27.2.1　相似三角形的判定　第2课时　相似三角形的判定（二） 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

第27章　相似 27.2　相似三角形 27.2.1　相似三角形的判定　 第2课时　相似三角形的判定（二） 1. 相似三角形的判定定理2 三边 的两个三角形相似. 几何语言： 如图，在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ＝ ＝ 　 　， ∴△ABC∽△A'B'C'. 成比例　 　 知识导航 2. 相似三角形的判定定理3 两边 且夹角 的两个三角形相似. 几何语言： 如图，在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ＝ ， ⁠， ∴△ABC∽△A'B'C'. 成比例　 相等　 ∠A＝∠A'　 知识导航 注意：利用该判定定理时，相等的角必须是已知两组对 应边的夹角，否则两个三角形不一定相似. 知识导航 题型一　利用三边成比例判定两个三角形相似 如图，在大小为4×4的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，其中是相 似三角形的是（　C　） C A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 典例导思 [分析] 利用网格和勾股定理求出各三角形的边长，然后 利用“三边成比例的两个三角形相似”判断是否相似. [方法归纳] 解决网格内三角形相似问题的一般方法是用 勾股定理计算出三角形的三边，根据三组对应边的比是 否相等作判断. 典例导思 1. 在△ABC和△A'B'C'中，AB＝3 cm，BC＝6 cm， CA＝5 cm，A'B'＝3 cm，B'C'＝2.5 cm，A'C'＝1.5 cm，则下列说法中，错误的是（　B　） A. △ABC与△C'A'B'相似 B. AB与A'B'是对应边 C. △ABC与△C'A'B'的相似比为2∶1 D. AB与A'C'是对应边 B 典例导思 2. 如图，已知 ＝ ＝ ，∠BAD＝20°，∠DAE ＝60°，则∠DAC的度数为 ⁠. （第2题） 40°　 典例导思 3. 如图，四边形ABEG，GEFH，HFCD都是正方 形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角 形，并说明理由. （第3题） 典例导思 解：△AEF∽△CEA，相似比为 ，理由如下： 设正方形的边长为x， 由勾股定理，可得AE＝ x，AF＝ x， AC＝ x，且EF＝x，EC＝2x， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴△AEF∽△CEA，且相似比为 . 典例导思 题型二　利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形 相似 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝ 6，AE＝3，AC＝12. 典例导思 （1）求CD的长； （1）解：∵AE＝3，AC＝12， ∴CE＝AC－AE＝12－3＝9. ∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE， ∴ ＝ ， ∴CD＝ ＝ ＝18. 典例导思 （2）连接BC，求证：△ABE∽△ACB. （2）证明：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB. 典例导思 4. 如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC边上的 点，且满足 ＝ .根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了 下列结论：嘉嘉说，连接PQ，则PQ∥BC. 淇淇说， △AQP∽△ABC. 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正 确的是（　B　） A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 （第4题） B 典例导思 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O， 且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC＝ OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（　B　） A. ①与②相似 B. ①与③相似 C. ①与④相似 D. ②与④相似 （第5题） B 典例导思 6. 如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3， CF＝5，DE＝15，DF＝25. （1）求CE的长； （1）解：∵DE＝15， DF＝25.∠E＝90°， ∴EF＝ ＝20， ∴CE＝EF－CF＝15. （第6题） 典例导思 （2）求证：△ABC∽△DEF. （2）证明：∵BF＝3，CF＝5， ∴BC＝BF＋CF＝8. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ . 又∵∠B＝∠E＝90°， ∴△ABC∽△DEF. （第6题） 典例导思 7. 如图，在△ACB中，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点 P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2 cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运 动，速度是1 cm/s.当△CPQ与△CAB相似时，求运动 的时间. （第7题） 典例导思 解：设运动的时间为t s， ∵∠C＝∠C，运用相似三角形的判定定理3可得， ①当△CPQ∽△CAB时， ＝ ， 即 ＝ .解得t＝ ； 典例导思 ②当△CPQ∽△CBA时， ＝ ， 即 ＝ .解得t＝ . 综上所述，当△CPQ与△CAB相似时，运动时间为 s 或 s. 典例导思 $$