精品解析：2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中（第2-6章）模拟试卷

2024−2025学年第一学期北师版九年级数学期中（第2−6章）模拟试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 3. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 4. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C. 4.5m D. 5m 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y（k≠0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，点的坐标为，对角线相交于点.双曲线经过点，交的延长线于点，则过点的双曲线表达式为（） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 小球在如图所示地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________． 12. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 13. 若关于方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为． （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． （2）顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 18. 为了解某校落实新课改精神情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”，“绘画类”，“舞蹈类”，“音乐类”，“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图． （1）参加音乐类活动的学生人数为________人，参加球类活动的人数的百分比为________； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校学生共1600人，那么参棋类活动的大约有多少人？ （4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用表示）和3位女生（分别，，表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率． 19. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． （1）当点P恰好为的中点时，___________． （2）当时，求出的长度； （3）若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 21. 如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B． （1）求a和k值； （2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD． ①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值． 22. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年第一学期北师版九年级数学期中（第2−6章）模拟试卷 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，其主视图是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】从正面看到的图形就是主视图，据此判断即可． 【详解】从正面看过去，可知组合体的上方是一个圆，圆下方是一个长方形，据此可知D项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了判断简单组合体的三视图的知识，掌握从正面看就可得到组合体的主视图是解答本题的关键． 2. 如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件设x=3k，y=2k，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴设x=3k，y=2k， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数k表示出x，y的值是解题关键． 3. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的概念，把代入一元二次方程求出a的值，再解一元二次方程即可． 【详解】解：2是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 一元二次方程为， 解得：， 另一个根的值是， 故选：． 4. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】因为 ，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，即可求得． 【详解】∵ ∴在每一象限内y随x的增大而减小 ∴1＜2 ∴当时，，当时， ∴ 故选B 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握k的值与反比例函数图像的关系是解题的关键． 5. 小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，弄清题意是解本题的关键．列表得出所有等可能的情况数，找出小王和小李同时参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种， 小王和小李同时参加的概率为， 故选：． 6. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C. 4.5m D. 5m 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m ∴ ，代入得： ∴m 故选：D 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y（k≠0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当k>0时，y=kx+k过一、二、三象限；y=过一、三象限； ②当k<0时，y=kx+k过二、三、四象限；y=过二、四象限． 观察图形可知，只有D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键． 8. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，，可证四边形是平行四边形，则，，，根据相似三角形的性质，边相等的关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，则，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判断和性质，相似三角形的判断和性质，掌握平行四边形的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，点的坐标为，对角线相交于点.双曲线经过点，交的延长线于点，则过点的双曲线表达式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由A点坐标可得菱形的边长，利用菱形面积可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，即可得出C点坐标，进而可求出AC中点D的坐标，代入双曲线解析式可得k的值，根据CF的长可得E点纵坐标，代入双曲线解析式即可求出E点的横坐标，即可得答案. 【详解】过点C作CF⊥x轴于点F， ∵OB•AC＝160，A点的坐标为（10，0）， ∴S菱形OABC=OA•CF＝OB•AC＝×160＝80，菱形OABC的边长为10， ∴CF＝8， 在Rt△OCF中， ∵OC＝10，CF＝8， ∴OF＝＝＝6， ∴C（6，8）， ∵点D是线段AC的中点， ∴D点坐标为（，），即（8，4）， ∵双曲线y＝（x＞0）经过D点， ∴4＝，即k＝32， ∴双曲线的解析式为：y＝（x＞0）， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，结合菱形的性质以及面积公式找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的解析式是关键． 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°． ∵BP=CQ， ∴AP=BQ． 在△DAP与△ABQ中，∵， ∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q． ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴， ∴AO2=OD•OP．故②正确； 在△CQF与△BPE中，∵， ∴△CQF≌△BPE， ∴S△CQF=S△BPE． ∵△DAP≌△ABQ， ∴S△DAP=S△ABQ， ∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4． ∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°， ∴△PBE∽△PAD， ∴， ∴BE， ∴QE， ∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°， ∴△QOE∽△POA， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停留在黑色区域的概率为：. 12. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 【答案】9 【解析】 【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，CDAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得AB=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 13. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故答案：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）用十字相乘法将原方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可； （2）移项后，利用提公因式法将方程因式分解得和，解这两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为． （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． （2）顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【答案】（1）作图见解析 （2） ； 【解析】 【分析】（1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 18. 为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”，“绘画类”，“舞蹈类”，“音乐类”，“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图． （1）参加音乐类活动的学生人数为________人，参加球类活动的人数的百分比为________； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校学生共1600人，那么参棋类活动的大约有多少人？ （4）该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生（用表示）和3位女生（分别，，表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）7，30%；（2）见解析；（3）280；（4） 【解析】 【分析】(1)先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数，用球类人数除以总人数可得其所占百分比 (2)根据以上所求结果可补全图形 (3)总人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得 (4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）总人数为（人）， 音乐类人数为（人）， 参加球类活动的人数为=12（人）， ∴参加球类活动的人数的百分比为， 故答案为：7，30%； （2）补全图形： （3）该校学生共1600人，则参棋类活动的大约有（人）； （4）列树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选中一男一女的有6种， ∴P（恰好选中一男一女）=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，求解出y的值，根据尽可能让顾客得到实惠取值即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 尽可能让顾客得到实惠， 该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 20. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使－边在上，其余两个顶点分别在上． （1）当点P恰好为中点时，___________． （2）当时，求出的长度； （3）若，则这个矩形的长、宽各是多少？ 【答案】（1） （2） （3）矩形的长，宽为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可； （3）设宽为，则长为，根据相似三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ，又 ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， 【小问3详解】 故设，则长为， 由题意知 ∵四边形为矩形， 故． 答：矩形的长，宽为． 21. 如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B． （1）求a和k的值； （2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD． ①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值． 【答案】（1）a＝4，k＝8 （2）①；②4或5 【解析】 【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）①先确定出点D(5，4)，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论； ②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC=CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论； Ⅱ、当BC=BD时，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上， ∴﹣2×0＋b＝8， ∴b＝8， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8， 将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a， ∴a＝4， ∴B(2，4)， 将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8； 【小问2详解】 解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8， ∴反比例函数解析式为y＝， 当m＝3时， ∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD， ∴D(2＋3，4)， 即：D(5，4)， ∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E， ∴E(5，)， ∴DE＝4﹣＝，EF＝， ∴＝＝； ②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD， ∴CD＝AB，AC＝BD＝m， ∵A(0，8)，B(2，4)， ∴C(m，8)，D(m＋2，4)， ∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形， ∴Ⅰ、当BC＝CD时， ∴BC＝AB， ∴点B在线段AC的垂直平分线上， ∴m＝2×2＝4， Ⅱ、当BC＝BD时， ∵B(2，4)，C(m，8)， ∴BC＝， ∴＝m， ∴m＝5， 即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 22. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$