27.2.3　相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

第27章　相似 27.2　相似三角形 27.2.3　相似三角形应用举例 1. 利用相似测量物体的高度 （1）利用影长测量物体的高度 同一时刻的光线互相平行（∠ABC＝∠A'B'C'， ∠ACB＝∠A'C'B'）⇒△ABC∽△A'B'C'⇒ ＝ ⇒A'C'＝ . 知识导航 （2）利用镜子的反射测量物体的高度 反射角等于入射角（∠AEB＝∠CED，∠ABE＝ ∠CDE）⇒△ABE∽△CDE⇒ ＝ ⇒CD＝ . 知识导航 （3）利用标杆或直尺测量物体的高度 标杆与旗杆平行（CD∥EF）⇒△ACG∽△AEH⇒ ＝ ⇒EH＝ ⇒EF＝ EH＋AB. 知识导航 2. 利用相似测量物体的宽度 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离时，常常 构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解. 测量方法： 知识导航 （1）“X”形：如图1，分别测量出BE，CE和CD的 长，利用△ABE∽△DCE，得 ＝ ，则AB＝ ，从而计算出河流宽度AB. 知识导航 （2）“A”形：如图2，分别测量出AB， CD和BD的 长，利用△ABE∽△CDE，得 ＝ ＝ ，则DE ＝ ，从而计算出池塘宽度DE. 知识导航 3. 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤： （1）根据题意画出示意图； （2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的 已知线段、已知角； （3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未 知量； （4）写出答案. 知识导航 4. 常见的利用相似三角形解决实际问题的基本模型： 通过已知物体高度测量被测物体高度（深度） 测量河宽 知识导航 小孔成像 求影长变化 知识导航 题型一　利用相似测量高度 小红想测量学校教学大楼AB的高度.如图，在水平 地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20 m.当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从 镜子中看到教学大楼的顶端B. 已知她的眼睛距地面高 度DC＝1.6 m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度 （注：入射角＝反射角）. 典例导思 [分析] 利用入射角等于反射角，两个直角对应相等，得 出△ABE∽△CDE，再利用相似三角形的对应边成比例 求解. 典例导思 解：根据光的反射定律知： ∠BEA＝∠DEC. ∵∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴△BAE∽△DCE. ∴ ＝ . ∵AE＝20 m，CE＝2.5 m，DC＝1.6 m， ∴ ＝ .∴AB＝12.8 m. ∴大楼AB的高度为12.8 m. 典例导思 [方法总结] 利用相似测量高度问题，一般有三种方法， 一是利用影子构造相似三角形；二是利用平面镜，根据 入射角等于反射角，构造相似三角形；三是利用标杆构 造相似三角形. 典例导思 1. 如图，在同一时刻，身高1.6 m的小丽在阳 光下的影长为2.5 m，一棵大树的影长为5 m，则这棵树 的高度为（　C　） （第1题） A. 1.5 m B. 2.3 m C. 3.2 m D. 7.8 m C 典例导思 2. 如图，一条河宽40 m，两岸都高出水面1 m，岸边有 一棵大树，对岸的人要估测大树的高度，他先站在岸边 看到对岸大树在水中的像，当他从岸边后退超过6 m 时，就不能看到整个大树的像，若人的身高为1.5 m， 请估计大树的高度为 m. （第2题） 8　 典例导思 3. 九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆 的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗 杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝ 1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB 的高度为 m. （第3题） 13.5　 典例导思 题型二　利用相似测量宽度 如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河 岸点D处2 m远的点B处，立一根长为1 m的标杆AB， 在河对岸的岸边有一块高为2.5 m的安全警示牌MF， 警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN， 两岸均高出水平面1.25 m，即DE＝FP＝1.25 m.经测 量此时A，D，N三点在同一条直线上，并且点M， F，P，N共线，点B，D，F共线.若AB，DE，MF 均垂直于河面，则河宽EP是多少米？ 典例导思 解：如答案图，延长AB交PE的延长线于点H，设AN 与EP交于点O， （答案图） 易知四边形BDEH是矩形， 典例导思 ∴AH＝AB＋BH＝1＋1.25＝2.25（m）. ∵BD∥OH，∴△ABD∽△AHO， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴HO＝4.5 m，∴OE＝OH－HE＝2.5 m. ∵PM＝PN，MF＝2.5 m，FP＝1.25 m， ∴PN＝MF＋FP＝3.75（m）. ∴HE＝BD＝2 m，BH＝DE＝1.25 m，BD∥EH， 典例导思 即 ＝ ，∴PO＝7.5 m， ∴PE＝PO＋OE＝7.5＋2.5＝10（m）. 答：河宽EP是10 m. ∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥PN. ∴△AHO∽△NPO，∴ ＝ ， 典例导思 [方法总结] 利用相似测量宽度问题，一般有两种方法， 一是利用对顶角，构造“X”型相似三角形；二是利用 公共角，构造“A”型相似三角形. 典例导思 4. 如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目 标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线 上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b 的交点为R. 如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为（　C　） A. 40 m B. 60 m C. 120 m D. 180 m （第4题） C 典例导思 5. 如图，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算 河面上的桥AF的长.该桥两侧河岸平行，他们在河的对 岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B 和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC. 经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E 到河岸BC的距离为60米.已知AF⊥BC于点F，请你根 据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度. （第5题） 典例导思 解：如答案图所示，过点E作EG⊥BC于点G. （答案图） ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ . 典例导思 ∴AF∥EG. ∴△ACF∽△ECG. ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得AF＝80米. ∴桥AF的长度为80米. ∵AF⊥BC，EG⊥BC， 典例导思 $$