2024-2025学年人教版九年级上册数学期中模拟试题

九年级上册数学期中模拟试题 考试范围：第21章-第24.1章；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．方程x2＝5x的解是（　　） A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝0 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C+∠AOB＝75°，则∠AOB的大小为（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 4．如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合，连接BB'，则∠ABB′大小为（　　） A．56° B．57° C．62° D．72° （3题） （4题） （5题） （6题） （7题） 5．如图，一次函数y1＝mx+n与二次函数的图象交于B（2，0）和D（﹣4，6）两点，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．﹣4＜x＜0 B．0＜x＜2 C．﹣4＜x＜2 D．﹣4＜x＜6 6．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点B的坐标为，则点D的坐标为（　　） A．（2，1） B．（1，2） C． D． 7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解为（　　） A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝8 D．此方程无解 8．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，CD＝4，，分别以四边形的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．16π B． C． D． 9．直线y＝ax+b（a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到BF，连接CF，则CF长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． （10题） （12题） （13题） （14题） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数y＝x2﹣4x+3的图象的对称轴是直线 　 　． 12．如图，已知△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AC＝5cm，那么CE的长为 　 　cm． 13．如图，半圆的半径为4，将三角板30°角的顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则圆心到AB的距离为 　 　． 14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 　 　米． 15．如图，△ABC是等边三角形，点P为三角形内一点，连接PA、PB、PC，且PA＝2，PB＝1，，则阴影部分的面积为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（16分）用适当的方法求解下列方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x2+3x﹣1＝0； （3）x2＝6x﹣1； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）． 17．（7分）已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根x1，x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为12，求k的值． 18．（8分）如图，已知矩形ABCD的边AB经过圆心O，点E，F分别是边AB，CD与⊙O的交点，AE＝2，AD＝2，DF＝3，求⊙O的直径长． 19．（8分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 　 　，点C1的坐标 　 　； （2）把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）已知△A2B2C2与△ABC成中心对称，请直接写出对称中心的坐标． 20．（8分）某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出1000kg，售价每涨1元，月销售量就减少10kg． （1）写出月销售利润y（元）与售价x（元/kg）之间的函数表达式； （2）当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 21．（9分）△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE． （1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，∠BCE＝ 　 　；若AD与BE交于点F，则∠AFB＝ 　 　； （2）将图②中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：BE＝AD． 22．（9分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC延长线上一点，且CD平分∠ACE． （1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形； （2）如图②，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径． 23．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 选：B． 2．解：x2﹣5x＝0， x（x﹣5）＝0， x＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝0，x2＝5， 选：D． 3．解：由圆周角定理得， ∵∠C+∠AOB＝75° ∴， 解得，∠AOB＝50°， 选：A． 4．解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合， ∴∠BAB'＝56°，AB＝AB'， ∴∠ABB'＝∠AB'B＝（180°﹣56°）÷2＝62°； 选：C． 5．解：由题意，∵y1＜y2， ∴二次函数图象在一次函数y1＝mx+n的上方． ∵B（2，0），D（﹣4，6）， ∴当﹣4＜x＜2时，则y1＜y2． 选：C． 6．解：∵把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA， ∴点B与点D关于原点O对称， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为， 选：C． 7．解：∵ax2+bx+5＝0， ∴ax2+bx＝﹣5， 由图象可知，当x1＝x2＝3时，y＝﹣5， 选：B． 8．解：如图，连接BD， ∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∵CD＝4，， ∴， ∵AB＝AD，AB2+AD2＝BD2， ∴， ∴阴影部分的面积为 ， 选：B． 9．解：A、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+b的图象应该开口向上，A错误； B、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y＝ax2+b的图象的对称轴为x0，B错误； C、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y＝ax2+b的图象应该开口向下，对称轴为x0，C正确； D、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y＝ax2+b的图象应该开口向下，D错误； 选：C． 10．