内容正文:
绝密★启用前
2023级高二第一学期数学统一作业4
命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩
考试说明:1.考查范围:选择性必修第一册第一章.
2.试卷分值:130分;考试时间:100分钟.
3.所有答案均要答在答题卷上,否则无效. 考试结束后只交答题卷.
第I卷(选择题)
一、单选题:本大题共8小题,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个命题中,正确的是( )
A. 若,则三点共线
B.
C. 为直角三角形的充要条件是
D. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
2.在三棱锥中,,为上的点,且,则( )
A. B.
C. D.
3.已知,,,若,,三向量共面,则实数等于( )
A. B. C. D.
4.定义,若向量,向量为单位向量,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在空间直角坐标系中,一束光线从点发出,被平面反射,到达点之后被吸收,则光线所走的路程为( )
A. B. C. D.
6.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线方程为已知:在空间直角坐标系中,,经过点的平面的方程为,经过点的直线方程为,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图,在棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心,为线段上一点,则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 若平面,则
C. 若平面,则三棱锥 外接球的表面积为
D. 若为线段的中点,且,则
二、多选题:本大题共3小题,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.从点出发,沿着向量方向取点,使,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.在正三棱柱中,点满足,其中,则( )
A. 棱 B. 平面
C. D.
11.在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面内四边形的内部且包括边界的动点,且,则下列说法正确的有( )
A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为
C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为
第II卷(非选择题)
三、填空题:本大题共3小题,共15.0分。
12.已知平面的法向量为,平面的法向量为,若,则实数 .
13.已知正四棱柱中,,若是侧面内的动点,且,则的最小值为 .
14.在长方体中,已知,,分别为,的中点,则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 .
四、解答题:本大题共4小题,共57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知向量,,满足,,且,求.
16.本小题分
如图,在正四棱锥中,为底面中心,,为的中点,.
求证:平面;
求直线到平面的距离.
17.本小题分
如图,四棱锥的底面是正方形,底面,为的中点,,.
证明:;
设平面平面,求与平面所成角的正弦值.
18.本小题分
如图所示,已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的三等分点,且,,沿将折起到的位置,使.
求证:平面
在线段上是否存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为,若存在,设,求的值若不存在,说明理由.
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绝密★启用前
2023级高二第一学期数学统一作业 4
命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩
考试说明:1.考查范围:选择性必修第一册第一章.
2.试卷分值:130 分;考试时间:100 分钟.
3.所有答案均要答在答题卷上,否则无效.考试结束后只交答题卷.
第 I卷(选择题)
一、单选题:本大题共 8小题,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个命题中,正确的是( )
A.若�� = 12��
+ 13��
,则�, �, �三点共线
B. � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣
C. ▵���为直角三角形的充要条件是�� ⋅ �� = 0
D.若 � , � , � 为空间的一个基底,则 � + � , � + � , � + � 构成空间的另一个基底
2.在三棱锥� − ���中,�� = � , �� = � , �� = � ,�为��上的点,且�� = 4�� ,则�� =( )
A. � − 12 �
+ 14 � B.
3
4 � +
1
4 �
− �
C. 12 � +
1
4 �
− 13 � D.
1
4� +
2
3�
+ �
3.已知� = (2, − 1,3),� = ( − 1,4, − 2),� = (1,3, �),若� ,� ,� 三向量共面,则实数�等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.定义� ⊗� = � 2 − � ⋅ � ,若向量� = (1, − 2,2),向量� 为单位向量,则� ⊗ � 的取值范围是( )
A. [6,12] B. [0,6] C. [ − 1,5] D. [0,12]
5.在空间直角坐标系� − ���中,一束光线从点�(2, − 1,3)发出,被平面���反射,到达点�(1,1,2)之后被吸
收,则光线所走的路程为( )
A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 14
6.三棱柱��� − �1�1�1中,底面边长和侧棱长都相等,∠���1 = ∠���1 = 60∘,则异面直线��1与��1所成
角的余弦值为( )
A. 66 B.
3
3 C.
2
2 D.
6
3
第 2页,共 4页
7.在空间直角坐标系����中,经过点�(�0, �0, �0)且法向量为� = (�, �, �)的平面方程为�(� − �0) + �(� −
�0) + �(� − �0) = 0,经过点�(�0, �0, �0)且一个方向向量为� = (�, �, �)(��� ≠ 0)的直线�方程为
�−�0
� =
�−�0
� =
�−�0
� .已知:在空间直角坐标系����中,�(0,0,1),经过点�的平面�的方程为� + � + 2� − 2 = 0,经
过点�的直线�方程为�2 = � = 1 − �,则直线�与平面�所成角的正弦值为( )
A. 16 B.
1
5 C.
5
6 D.
11
14
8.如图,在棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心,�为线段��上一点,则下
列说法正确的是( )
A. �� + ��的最小值为 2 B.若�� ⊥平面���,则�� = 64 ��
C.若�� ⊥平面���,则三棱锥� − ���外接球的表面积为9�2
D.若�为线段��的中点,且��//��,则�� = 25��
二、多选题:本大题共 3小题,共 18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的。全部选对
的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9.从点�(1,2,3)出发,沿着向量� = ( − 4, − 1,8)方向取点�,使|��| = 18,则�点的坐标为( )
A. ( − 1, − 2,3) B. (9,4, − 13) C. ( − 7,0,19) D. (1, − 2, − 3)
10.在正三棱柱��� − �1�1�1中,点�满足�� =
1
2��
+ ���1 ,其中� ∈ [0,1],则( )
A. � ∈棱��1 B. � ∈平面���1�1
C. ��//��1 D. �� ⊥ ��
11.在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�是棱��的中点,点�是底面�1�1�1�1内(四边形�1�1�1�1
的内部且包括边界)的动点,且�� ⊥ �1�,则下列说法正确的有( )
A.动点�的轨迹是一段圆弧 B.动点�的轨迹长度为 5
C.线段��长度的最小值为 1455 D.直线��与平面����所成角的正切值最大为
2 5
3
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第 II卷(非选择题)
三、填空题:本大题共 3小题,共 15.0分。
12.已知平面�的法向量为� = (1, − 1, �),平面�的法向量为� = ( − 2,2,6),若�//�,则实数� = .
