≤ 1),所以�′� = (4 − 3�, 3 3�, − 2), 设平面�′��的法向量为� = (�, �, �),则 � ⋅ ��′ =− 2 3� + 2� = 0 � ⋅ �′� = (4 − 3�)� + 3 3�� − 2� = 0 , 令� = 3,则� = 2 3−3 3�4−3� , 1, 3 , 因为平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 所以 cos � , �� = � ⋅�� � �� = 2 3 2 3⋅ 2 3−3 3�4−3� 2 +1+3 = 3913 , 化简得 3(63�2 − 132� + 76) = 13(4 − 3�)2,18�2 − 21� + 5 = 0,解得� = 13或� = 5 6, 第 18页,共 18页 所以在线段��上是存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 , 此时� = 13或� = 5 6. 【解析】本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题. (1)用余弦定理求出��的长,进而用勾股定理逆定理得到�′� ⊥ ��,从而证明出线面垂直; (2)建立空间直角坐标系,假设存在点�,设�� = ��� � > 0 ,�� = (0,2 3, 0)为平面�′��的一个法向 量,再求出平面�′��的法向量,用向量夹角公式求解出答案. 2023级高二第一学期数学统一作业4 姓名: 班级: 考场/座位号: 注意事项 1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚,并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时,必须用2B铅笔,并描浓。 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 (正面朝上,切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 客观题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 16. 17. 18.

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安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二上学期数学统一作业4
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