1.6　利用三角函数测高 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 6　利用三角函数测高 1. 测量底部可以到达的物体的高度 ①如图，在测点C处安置测倾器，测得B的仰 角 ＝α； ②量出测点C到物体底部A的水平距离 ＝b； ∠BDE　 CA　 ③量出测倾器的高度 ＝a，然后求出物体AB的 高度为AE＋BE＝ ⁠. CD　 a＋btan α　 2. 测量底部不可以到达的物体的高度 ①如图，在测点M处安置测倾器，测得此时B的仰 角 ＝α； ②在测点M与物体之间的C处安置测倾器（M，C与A 在一条直线上，且M，C之间的距离可以直接测得）， 测得此时B的仰角 ＝β； ∠BNE　 ∠BDE　 ③量出测倾器的高度MN＝CD＝a，以及测点M，C之 间的距离MC＝b，然后求出物体AB的高度为AE＋BE ＝a＋ 　 ⁠. 题型一　测量底部可以到达的物体的高度问题 无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利 用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼 CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角 为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100 m，楼 AB的高度为10 m，从楼AB的A处测得楼CD的D处的 仰角为30°（点A，B，C，D，P在同一平面内）. （1）填空：∠APD的度数为 ，∠ADC的度数 为 ⁠； 75°　 60°　 （2）求楼CD的高度（结果保留根号）； 解：（2）如答案图，过点A作AE⊥CD于点E. 由题意可得AE＝BC＝100 m，EC＝AB＝10 m， 在Rt△AED中，∠DAE＝30°，∴DE＝ AE·tan 30°＝ m，∴CD＝DE＋EC ＝ m. （答案图） 答：楼CD的高度为 m. （3）求此时无人机距离地面BC的高度. 解：（3）如答案图，过点P作PG⊥BC于 点G，交AE于点F， 则∠PFA＝∠AED＝90°， FG＝AB＝10 m. ∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°. ∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE. ∵∠DAE＝30°，∴∠PAD＝30°. （答案图） ∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°. ∴∠ADP＝∠APD. ∴AP＝DA. ∴△APF≌△DAE. ∴PF＝AE＝100 m. ∴PG＝PF＋FG＝100＋10＝110（m）. 答：此时无人机距离地面BC的高度为110 m. （答案图） 跟踪训练 1. 如图，在离铁塔200 m的A处，用测倾仪测得塔顶B 的仰角为α，测倾仪高AD为1.5 m，则铁塔的高BC为 （　C　） A. （1.5＋200 sin α）m B. （1.5＋200 cos α）m C. （1.5＋200tan α）m D. m （第1题） C 2. 如图，山坡AB的坡度i＝1∶ ，AB＝10米，AE＝ 15米.在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测 量倒计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量倒计 时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高 度.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） （第2题） 解：如答案图，作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G. （答案图） 易知四边形BGEF为矩形， ∴BG＝EF，BF＝GE. 在Rt△ADE中，∠DAE＝60°， ∴DE＝AE·tan∠DAE＝15 米. ∵山坡AB的坡度i＝1∶ ，AB＝10米， ∴BG＝5米，AG＝5 米， ∴EF＝BG＝5米，BF＝AG＋AE ＝（5 ＋15）米. ∵∠CBF＝45°， ∴CF＝BF＝（5 ＋15）米， ∴CD＝CF＋EF－DE＝（20－10 ）米. 答：这块倒计时牌CD的高度为（20－10 ）米. （答案图） 题型二　测量底部不可以到达的物体的高度问题 （2024·成都七中）天府新区秦皇湖，有天府新区小 “泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该 中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国 古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚 洲最大单体木结构建筑.天府新区某学校开展综合实践 活动，测量该建筑物顶端到地面的高度. 如图，AB为建筑物，在地面观测点C处测得该建筑物 顶端A的仰角为45°，然后沿BC方向走6.5米到点D处， 即CD＝6.5米，在位于点D正上方的观光台点E处测得 建筑物顶端A的仰角为37°，已知DE＝3米，AB⊥BC， DE⊥BC，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到 地面的高度.（结果精确到1米；参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F. 由题意，得ED＝BF＝3米，EF＝BD， 设BC＝x米， 则EF＝BD＝CD＋BC＝（x＋6.5）米. 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC·tan 45°＝x米. 在Rt△AFE中，∠AEF＝37°， ∴AF＝EF·tan 37°≈0.75（x＋6.5）米， ∴0.75（x＋6.5）＋3＝x，解得x＝31.5， ∴AB＝31.5≈32（米）， 答：该建筑物顶端到地面的高度约为32米. 跟踪训练 3. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°.C，D，B 在同一水平线上，又知河宽CD为50 m，则山高AB为 （　C　） A. 50 m B. 25 m C. 25（ ＋1）m D. 75 m （第3题） C （第4题） 4. 如图，某测量小组为了测量山BC的高度， 在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿 着坡度为1∶ 的坡面AD走了200 m到达D 处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°， 则山BC的高度是 m. （结果保留根号） （100＋100 ）　 $$