13.已知正四棱柱���� − �1�1�1�1中,�� = 2,��1 = 3.若�是侧面���1�1内的动点,且�� ⊥ ��,则
�1� 的最小值为 .
14.在长方体���� − �1�1�1�1中,已知��1 = �� = 2�� = 2,�,�分别为��1,�1�1的中点,则平面�1���1
被三棱锥�1 − ���外接球截得的截面圆面积为 .
四、解答题:本大题共 4小题,共 57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分 )
已知向量� ,� ,� 满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4,求� ⋅ � .
16.(本小题 14 分)
如图,在正四棱锥� − ����中,�为底面中心,�� = �� = 3,�为��的中点,�� = 2�� .
(1)求证:��//平面���;
(2)求直线��到平面���的距离.
第 4页,共 4页
17.(本小题 15 分)
如图,四棱锥� − ����的底面是正方形,�� ⊥底面����,�为��的中点,�� = 23��
,�� = �� = 2.
(1)证明:�� ⊥ ��;
(2)设平面��� ∩平面��� = �,求�与平面���所成角的正弦值.
18.(本小题 15 分)
如图所示,已知△ ���是边长为 6 的等边三角形,点�,�分别是边��,��的三等分点,且�� = 13��,�� =
1
3��,沿��将△ ���折起到△ �′��的位置,使∠�′�� = 90
∘.
(1)求证:�′� ⊥平面����;
(2)在线段��上是否存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 ,若存在,设��
=
��� (� > 0),求�的值;若不存在,说明理由.
绝密★启用前
2023级高二第一学期数学统一作业4
命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本大题共8小题,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个命题中,正确的是( )
A. 若,则三点共线
B.
C. 为直角三角形的充要条件是
D. 若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查利用向量判断三点共线,及基底的概念,考查数量积的运算,考查利用空间向量判断三角形形状.
由向量共线判断;由平面向量的数量积判断,假设,则,判断.
【解答】
解:若,因为,则,,三点不共线,故错误;
因为,
当两个向量不线时,故错误;
三角形是直角三角形,不一定是即,
也可能是或,故错误.
已知向量是空间的一个基底,
假设,
则,
所以无解,则空间向量不共线,
所以构成空间的另一个基底,所以正确;
故选D.
2.在三棱锥中,,为上的点,且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算,属于基础题.
利用空间向量的线性运算求解即可.
【解答】
解:,
.
故选B.
3.已知,,,若,,三向量共面,则实数等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理的应用,属于基础题.
由题意,,三向量共面,可得存在实数,使得 ,可得 ,即可解得 .
【解答】解:由题意,,三向量共面,可得 ,
即
,
所以
解得 .
故选A.
4.定义,若向量,向量为单位向量,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的运算,属于基础题.
根据新定义与空间向量的数量积,模长运算,计算 ,根据 的范围即可求解.
【解答】
解:设向量 与 的夹角为 , , ,
.
又 , , , .
故选A.
5.在空间直角坐标系中,一束光线从点发出,被平面反射,到达点之后被吸收,则光线所走的路程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间坐标关于坐标平面的对称点问题,考查空间两点间的距离公式,属于基础题.
求出点关于平面的对称点,再求出的长度即可.
【解答】
解:点关于平面的对称点,
由于点,
所以线所走的路程为.
故选D.
6.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角,考查学生的计算能力,属于中档题.
先选一组基底,将两条异面直线的方向向量用基底表示,然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可.
【解答】
解:如图,
设,,,棱长均为,
则 ,,,
,,
,
,
,
,
异面直线与所成角的余弦值为,
故选A.
7.在空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线方程为已知:在空间直角坐标系中,,经过点的平面的方程为,经过点的直线方程为,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面成角问题,属于中档题.
根据题意,求出平面的法向量,直线的方向向量,再计算直线与平面所成角的正弦值即可.
【解答】
解:由题意知,平面的方程为,直线方程为,
所以平面的法向量为,直线的方向向量为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选A.
8.如图,在棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心,为线段上一点,则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若平面,则
C. 若平面,则三棱锥 外接球的表面积为
D. 若为线段的中点,且,则
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的性质,以及利用向量法解决几何问题的方法,几何体的外接球问题,属于中档题.
选项由线面垂直证得,,进而由点与点重合时即可判断;选项利用内切球求得即可判断;选项找到球心,由勾股定理求得半径,即可判断;选项由空间向量的线性运算即可判断.
【解答】
解:由题意棱长为的正四面体中,点,分别为和的重心,
所以平面,又平面,
所以,.
则当点与点重合时,取得最小值,
又,
则最小值为,A错误.
在正四面体中,因为平面,易得在上,所以,又点,也分别是和的内心,
则点为正四面体内切球的球心.
,.
设正四面体内切球的半径为,
因为,
所以,
解得,即,故,B错误.
设三棱锥外接球的球心为,半径为,易得球心在直线上,且,则,即,
解得,故三棱锥外接球的表面积为,C错误.
若为线段的中点,则,.
设,则.
因为,
所以设,则,解得
故,D正确.
故选D.
二、多选题:本大题共3小题,共18分。
9.从点出发,沿着向量方向取点,使,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示及模,属于基础题.
由题意知,,故可设,由向量的相等求出点坐标.
