2024-2025学年高二数学上学期期中模拟检测四（新高考人教A版专用）

2024-2025高二上期中模拟检测四（2019人教A版） 检测范围：选择性必修一第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（22-23高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（23-24高三上·河南·开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2023·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二上·河北保定·期末）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 10．（21-22高二上·重庆·期末）对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 11．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·湖南长沙·一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为 . 13．（22-23高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 14．（22-23高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长. 16. (15分) （2022高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 17. (15分) （23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 18. (17分) （2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 19. (17分) （22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上期中模拟检测四（2019人教A版） 检测范围：选择性必修一第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（22-23高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．（22-23高二上·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（23-24高三上·河南·开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2023·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二上·河北保定·期末）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 10．（21-22高二上·重庆·期末）对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 11．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·湖南长沙·一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为 . 13．（22-23高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 14．（22-23高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长. 16. (15分) （2022高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 17. (15分) （23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 18. (17分) （2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 19. (17分) （22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C B A D B ABD BD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 2．D 【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解. 【详解】如图所示， ， 因为为的边上一动点， 所以直线斜率的变化范围是. 故选：D. 3．D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4．C 【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解. 【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为. 故选：C 5．B 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 6．A 【分析】设的焦距为，根据离心率可得，由可得点的坐标，在直角三角形中求出，再根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】设的焦距为，点，由的离心率为2可知， 因为，所以，将代入的方程得，即， 所以， 故． 故选:A． 7．D 【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围. 【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为， 则圆的方程， 设，由， 可得，整理得， 则圆与圆有公共点， 则， 即，解之得. 故选：D 8．B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 9．ABD 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D. 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A正确； 因为， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C错误； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以D正确. 故选：ABD 10．BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11．AD 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 12． 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元求出的最大值即可. 【详解】设椭圆，双曲线， 且设， 由椭圆的定义得①， 由双曲线的定义得②， 得，， 得，， 由余弦定理可得， 所以③， 设， 所以， 当即时，取最大值为. 故答案为：. 13． 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 14．/ 【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值. 【详解】连接交于点，平面，平面，则， 因为四边形为菱形，则， ，、平面，平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，， 设点，其中，则， 由已知可得， 因为，解得，即点， 设点，则， 因为，则，可得，且，可得， 所以，点， 因为平面，、平面，，， 且， 所以，. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）依题意设椭圆的方程为（），即可得到关于、、的方程组，解得、，即可得解； （2）首先得到直线的方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，最后利用弦长公式计算可得. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为（）， 则，解得，所以椭圆方程为. （2）依题意直线的方程为，设、， 由，消去整理得， 则，所以，， 所以.    16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 17．(1) (2)， 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角； （2）设，由空间向量法求异面直线所成的角得出，再由向量法求点面距． 【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. （2）设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 18．(1)； (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值； （2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标． 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即， 因为的面积为4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，． 当直线l斜率为0时，不适合题意； 当直线l斜率不为0时，设直线，设，， 由，得， 则，，， 因为直线PA，PB的斜率之和为， 所以，即， 所以，所以 ，整理得， 所以直线， 令，解之得，所以直线l过定点． 19．(1)证明见解析； (2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论. 【详解】（1） 取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$