1.5　三角函数的应用 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 1. 方位角：是从正北或正南方向到目标方向所形成的 大于或等于0度且小于或等于90度的角.通常表达成北 （南）偏东（西）××度，若正好为45度，则表示为东 北（或东南、西北、西南）方向；若正好为0度，则表 示正南（北）方向；若正好为90度，则表示正西（东） 方向. 如下图： ①OA方向可表示为 ⁠； ②OB方向可表示为 ⁠； ③OC方向可表示为 ⁠； ④OD方向可表示为 ⁠. 北偏东60°　 南偏东45°（或东南方向）　 正东方向　 南偏西20°　 2. 构造直角三角形解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形， 再转化为解直角三角形的问题； （2）根据已知条件的特点，适当选用锐角三角函数解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案，达到解决实际问题的目的. 题型一　与三角函数有关的方位角问题 五一假期期间，小明和小亮相约去游乐 场游玩，经勘测，激流勇进项目B 在游乐场 大门A 的南偏东30°方向400米处方向，过 山车项目C 在游乐场大门A 的北偏东45°方 向， 摩天轮项目D 在激流勇进项目B 的正东方 向，在过山车项目C 的南偏东31°方向. （1）求游乐场大门A 与过山车项目C 的距离（结果保 留根号）； 解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E. 由题意，得∠ACE＝45°， ∠ABC＝30°，AB＝400米. 在Rt△ABE中， AE＝AB· sin ∠ABE＝400· sin 30° ＝200（米）. 在Rt△ACE中， AC＝ ＝ ＝200 （米）， ∴游乐场大门A与过山车项目C的距离为200 米. （2）小明和小亮在游乐场门口A 汇合后，经商议，小 明沿路线A→B→D到激流勇进项目B游玩，小亮沿路 线A→C→D到过山车项目C游玩，最后两人在摩天轮 项目D集合，小明步行的速度是60米/分，在激流勇进排 队和乘坐项目用时27分钟，小亮步行的速度是70米/ 分，在过山车排队和乘坐项目用时30分钟，请问小明和 小亮谁先到达摩天轮项目D？（参考数据： sin31° ≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60， ≈1.41， ≈1.73，结果精确到0.1） 解：（2）在Rt△ABE中， BE＝AB· cos ∠ABE＝400· cos 30°＝200 （米）， 在Rt△ACE中，CE＝ ＝ ＝200（米）， ∴BC＝CE＋BE＝米. 在Rt△BCD中，BD＝BC·tan∠BCD＝（200＋ 200 ）·tan 31°≈327.6（米），CD＝ ≈ ≈634.9（米），∴小明到达摩 天轮项目D所需的时间约为 ＋27 ≈39.1（分钟），小亮到达摩天轮项目D 所需的时间约为 ＋30≈43.1（分钟）. ∵39.1＜43.1，∴小明先到达摩天轮项目D. 跟踪训练 1. 如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西 向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与 轮船相距52海里.若该轮船不改变航向，为航行安全， 需要计算A到OB的距离AC. 下列算法正确的是 （　A　） A. AC＝52 cos 64° B. AC＝ C. AC＝52 sin 64° D. AC＝52tan 64° （第1题） A 2. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在 点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛 相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北 偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 ⁠ 海里. （第2题） 20 　 3. 如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是 沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方 向，AC＝200 m.点E在点A的正北方向.点B，D在点 C的正北方向，BD＝100 m.点B在点A的北偏东30°方 向，点D在点E的东北方向.（参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （1）求步道DE的长度（精确到个位）； 解：（1）如答案图，过点D作DF⊥AE于点F， 由已知，得四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC＝200 m. ∵∠DEF＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形. ∴DE＝ DF＝200 ≈283（m）. （答案图） （2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取 水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D. 请计算说明她走哪一条路较近？ 解：（2）由（1）知△DEF是等腰直角 三角形，DE＝200 m， ∴EF＝DF＝200 m. ∵∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°. ∵AC＝200 m，∴AB＝2AC＝400 m， BC＝ ＝200 m. ∵BD＝100 m， ∴小红经过点B到达点D的路程为 AB＋BD＝400＋100＝500（m）， AF＝CD＝BC＋BD＝（200 ＋100）m， ∴AE＝AF－EF＝（200 ＋100）－200 ＝（200 －100）m. ∴小红经过点E到达点D的路程为 AE＋DE＝200 －100＋200 ≈529（m）. ∵529＞500， ∴她走经过点B到达点D这条路较近. 题型二　三角函数的综合应用 （2024·成都石室）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清 明、端午等节日进行的民间习俗活动，现在也深受儿童 的喜爱.如图所示，成都市某公园的秋千，秋千链子的 长度为3.2 m；当摆角∠AOC为30°时，座板离地面的 高度AM为1 m，当摆动至最高位置时，摆角∠BOC为 60°.求座板距地面的最大高度为多少米？（结果精确 到0.1 m，参考数据： ≈1.73） 解：如答案图，过点A作AD⊥ON，垂足为D，过点B 作BE⊥ON，垂足为E. （答案图） 由题意，得AM＝DN＝1 m，AO＝BO＝3.2 m， 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°， ∴AD＝AO· sin 30°＝1.6（m）， OD＝AO· cos 30°≈2.8（m）. （答案图） 在Rt△OBE中，∠BOE＝60°， ∴OE＝OB· cos 60°＝3.2× ＝1.6（m）， ∴EN＝OD＋DN－OE≈2.8＋1－1.6＝2.2（m）， ∴座板距地面的最大高度约为2.2 m. 跟踪训练 4. 如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在 司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的 上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC 的高度为0.5 m，AB的宽度为9 m，坡面的坡角为30°. （结果精确到 0.1 m，参考数据： ≈1.7） （1）根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度 CD； （第4题） 解：（1）由题意可得∠BAD＝30°， ∵AB＝9 m， ∴BD＝AB·tan∠BAD＝9× ＝3 （m）. ∴CD＝BD－BC＝3 －0.5≈4.6（m）. 答：入口处顶点C到坡面的铅直高度CD约为4.6 m. （2）图2中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离， 现已知某货车高度为3.9 m，请判断该车能否进入该车 库停车？　 解：（2）∵∠BAD＝30°，∴∠BDA＝60°. ∴CE＝CD· sin ∠CDE＝（3 －0.5） × ＝ － ≈4.1（m）. ∵4.1＞3.9， ∴该车能进入该车库停车. $$