【解答】
解:设,则,
即.
由得,
所以,
所以,
所以或
则点的坐标为或,
故选BC.
10.在正三棱柱中,点满足,其中,则( )
A. 棱 B. 平面
C. D.
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定及性质,空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题.
取得中点,由,得,即可判断;通过证明平面,即可判断.
【解答】
解:取的中点,的中点,连接,,,如图:
由,
得,,
所以时,与重合;
时,与重合,此时;
时,,故A错误,B正确;C错误;
在正三棱柱中,
时,,即;
时,因为平面,平面,
所以,又,所以,
又,,平面,,
所以平面,又平面,
所以,故D正确.
11.在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点是底面内四边形的内部且包括边界的动点,且,则下列说法正确的有( )
A. 动点的轨迹是一段圆弧
B. 动点的轨迹长度为
C. 线段长度的最小值为
D. 直线与平面所成角的正切值最大为
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量垂直关系的向量表示,考查了空间向量法求直线与平面所成角,动点轨迹问题,属中档题.
以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,先设动点,,,通过向量垂直关系得到坐标间的关系是,可判断轨迹,的轨迹长度和线段长度的最小值可转为二次函数问题求解;最后运用空间向量夹角公式求直线与平面所成角的最值。
【解答】
解:由题意,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,,.
设,,,
则,.
由,可知,即.
记,的中点为,可知点在直线上,易知,
所以项错误,项正确.
因为,所以
,
所以的最小值为,所以项正确.
平面的一个法向量可以取,
因为,
设直线与平面所成角为,,
所以,
,
则,
所以直线与平面所成角的正切值最大为,项正确.
故选BCD.
三、填空题:本大题共3小题,共15分。
12.已知平面的法向量为,平面的法向量为,若,则实数 .
【答案】
【解析】【分析】
根据平面的平行关系求出法向量的平行关系,根据向量平行得到关于的方程,解出即可.
本题考查了平面的法向量,考查共线向量问题,是基础题.
【解答】
解:若,则,
则,解得:,
故答案为:.
13.已知正四棱柱中,,若是侧面内的动点,且,则的最小值为 .
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间距离求解问题的应用,属于中档题.
以为原点建立空间直角坐标系,由题意可得要使最小,只需最小,即最大,进而求出,从而得出答案.
【解答】
解:如图,以为原点建立空间直角坐标系,
设点,
则,,
,
又得:即;
又平面,故为与平面所成角,要使最小,只需最小,即最大,
令,
,
当时,最大,
则,
所以
故答案为:.
14.在长方体中,已知,,分别为,的中点,则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 .
【答案】
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的处接球表面积及截面圆面积问题,属于较难题.
建立空间直角坐标系,利用向量坐标,可以证明,取为中点,有,因此点为三棱锥外接球的球心,则,球心到平面的距离为,勾股定理可得截面圆的半径为,即得解.
【解答】
解:以点为原点建立空间直角坐标系如图所示:
依题意得:,,,
则,,
所以,则;
设为中点,因为则,
所以点为三棱锥外接球的球心,则.
设球心到平面的距离为,又因为为中点,所以点到平面的距离为,
由于,所以,
故截面圆的半径为,
所以截面圆面积为.
故答案为:.
四、解答题:本大题共4小题,共48分。
15.本小题分
已知向量,,满足,,且,求.
【答案】解:向量,,满足,,且,
,
所以.
可得:.
【解析】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
由已知可得:,即可得出.
16.本小题分
如图,在正四棱锥中,为底面中心,,为的中点,.
求证:平面;
求直线到平面的距离.
【答案】解:证明:在正四棱锥中,连接,则为的中点,且,
由于平面,,平面,
所以,,所以,,两两垂直.
以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,故E为靠近点的三等分点,
由正四棱锥的性质可得,,则,
则,,,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,取,则,,
则为平面的一个法向量,
因为,所以,
又因为平面,所以平面.
由知平面,
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
由知,平面的一个法向量为,
所以点到平面的距离,
故直线到平面的距离为.
【解析】本题考查线面平行的向量表示,利用空间向量求线面的距离,属于中档题.
建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,根据,即可证明结论;
由知平面,所以直线到平面的距离即为点到平面的距离,利用向量方法求解即可.
17.本小题分
如图,四棱锥的底面是正方形,底面,为的中点,,.
证明:;
设平面平面,求与平面所成角的正弦值.
【答案】解法一:平面,,以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,,,,
所以,,
所以,
所以.
由正方形得,,
平面,平面,
平面;
又平面,平面平面,
,
于是与平面所成的角即为与平面所成的角.
由知,
设平面的一个法向量,则,即,
取,则,,
于是是平面的一个法向量,
因为,设与平面所成角为,
则.
解法二:依题意,将几何体补形为一个棱长为的正方体,
如图所示,取的中点,连接,,在正方形中,延长交于,则∽.
,即为的中点,
,即,
平面,,平面,又平面,
,又,,平面,平面.
平面.
.
同解法一.
【解析】本题考查直线与平面垂直,直线与平面平行的判断定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题.
解法一:以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,通过,证明.
证明,,说明与平面所成的角即为与平面所成的角.求出平面的一个法向量,求出,利用空间向量的数量积求解即可.
解法二:取的中点,连接,,在正方形中,延长交于,则∽证明,即,推出,得到平面,证明平面,推出.
同解法一.
18.本小题分
如图所示,已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的三等分点,且,,沿将折起到的位置,使.
求证:平面
在线段上是否存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为,若存在,设,求的值若不存在,说明理由.