解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5， ∴AB＝2BC＝10，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴， ∴， 由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵BD＝BC＝5， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF， 当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2.5， ∴CF长的最小值是2.5， 选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：∵y＝x2﹣4x+3 ＝（x﹣2）2﹣1， ∴二次函数y＝x2﹣4x+3图象的对称轴是直线x＝2． 答案为：x＝2． 12．解：∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称， ∴△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE， ∵AC＝5cm， ∴CE＝AC+AE＝10cm， 答案为：10． 13．解：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C， ∵∠ADB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝60°， ∵OC⊥AB， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 答案为：． 14．解：建立坐标系，如图所示： 由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2， 把A（0，1.68）代入得： 4a+2＝1.68， 解得a＝﹣0.08， ∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2， 令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣3（舍）， ∴小丁此次投掷的成绩是7米． 答案为：7． 15．解：∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB，∠ABC＝60°， 如图，将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△BAP′，连接PP′， 由旋转的性质可得：S△BAP′＝S△BCP，BP＝BP′＝1，，∠PBP′＝60°， ∴△PBP′为等边三角形， ∴PP′＝1， ∵PP′2+AP2＝1+4＝5＝AP′2， ∴△APP′为直角三角形， 作BD⊥PP′于D，则，， ∴， 答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2+3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17， ∴x， ∴x1，x2． （3）x2＝6x﹣1， x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， x﹣3＝±2， 所以x1＝3+2，x2＝3﹣2； （4）（x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝5． 17．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴Δ≥0，即[﹣（k+2）]2﹣4×1k2≥0， 解得k≥﹣1； （2）∵方程的两个实数根x1，x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为12， ∴x1，x2＝12， ∴k2＝12， 解得k1＝4，k2＝﹣4（舍去）． 18．解：连接OF，作FG⊥AB于点G， ∵矩形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AGFD是矩形， ∴EG＝DF﹣AE＝3﹣2＝1， 设⊙O的半径是R， 则OF＝R，OG＝R﹣1， 在Rt△OFG中，OF2＝OG2+FG2， 即R2＝（R﹣1）2+22， 解得：， 则⊙O的直径是5． 19．解：（1）如图1，△A1B1C1为所求作的三角形； 根据图1可知，A1（3，0），C1（1，﹣1）， 答案为：（3，0）；（1，﹣1）； （2）如图2，△A2B2C2为所求作的三角形； （3）连接BB2、CC2，则BB2、CC2的交点即为对称中心，如图3， ∵B（﹣5，3），B2（5，1）， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为（0，2）． 20．解：（1）销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出1000kg，售价每涨1元，月销售量就减少10kg．由题意得： y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+1400x﹣40000； （2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000， 解得：x＝60或x＝80， 答：当售价定为60元或80元时，该商店月销售利润为8000元； （3）∵y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∴当x＝70时，利润最大为9000元． 答：当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元． 21．（1）解：∵△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°，CE＝CD． ∵点B、C、D在同一条直线上， ∴∠BCE+∠DCE＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝120°． ∵△ABC为等边三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60°， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC． ∴∠AFB＝∠ADB+∠DBE＝∠BEC+∠DBE＝∠ECD＝60°． 答案为：120°；60°． （2）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD． 在△BCE与△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD． 22．（1）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACD． ∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE＝∠ACD， ∵∠DCE＝60°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣60°×2＝60°＝∠ABD＝∠BAD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形． （2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，连接OB，OA， 由（1）知：∠BAD＝∠DCE＝∠ACD＝∠ABD， ∴DB＝DA， ∵AB＝10，BD＝13， ∴BG＝AG＝5， ∴DG12，DG垂直平分AB， ∵OB＝OA， ∴圆心O在AB的垂直平分线DG上， ∴OG⊥AB， 设⊙O的半径为r， ∴r2＝（12﹣r）2+52， 解得：， ∴⊙O的半径为． 23．解：（1）把B（5，0），C（0，5）代入y＝ax2﹣6x+c得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣6x+5； （2）△APC为直角三角形，理由如下： 由x2﹣6x+5＝0，得 x1＝1，x2＝5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线， ∴△APB为等腰三角形， ∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0）， ∴OB＝CO＝5， ∴∠ABP＝45°， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠ABP＝45°， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠APC＝180°﹣90°＝90°． ∴△APC为直角三角形． 第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $$