1.4　解直角三角形 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 4　解直角三角形 1. 解直角三角形的概念 直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角，由 直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程叫 做解直角三角形. 2. 直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的 边分别为a，b，c. （1）三边之间的关系： ⁠. （2）锐角之间的关系： ⁠. a2＋b2＝c2　 ∠A＋∠B＝90°　 （3）边角之间的关系： sin A＝ ＝ cos B， cos A ＝ 　 　＝ sin B，tan A＝ 　 　＝ . （4）面积公式：S△ABC＝ 　 　ab＝ 　 　ch.（h为斜 边上的高） 　 　 　 　 　 3. 解直角三角形的一般解法 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，若已知其中 的两个元素（至少有一条边），就可以求出另外三个元 素，有如下四种类型： 在Rt△ABC中，∠C＝90° 已知 选择的边角关系 斜边和一 直角边 c，a 由 sin A＝ ，求∠A； ∠B＝90°－∠A；b＝ 两直角边 a，b 由tan A＝ ，求∠A； ∠B＝90°－∠A；c＝ 在Rt△ABC中，∠C＝90° 已知 选择的边角关系 斜边和一 锐角 c，∠A ∠B＝90°－∠A；a＝c· sin A； b＝c· cos A 一直角边 和一锐角 a，∠A ∠B＝90°－∠A；b＝ ； c＝ 注意：（1）在非直角三角形的问题中，往往是通过作 三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从 非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过 “补形”或“分割”的方法，构造直角三角形. （2）在选择边角关系时常遵循以下原则：①尽量选可 以直接用原始数据的关系式；②设法选择便于计算的关 系式，若能用乘法计算就避免用除法计算. 题型一　解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是 ∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角 形： （1）c＝8，∠A＝60°； （2）b＝2 ，c＝4. [分析]（1）已知一锐角A和一条斜边c，求另一锐角B 用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余 弦； （2）已知一直角边b和斜边c，求另一直角边a用勾股 定理，求两锐角分别用余弦和两锐角互余. 解：（1）∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵ sin A＝ ， ∴a＝c· sin A＝8× ＝4 . ∵ cos A＝ ，∴b＝c· cos A＝8× ＝4. （2）∵a2＋b2＝c2， ∴a＝ ＝ ＝2 . ∵ cos A＝ ＝ ＝ ，∴∠A＝45°. ∴∠B＝90°－∠A＝45°. [方法归纳] 在求解直角三角形中的未知元素时，首先要 分析出直角三角形中的已知元素，再根据已知元素利用 勾股定理、三角函数等知识进行求解. 跟踪训练 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝ ，b＝ ，则∠B等于（　A　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° A 2. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形： （1）a＝12，∠A＝60°； 解：（1）∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， ∴c＝ ＝8 ，b＝ ＝4 . （2）a＝6，b＝2 . 解：（2）c＝ ＝ ＝4 . ∵tan A＝ ＝ ，∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. 题型二　解直角三角形的应用 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D. 若AC＝ 3 ，∠C＝45°，tan B＝3，求BD的长. 解：在Rt△ADC中，AC＝3 ，∠C＝45°. ∵ sin C＝ ，∴AD＝AC· sin C＝3 × ＝3. 在Rt△ABD中，tan B＝ ＝3，∴BD＝1. 将一副直角三角板拼成如图1所示的四边形ABCD， 一边重合.若∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，连接 BD，则tan∠DBC＝ ⁠. 图1 　 [分析] 如图2，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， 设CD＝x，根据直角三角形的性质可得出BC＝AC＝ 2x，DE＝ x，CE＝ x，由tan∠DBC＝ 即可求 解. 图2 跟踪训练 3. 如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝ 2，则边AB的长为（　C　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 （第3题） C 4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上 一点，且满足∠DAB＝∠C. （1）求证：BA2＝BD·BC. （1）证明：∵∠B＝∠B， ∠DAB＝∠C， ∴△ABD∽△CBA， ∴ ＝ ， ∴BA2＝BD·BC. （2）若AB＝3，BC＝4，求tan∠DAC的值. （2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H. （第4题） ∵BA2＝BD·BC，AB＝3，BC＝4， ∴32＝4BD，∴BD＝ ， ∴CD＝BC－BD＝4－ ＝ . ∵AC＝ ＝5， ∴ sin C＝ ＝ ，即 ＝ ，∴HD＝ . 即 ＝ ，∴CH＝ ， ∴AH＝AC－CH＝5－ ＝ ， ∴tan∠DAC＝ ＝ . （第4题） $$