【答案】证明:因为,所以,
在中,,,
由余弦定理得:,
所以,则,
由勾股定理逆定理得:,
因为,平面,所以平面;
由可知两垂直,所以以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则,
所以,
因为,,平面,
所以平面,所以为平面的一个法向量,
假设线段上存在点,设,则,
所以,所以,
设平面的法向量为,则
令,则,
因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为
所以,
化简得,,解得或,
所以在线段上是存在点,使平面与平面所成锐二面角的余弦值为,
此时或.
【解析】本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题.
用余弦定理求出的长,进而用勾股定理逆定理得到,从而证明出线面垂直;
建立空间直角坐标系,假设存在点,设,为平面的一个法向量,再求出平面的法向量,用向量夹角公式求解出答案.
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绝密★启用前
2023 级高二第一学期数学统一作业 4
命题人:吴丽娟 审题人:王倩倩
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答
案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回
答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本大题共 8 小题,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个命题中,正确的是( )
A.若�� = 12��
+ 13��
,则�, �, �三点共线
B. � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣
C. ▵���为直角三角形的充要条件是�� ⋅ �� = 0
D.若 � , � , � 为空间的一个基底,则 � + � , � + � , � + � 构成空间的另一个基底
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查利用向量判断三点共线,及基底的概念,考查数量积的运算,考查利用空间向量判断三角形形状.
由向量共线判断�;由平面向量的数量积判断��,假设 � + � = �1 � + � + �2 � + � = �1� + �1 + �2 � +
�2� ,则
�1 = 1
�1 + �2 = 0
�2 = 1
,判断�.
【解答】
解:�:若�� = 12��
+ 13��
,因为12+
1
3 ≠ 1,则�,�,�三点不共线,故错误;
�:因为|(� ⋅ � ) ⋅ � | = |� | ⋅ |� | ⋅ cos � , � ·� = |� | ⋅ |� | ⋅ cos � , � · � ,
当两个向量不线时 cos � , � ≠ 1,故 � ⋅ � ⋅ � = � ⋅ � ⋅ � ∣错误;
�:三角形���是直角三角形,不一定是�� ·�� = 0 即∠� = 90°,
也可能是∠� = 90°或∠� = 90°,故错误.
� :已知向量 �
→
, �
→
, �
→
是空间的一个基底,
假设 � + � = �1 � + � + �2 � + � = �1� + �1 + �2 � + �2� ,
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则
�1 = 1
�1 + �2 = 0
�2 = 1
,
所以无解,则空间向量� + � , � + � , � + � 不共线,
所以 �
→
+ �
→
, �
→
+ �
→
, �
→
+ �
→
构成空间的另一个基底,所以正确;
故选 D.
2.在三棱锥� − ���中,�� = � , �� = � , �� = � ,�为��上的点,且�� = 4�� ,则�� =( )
A. � − 12 �
+ 14 � B.
3
4 � +
1
4 �
− �
C. 12 � +
1
4 �
− 13 � D.
1
4� +
2
3�
+ �
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算,属于基础题.
利用空间向量的线性运算求解即可.
【解答】
解:∵ �� = 4�� ,
∴ �� = �� + �� = (�� − �� ) +
3
4��
= (�� − �� ) +
3
4 (��
− �� )
= � − � +
3
4� −
3
4�
= 34 � +
1
4�
− � .
故选 B.
3.已知� = (2, − 1,3),� = ( − 1,4, − 2),� = (1,3, �),若� ,� ,� 三向量共面,则实数�等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面定理的应用,属于基础题.
由题意� ,� ,� 三向量共面,可得存在实数�,�使得 � = �� + �� ,可得
2� − � = 1
−� + 4� = 3
3� − 2� = �
,即可解得
� = 1
� = 1
� = 1
.
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【解答】解:由题意� ,� ,� 三向量共面,可得 � = �� + �� (�, � ∈ �),
即 (1,3, �) = �(2, − 1,3) + �( − 1,4, − 2)
= (2� − �, − � + 4�, 3� − 2�),
所以
2� − � = 1
−� + 4� = 3
3� − 2� = �
,
解得
� = 1
� = 1
� = 1
.
故选 A.
4.定义� ⊗� = � 2 − � ⋅ � ,若向量� = (1, − 2,2),向量� 为单位向量,则� ⊗ � 的取值范围是( )
A. [6,12] B. [0,6] C. [ − 1,5] D. [0,12]
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的运算,属于基础题.
根据新定义与空间向量的数量积,模长运算,计算 � ⊗ � = 9 − 3 cos �,根据 cos �的范围即可求解.
【解答】
解:设向量 � 与 � 的夹角为 �, ∵ | � | = 3,| � | = 1,
∴ � ⊗ � = |� |2 − � ⋅ � = |� |2 − | � || � | cos � = 9 − 3 cos �.
又 � ∈ [0, �], ∴ cos � ∈ [ − 1,1], ∴ � ⊗ � ∈ [6,12].
故选 A.
5.在空间直角坐标系� − ���中,一束光线从点�(2, − 1,3)发出,被平面���反射,到达点�(1,1,2)之后被吸
收,则光线所走的路程为( )
A. 2 2 B. 10 C. 2 3 D. 14
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间坐标关于坐标平面的对称点问题,考查空间两点间的距离公式,属于基础题.
求出点�(1,1,2)关于平面���的对称点�′,再求出��′的长度即可.
【解答】
解:点�(1,1,2)关于平面���的对称点�′( − 1,1,2),
由于点�(2, − 1,3),
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所以线所走的路程为��′ = (2 + 1)2 + ( − 1 − 1)2 + (3 − 2)2 = 14.
故选 D.
6.三棱柱��� − �1�1�1中,底面边长和侧棱长都相等,∠���1 = ∠���1 = 60∘,则异面直线��1与��1所成
角的余弦值为( )
A. 66 B.
3
3 C.
2
2 D.
6
3
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成的角,考查学生的计算能力,属于中档题.
