28.2.2　应用举例（第1课时） 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

28.2.2　应用举例 第1课时　应用举例(一) 仰角与俯角 测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做　 　,视线在水平线下方的角叫做　 　. 铅垂线:重力线方向的直线. 仰角 俯角 水平线:与铅垂线垂直的直线.一般情况下,地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线. 例:如图, ∠ BCA= ∠ DEB=90°,FB∥AC∥DE. (1)从A看B的仰角是　 ;  (2)从B看A的俯角是　 ;  (3)从B看D的俯角是　 ;  (4)从D看B的仰角是　 .  ∠BAC　 ∠FBA　 ∠FBD　 ∠BDE　 利用仰角、俯角解决实际问题 如图,明明在居民楼ABCD前面空旷的广场上放飞无人机.已知,居民楼高90米(AB=90米),明明站在广场上的点E处测得点A的仰角为45°,E,B,C在同一水平线上,然后,明明将无人机竖直向上飞到点F处,此时测得点A的俯角为30°.(不考虑明明的身高) (1)求无人机竖直飞行的高度;(结果保留根号) 解:(1)延长BA,交FM于点G,如答案图, 由题意,得∠AEB=45°,∠GFA=30°, ∠FEB=∠EBA=∠FGB=90°, ∴四边形EFGB是矩形,∴EF=GB,EB=FG. ∵∠AEB=45°,∠EBA=90°, ∴∠EAB=∠AEB=45°, ∴AB=BE=90米,∴EB=FG=90米. ∵∠GFA=30°,∠FGA=90°, ∴AG=FG×tan∠GFA=90×tan 30°=30(米), ∴EF=BG=AG+AB=(90+30)米. 答:无人机竖直飞行的高度为(90+30)米. (答案图) (2)若无人机到达点F处后,立即水平向右沿着射线FM的方向飞行,速度为3米/秒,请问,无人机在水平方向上飞行多少秒后会进入明明的视线盲区?(结果精确到0.1秒.参考数据:≈1.414,≈1.732) (2)延长EA,交FM于点N,如答案图, 结合图形可知,当无人机飞过N点后,即进入明明的视线盲区. 由(1)得,EF=(90+30)米, ∠EAB=∠AEB=45°,∠EFG=∠FEB=90°, (答案图) ∴∠FEA=45°, ∴∠FEA=∠FNA=45°, ∴FN=EF=(90+30)米, ∴飞行时间为:FN÷3=≈47.3(秒). 答:无人机在水平方向上飞行47.3秒后会进入明明的视线盲区. (答案图) 1.如图,距离地面高m米的点A处,用测倾仪测得树顶端C点的仰角为α,测得树底端D点的俯角为45°,则树的高CD为 (　 　) A.(m+mtan α)米 B.(m+mcos α)米 C.(m+msin α)米 D.米 A 2.如图,为了测量某风景区内一座古塔CD的高度,某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处测得古塔顶部C的仰角为45°和30°.已知高楼AB的高为24 m,则古塔CD的高度约是　 　m.(≈1.732,≈1.414,结果保留一位小数) 56.8 3.如图所示,在大楼AB的正前方有一斜坡CD(坡角∠DCE=45°),在它们之间有一片水域,现要测量大楼AB的高度.小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°;当热气球探测器竖直向上上升到点F处,测得楼顶点B处的仰角为30°.已知CD=30米,DF=60米,其中点A,C,E在同一直线上.(参考数据:≈1.414,≈1.732) (1)求斜坡CD的高度DE(精确到十分位); 解:(1)∵CD=30米,∠DCE=45°, ∠DEC=90°, ∴DE=CD·sin∠DCE=30×≈21.2(米). 答:斜坡CD的高度DE的长为21.2米. (2)求大楼AB的高度(精确到十分位). (2)如答案图,过点F作FG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点H. ∵∠FDH=∠DFG=90°, ∠BFG=30°,∠BDH=60°, ∴∠FDB=30°, ∠DFB=90°+30°=120°, ∴∠FBD=180°-120°-30° =30°, (答案图) ∴∠FDB=∠FBD=30°, ∴FD=FB=60米. 在△BFG中,∠BFG=30°,∠FGB=90°, ∴BG=FB=30米. ∵∠FDH=∠DFG=∠FGH=90°, ∴四边形DFGH是矩形, ∴FD=GH=60米. 同理可得,DE=AH=21.2米, ∴AB=BG+GH+AH=30+60+21.2=111.2(米). 答:大楼AB的高度为111.2米. (答案图) 如图,某校科技节当天,无人机兴趣小组在操场上展开活动,此时无人机在离地面30 m的点D处,操控者从点A处观测无人机D的仰角为30°,无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°,又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为64 m,点A,B,C,D都在同一平面上. (1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE;(结果保留根号) 解:(1)如图,过点C作CF⊥DE,垂足为F. 由题意,得CF=BE,BC=EF,AB=64 m,DE=30 m. 在Rt△ADE中,∠DAE=30°, ∴AE===30(m), ∴CF=BE=AB-AE=(64-30)m. ∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE为(64-30)m. (2)求教学楼BC的高度.(结果取整数) (参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) (2)在Rt△DCF中,∠DCF=∠GDC=37°, ∴DF=CF·tan 37°≈(64-30)×0.75 =m, ∴BC=EF=DE-DF=30- =-18≈21(m), ∴教学楼BC的高度约为21 m. 4.如图,某政府为了测量建在山上的信号塔BC的高度,先在附近一办公楼底端点D处测得信号塔BC的顶端点C的仰角为56°,然后在办公楼顶端点E处测得信号塔BC的底端点B的俯角为18°.若山高AB为60 m,办公楼DE的高为90 m,则信号塔BC的高度为　 　.(参考数据:tan 56°≈1.5,tan 18°≈0.3) 90 m 5.如图,在小山的东侧点A处有一热气球,由于受风力影响,它以20 m/min的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行,30 min后到达点C处,此时热气球上的人发现热气球与山顶点P及小山西侧的点B处在一条直线上,同时测得点B处的俯角为30°.在点A处测得山顶点P的仰角为60°,求小山的高度.(结果保留根号) 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,过点P作PE⊥AB于点E.由题意, 得∠ACD=75°-30°=45°,AC=20×30=600(m), 则AD=AC·sin∠ACD=600×=300(m). ∵∠DCF=∠B=30°,∴AB=2AD=600 m. 设PE=x m, ∵∠PAE=60°,∴AE=x m. ∵∠B=30°,∴BE=x m,∴x+x=600, 解得x=150,即PE=150 m. 答:小山的高度为150 m. $$