先选一组基底,将两条异面直线的方向向量用基底表示,然后利用夹角公式求异面直线��1与��1所成角的
余弦值即可.
【解答】
解:如图,
设 ��1 =� , �� =� , �� =� ,棱长均为 1,
则 � ⋅� =12 ,
� ⋅� =12
, � ⋅� =12,
∵��1 =� +� , ��1 =� −� +� ,
∴��1 ⋅��1 =(� +� )·(� −� +� )=
1
2 − 1+
1
2+
1
2 −
1
2 + 1 = 1,
|��1 |= (� +� )2=
� 2+2� ⋅� +� 2= 1+1+1= 3,
|��1 |= (� −� +� )2=
1+1+1−1+1−1= 2,
∴ cos<��1 ,��1 >= 66 ,
∴异面直线��1与��1所成角的余弦值为
6
6
,
故选 A.
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7.在空间直角坐标系����中,经过点�(�0, �0, �0)且法向量为� = (�, �, �)的平面方程为�(� − �0) + �(� −
�0) + �(� − �0) = 0,经过点�(�0, �0, �0)且一个方向向量为� = (�, �, �)(��� ≠ 0)的直线�方程为
�−�0
� =
�−�0
� =
�−�0
� .已知:在空间直角坐标系����中,�(0,0,1),经过点�的平面�的方程为� + � + 2� − 2 = 0,经
过点�的直线�方程为�2 = � = 1 − �,则直线�与平面�所成角的正弦值为( )
A. 16 B.
1
5 C.
5
6 D.
11
14
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面成角问题,属于中档题.
根据题意,求出平面�的法向量,直线�的方向向量,再计算直线�与平面�所成角的正弦值即可.
【解答】
解:由题意知,平面�的方程为� + � + 2(� − 1) = 0,直线�方程为�−02 =
�−0
1 =
�−1
−1,
所以平面�的法向量为� = (1,1,2),直线�的方向向量为� = (2,1, − 1),
所以直线�与平面�所成角的正弦值为 |� ⋅� ||� |⋅|� | =
1
6⋅ 6 =
1
6.
故选 A.
8.如图,在棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心,�为线段��上一点,则下
列说法正确的是( )
A. �� + ��的最小值为 2
B.若�� ⊥平面���,则�� = 64 ��
C.若�� ⊥平面���,则三棱锥� − ���外接球的表面积为9�2
D.若�为线段��的中点,且��//��,则�� = 25��
【答案】D
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【解析】【分析】
本题考查空间几何体的性质,以及利用向量法解决几何问题的方法,几何体的外接球问题,属于中档题.
�选项由线面垂直证得�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,进而由点�与点�重合时即可判断;�选项利用内切球求得�� =
3
4��即可判断;�选项找到球心,由勾股定理求得半径,即可判断;�选项由空间向量的线性运算即可判断.
【解答】
解:由题意棱长为 2 的正四面体����中,点�,�分别为▵���和▵���的重心,
所以�� ⊥平面���,又��, �� ⊂平面���,
所以�� ⊥ ��,�� ⊥ ��.
则当点�与点�重合时,�� + ��取得最小值,
又�� = �� = �� = 23�� =
2
3 × 2
2 − 12 = 2 33 ,
则最小值为�� + �� = 4 33 ,A 错误.
在正四面体����中,因为�� ⊥平面���,易得�在��上,所以�� ∩ �� = �,
又点�,�也分别是▵���和▵���的内心,
则点�为正四面体����内切球的球心.
�� = 23�� =
2 3
3
,�� = ��2 − ��2 = 2 63 .
设正四面体����内切球的半径为�,
因为��−��� = ��−��� + ��−��� + ��−��� + ��−���,
所以
1
3 �▵��� ⋅ �� =
1
3 �▵��� ⋅ � +
1
3 �▵��� ⋅ � +
1
3 �▵��� ⋅ � +
1
3 �▵��� ⋅ �,
解得� = �� = ��4 =
6
6
,即�� = 34��,故��
= 34��
,B 错误.
设三棱锥� − ���外接球的球心为�,半径为�,易得球心�在直线��上,且�� ⊥ ��,则�2 = ��2 = ��2 +
(�� − ��)2,即�2 = 2 33
2
+ � − 66
2
,
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解得� = 3 64 ,故三棱锥� − ���外接球的表面积为 4��
2 = 27�2 ,C 错误.
若�为线段��的中点,则�� = 12�� =
1
6��,��
= �� + 16��
= 13��
+ 16��
+ 16��
= 16��
+ 16��
= 14��
+
1
6��
.
设�� = ��� ,则�� = �� + ��� = �� + ��� + ��� = (1 − �)�� + ��� .
因为��//��,
所以设�� = ��� ,则
1
4 = (1 − �)�
1
6 = ��
,解得
� = 25
� = 512
,
故�� = 25��,D 正确.
故选 D.
二、多选题:本大题共 3 小题,共 18 分。
9.从点�(1,2,3)出发,沿着向量� = ( − 4, − 1,8)方向取点�,使|��| = 18,则�点的坐标为( )
A. ( − 1, − 2,3) B. (9,4, − 13) C. ( − 7,0,19) D. (1, − 2, − 3)
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示及模,属于基础题.
由题意知,�� = �� ,故可设�(�0, �0, �0),由向量的相等求出�点坐标.
【解答】
解:设�(�0, �0, �0),则�� = �� ,
即(�0 − 1, �0 − 2, �0 − 3) = �( − 4, − 1,8).
由|��| = 18 得 ( − 4�)2 + ( − �)2 + (8�)2 = 18,
所以� =± 2,
所以(�0 − 1, �0 − 2, �0 − 3) =± 2( − 4, − 1,8),
所以
�0 =− 7
�0 = 0
�0 = 19
或
�0 = 9
�0 = 4
�0 =− 13
,
则�点的坐标为( − 7,0,19)或(9,4, − 13),
故选 BC.
10.在正三棱柱��� − �1�1�1中,点�满足�� =
1
2��
+ ���1 ,其中� ∈ [0,1],则( )
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A. � ∈棱��1 B. � ∈平面���1�1
C. ��//��1 D. �� ⊥ ��
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定及性质,空间向量的加减运算及数乘运算,属于中档题.
取��得中点�,由�� = 12��
+ ���1 ,得���1 = �� ,即可判断���;通过证明�� ⊥平面���,即可判断�.
【解答】
解:取��的中点�,�1�1的中点�1,连接��,��,��,如图:
由�� = 12��
+ ���1 ,
得���1 = �� −
1
2��
= �� − �� = �� ,� ∈ [0,1],
所以� = 0 时,�与�重合;
� = 1 时,�与�1重合,此时��//��1;
0 < � < 1 时,��//��1,故 A 错误,B 正确;C 错误;
在正三棱柱��� − �1�1�1中,
� = 0 时,�� ⊥ ��,即�� ⊥ ��;
� ≠ 0 时,因为��1 ⊥平面���,�� ⊂平面���,
所以�� ⊥ ��1,又��//��1,所以�� ⊥ ��,
又�� ⊥ ��,��,�� ⊂平面���,�� ∩ �� = �,
所以�� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,
所以�� ⊥ ��,故 D 正确.
第 9页,共 18页
11.在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�是棱��的中点,点�是底面�1�1�1�1内(四边形�1�1�1�1
的内部且包括边界)的动点,且�� ⊥ �1�,则下列说法正确的有( )
A.动点�的轨迹是一段圆弧
B.动点�的轨迹长度为 5
C.线段��长度的最小值为 1455
D.直线��与平面����所成角的正切值最大为2 53
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量垂直关系的向量表示,考查了空间向量法求直线与平面所成角,动点轨迹问题,属中
档题.
以�1为坐标原点,�1�1,�1�1,�1�所在直线分别为�轴、�轴、�轴建立空间直角坐标系,先设动点�(�0, �0, 0),
�0,�0 ∈ 0,2 ,通过向量垂直关系得到坐标间的关系是 2�0 + �0 − 2 = 0,可判断�轨迹,�的轨迹长度和
线段��长度的最小值可转为二次函数问题求解;最后运用空间向量夹角公式求直线与平面所成角的最值。
【解答】
解:由题意,以�1为坐标原点,�1�1,�1�1,�1�所在直线分别为�轴、�轴、�轴建立空间直角坐标系,如
图所示,
则�1(0,0,0),�(0,2,2),�1(0,2,0),�(0,0,2),�(2,0,2),�(2,2,2),�(2,1,2).
设�(�0, �0, 0),�0,�0 ∈ 0,2 ,
则�� = (2,1,0),�1� = (�0, �0 − 2,0).
由�� ⊥ �1� ,可知�� ⋅ �1� = 0,即 2�0 + �0 − 2 = 0.
记�1,�1的中点为�,可知点�在直线�1�上,易知|�1�| = 5,
所以�项错误,�项正确.
因为 0⩽�0⩽1,所以
|��|2 = (�0 − 2)2 + (�0 − 1)2 + (0 − 2)2 = (�0 − 2)2 + (2 − 2�0 −
1)2 + 4
= 5�02 − 8�0 + 9 = 5(�0 −
4
5 )
2 + 295 ≥
29
5,
所以|��|的最小值为 145
5
,所以�项正确.
平面����的一个法向量可以取� = (0,0,1),
第 10页,共 18页
因为�� = (�0 − 2,1 − 2�0, − 2),
设直线��与平面����所成角为�,� ∈ 0, �2 ,
所以 sin� = |cos < �� ,� > | =
−2
�� �
= 2
5(�0−
4
5)
2+295
≤ 2 529,
则 cos�⩾ 329,
所以直线��与平面����所成角的正切值最大为2 5
3
,�项正确.
故选 BCD.
三、填空题:本大题共 3 小题,共 15 分。
12.已知平面�的法向量为� = (1, − 1, �),平面�的法向量为� = ( − 2,2,6),若�/ /�,则实数� = .
【答案】−3
【解析】【分析】
根据平面的平行关系求出法向量的平行关系,根据向量平行得到关于�的方程,解出即可.
本题考查了平面的法向量,考查共线向量问题,是基础题.
【解答】
解:若�/ /�,则� //� ,
则
1
−2 =
−1
2 =
�
6,解得:� =− 3,
故答案为:−3.
13.已知正四棱柱���� − �1�1�1�1中,�� = 2,��1 = 3.若�是侧面���1�1内的动点,且�� ⊥ ��,则
�1� 的最小值为 .
【答案】 5
【解析】【分析】
本题主要考查了空间距离求解问题的应用,属于中档题.
以�为原点建立空间直角坐标系,由题意可得要使 �1� 最小,只需 �1� 最小,即 tan∠�1��1最大,进而
求出�1� = (� − 2,2, � − 3) = ( −
1
2 , 2, −
3
2 ),从而得出答案.
【解答】
解:如图,以�为原点建立空间直角坐标系,
设点� �,2, � ,� ∈ 0,2 , � ∈ 0, 3 ,
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则� 2,0,0 , � 0,2,0 , �1 2,2, 3 ,�1 2,0, 3 ,
∴ �� = �,0, � , �� = �− 2,2, � ,
又�� ⊥ ��得:�� ⋅ �� = �2 − 2�+ �2 = 0,即 �− 1 2 + �2 = 1;
又�1�1 ⊥平面���1�1,故∠�1��1为�1�与平面���1�1所成角,要使 �1� 最小,只需 �1� 最小,即
tan∠�1��1最大,
令� = 1 + cos�, � = sin�, � ∈ 0, � ,
∴ tan∠�1��1 =
�1�1
�1�
= 2
�−2 2+ �− 3
2
= 2
cos�−1 2+ sin�− 3
2
= 2
5−4sin �+�6
,
∴当� = �3时,tan∠�1��1最大,
则�1� = (� − 2,2, � − 3) = ( −
1
2 , 2, −
3
2 ),
所以|�1� | =
1
4 + 4 +
3
4 = 5.
故答案为: 5.
14.在长方体���� − �1�1�1�1中,已知��1 = �� = 2�� = 2,�,�分别为��1,�1�1的中点,则平面�1���1
被三棱锥�1 − ���外接球截得的截面圆面积为 .
【答案】
9�
8
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的处接球表面积及截面圆面积问题,属于较难题.
建立空间直角坐标系,利用向量坐标,可以证明�� ⊥ ��,取�为��中点,有�� = �� = �� = �1�,因此
点�为三棱锥�1 − ���外接球的球心,则� =
1
2 ��,球心�到平面�1���1的距离为 2ℎ =
1
4�1�,勾股定理可
得截面圆的半径为� = �2 − ℎ2,即得解.
【解答】
解:以点�为原点建立空间直角坐标系如图所示:
第 12页,共 18页
依题意得:� 0,2,0 ,� 1,2,1 ,� 0,1,2 ,
则�� = −1,0, − 1 ,�� = −1, − 1,1 ,
所以�� ⋅ �� = 1 + 0 − 1 = 0,则�� ⊥ ��;
设�为��中点,因为�� ⊥ ��则�� = �� = �� = �1�,
所以点�为三棱锥�1 − ���外接球的球心,则� =
1
2�� =
5
2 .
设球心�到平面�1���1的距离为ℎ,又因为�为��中点,所以点�到平面�1���1的距离为 2ℎ,
由于 2ℎ = 14�1� =
1
4 × 2 2 =
2
2 ,所以ℎ =
2
4 ,
故截面圆的半径为� = �2 − ℎ2 = 98,
所以截面圆面积为
9�
8.
故答案为:
9�
8.
四、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。
15.(本小题 12 分)
已知向量� ,� ,� 满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4,求� ⋅ � .
【答案】解:∵向量� ,� ,� 满足 2� + � = (0, − 5,10),� = (1, − 2, − 2),且� ⋅ � = 4,
(2� + � ) ⋅ � = 2� ·� + � ·� = (0, − 5,10)·(1, − 2, − 2) =− 10,
所以� ⋅ � =− 18.
可得:� ⋅ � =− 18.
【解析】本题考查了向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
由已知可得:(2� + � ) ⋅ � = 2� ·� + � ·� =− 10,即可得出.
16.(本小题 12 分)
如图,在正四棱锥� − ����中,�为底面中心,�� = �� = 3,�为��的中点,�� = 2�� .
第 13页,共 18页
(1)求证:��/ /平面���;
(2)求直线��到平面���的距离.
【答案】解:(1)证明:在正四棱锥� − ����中,连接��,则�为��的中点,且�� ⊥ ��,
由于�� ⊥平面����,��,�� ⊂平面����,
所以�� ⊥ ��,�� ⊥ ��,所以��,��,��两两垂直.
以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�轴、�轴、�轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
因为�� = 2�� ,故 E 为��靠近点�的三等分点,
由正四棱锥的性质可得,�� = ��,则�� = 3,
则�(3,0,0),�( − 3,0,0),�(0, − 3,0),�(0,3,0),�(0,0, 32 ),�(0,0,3),�(0,2,1),
所以�� = (0,3, 32 ),�� = (6,0,0),�� = ( − 3,2,1),
设平面���的法向量为� = (�, �, �),
则
� ⋅ �� = 6� = 0
� ⋅ �� =− 3� + 2� + � = 0
,取� = 1,则� = 0,� =− 2,
则� = (0,1, − 2)为平面���的一个法向量,
第 14页,共 18页
因为�� ⋅ � = 3 − 3 = 0,所以�� ⊥ � ,
又因为�� ⊄平面���,所以��/ /平面���.
(2)由(1)知��/ /平面���,
所以直线��到平面���的距离即为点�到平面���的距离.
由(1)知�� = (3,3,0),平面���的一个法向量为� = (0,1, − 2),
所以点�到平面���的距离� = |��
⋅� |
|� | =
3
5 =
3 5
5 ,
故直线��到平面���的距离为3 5
5
.
【解析】本题考查线面平行的向量表示,利用空间向量求线面的距离,属于中档题.
(1)建立空间直角坐标系,求出平面���的法向量� ,根据�� ⋅ � = 0,即可证明结论;
(2)由(1)知��/ /平面���,所以直线��到平面���的距离即为点�到平面���的距离,利用向量方法求
解即可.
17.(本小题 12 分)
如图,四棱锥� − ����的底面是正方形,�� ⊥底面����,�为��的中点,�� = 23��
,�� = �� = 2.
(1)证明:�� ⊥ ��;
(2)设平面��� ∩平面��� = �,求�与平面���所成角的正弦值.
【答案】解法一:(1) ∵ �� ⊥平面����,�� ⊥ ��,以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�,�,
�轴建立如图所示的空间直角坐标系� − ���,
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则 �(0,0,0),�( 43 , 0,
2
3 ),�(0,0,2),�(1,2,0),
所以�� = ( 43 , 0,
2
3 ),�� = (1,2, − 2),
所以�� ⋅ �� = 43 −
4
3 = 0,
所以�� ⊥ ��.
(2)由正方形����得,��/ /��,
∵ �� ⊂平面���,�� ⊄平面���,
∴ ��/ /平面���;
又∵ �� ⊂平面���,平面��� ∩平面��� = �,
∴ ��//�,
于是��与平面���所成的角即为�与平面���所成的角.
由(1)知,�� = ( 43 , 0,
2
3 ), ��
= (1,2,0)
设平面���的一个法向量� = (�, �, �),则 � ⋅ �� = 0
� ⋅ �� = 0
,即
4
3 � +
2
3 � = 0
� + 2� = 0
,
取� = 2,则� =− 1,� =− 4,
于是� = (2, − 1, − 4)是平面���的一个法向量,
因为�� = (0,2,0),设�与平面���所成角为�,
则���� = |cos < �� , � > | = 22 4+1+16 =
21
21
.
解法二:(1)依题意,将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�,
如图所示,取��的中点�,连接��,��,在正方形����1中,延长��交��1于�,则△ ���∽△ ���.
∴ ���� =
��
�� =
1
2,即�为��1的中点,
∴ �� ⊥ ��,即�� ⊥ ��,
∵ �� ⊥平面���,��//��,∴ �� ⊥平面���,又�� ⊂平面���,
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∴ �� ⊥ ��,又�� ∩ �� = �,��,�� ⊂平面���,∴ �� ⊥平面���.
∵ �� ⊂平面���.
∴ �� ⊥ ��.
(2)同解法一.
【解析】本题考查直线与平面垂直,直线与平面平行的判断定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查
空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题.
解法一:(1)以点�为坐标原点,��,��,��所在直线分别为�,�,�轴建立如图所示的空间直角坐标系� − ���,
通过�� ⋅ �� = 0,证明�� ⊥ ��.
(2)证明��/ /��,��/ /�,说明��与平面���所成的角即为�与平面���所成的角.求出平面���的
一个法向量,求出�� = (0,2,0),利用空间向量的数量积求解即可.
解法二:(1)取��的中点�,连接��,��,在正方形����1中,延长��交��1于�,则△ ���∽△ ���.证
明�� ⊥ ��,即�� ⊥ ��,推出��//��,得到�� ⊥平面���,证明�� ⊥平面���,推出�� ⊥ ��.
(2)同解法一.
18.(本小题 12 分)
如图所示,已知△ ���是边长为 6 的等边三角形,点�,�分别是边��,��的三等分点,且�� = 13��,�� =
1
3��,沿��将△ ���折起到△ �′��的位置,使∠�′�� = 90
∘.
(1)求证:�′� ⊥平面����;
(2)在线段��上是否存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 ,若存在,设��
=
��� (� > 0),求�的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明:因为∠�′�� = 90∘,所以�′� ⊥ ��,
在△ �′��中,�′� = �� = 13�� = 2,�′� = �� =
2
3 �� = 4,
由余弦定理得:��2 = �′�2 + �′�2 − 2�′� ⋅ �′�cos 60∘ = 4 + 16 − 2 × 2 × 4 × 12 = 12,
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所以�� = 2 3,则�′�2 +��2 = �′�2,
由勾股定理逆定理得:�′� ⊥ ��,
因为�� ∩�� = �,��,�� ⊂平面����,所以�′� ⊥平面����;
(2)由(1)可知��,��,��′两垂直,所以以�为原点,��,��,��′所在的直线分别为�, �, �轴,建立空间
直角坐标系,如图所示,
则�(0,0,0), �(0,2 3, 0), �(4,0,0), �′(0,0,2), �(1,3 3, 0),
所以�� = (0,2 3, 0), ��′ = (0,0,2), ��′ = (0, − 2 3, 2), �� = ( − 3,3 3, 0),
因为�� ⊥ ��,�� ⊥ �′�,�� ∩ ��′ = �,��,��′ ⊂平面�′��,
所以�� ⊥平面�′��,所以�� = (0,2 3, 0)为平面�′��的一个法向量,
假设线段��上存在点�,设�� = ��� � > 0 ,则�� = �( − 3,3 3, 0) = ( − 3�, 3 3�, 0),
所以�(4 − 3�, 3 3�, 0)(0 < � ≤ 1),所以�′� = (4 − 3�, 3 3�, − 2),
设平面�′��的法向量为� = (�, �, �),则
� ⋅ ��′ =− 2 3� + 2� = 0
� ⋅ �′� = (4 − 3�)� + 3 3�� − 2� = 0
,
令� = 3,则� = 2 3−3 3�4−3� , 1, 3 ,
因为平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913
所以 cos � , �� = � ⋅��
� ��
= 2 3
2 3⋅ 2 3−3 3�4−3�
2
+1+3
= 3913 ,
化简得 3(63�2 − 132� + 76) = 13(4 − 3�)2,18�2 − 21� + 5 = 0,解得� = 13或� =
5
6,
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所以在线段��上是存在点�,使平面�′��与平面�′��所成锐二面角的余弦值为 3913 ,
此时� = 13或� =
5
6.
【解析】本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题.
(1)用余弦定理求出��的长,进而用勾股定理逆定理得到�′� ⊥ ��,从而证明出线面垂直;
(2)建立空间直角坐标系,假设存在点�,设�� = ��� � > 0 ,�� = (0,2 3, 0)为平面�′��的一个法向
量,再求出平面�′��的法向量,用向量夹角公式求解出答案.
2023级高二第一学期数学统一作业4
姓名: 班级:
考场/座位号:
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚,并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不
留痕迹。
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时,必须用2B铅笔,并描浓。
4.在草稿纸、试题卷上答题无效。
5.请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
贴条形码区
(正面朝上,切勿贴出虚线方框)
正确填涂 缺考标记
客观题
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D]
7 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
填空题
12.
13.
14.
解答题
15.
16.
17.
18.