精品解析：山东省泰安市新泰市正德高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

新泰正德高中 高二数学2024年10月月考试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可． 【详解】由题意得： 直线，， ，，两直线为平行直线， 直线， 两平行直线之间的距离为． 故选：A 2. 已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算点到四条直线的距离，结合点相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案． 【详解】由题意，当到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点 的“相关直线” A ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”； B ，，直线为，所以点到直线的距离为，所以点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”； C ，，直线为，所以点到直线的距离为：，所以点到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”； D ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点使成立，不是点的“相关直线”． 故选：D． 【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题. 3. 已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题求得过且与圆相切的直线方程，即可判断命题关系 【详解】由题，圆是圆心为，半径为的圆， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线距离为1，不等于半径，与圆不相切不符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，化为一般式即， 则圆心到直线距离为，解得, 所以“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的充要条件, 故选：C. 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【详解】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 6. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 7. 在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由进行化简，由此确定正确答案. 【详解】如图所示，作，垂足为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设. 因为， 所以， 所以. 又因为，所以， 即，所以. 又AO⊥BC，故为等腰三角形. 故选：A 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、多项选择题 9. 已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（ ） A. B. 10 C. 5 D. 0 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】依题意可设， 则点P到直线的距离为， 解得或0， 故选：BD. 10. 圆与圆的公切线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 11. 已知，圆，，则（ ） A. 两圆可能外离 B. 两圆可能相交 C. 两圆可能内切 D. 两圆可能内含 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径； 则，， 当时，，两圆外离； 当时，，两圆相交； 当时，，两圆内切； 当时，，两圆外切； 综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含. 故选：ABC. 三、填空题 12. 直线l1：和l2：的交点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线方程解方程组即可. 【详解】解方程组得 所以两条直线交点的坐标为. 故答案为： 13. 已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 14. 是直线上的两点，，，且直线与直线成的角，则两点间的距离是____________． 【答案】5或 【解析】 【详解】, ,或 或 故答案为或． 四、解答题 15. 求下列方程（组）或不等式的解集. （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）因式分解法解高次方程. （2）用代入消元法解二元二次方程组. （3）解含有一个绝对值符号的不等式. （4）分式不等式的解法. 【小问1详解】 由 因为，所以或. 所以原方程的解集为：. 【小问2详解】 将代入得：， 整理得：，解得：或； 当时，；当时，. 所以原方程组的解集为： 【小问3详解】 由或或. 所以原不等式的解集为：. 【小问4详解】 由 所以. 所以原不等式的解集为： 16. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆的圆心在的欧拉线上，且满足，直线被圆截得的弦长为． （1）求的欧拉线的方程； （2）求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由重心坐标公式可求得重心，由垂直关系可分别求得边上的高线所在直线，联立可得垂心，由此可得所在直线方程，即为所求欧拉线方程； （2）设，由向量数量积坐标运算可构造方程求得的值，由此确定圆心坐标，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，根据垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的标准方程. 【小问1详解】 由坐标可得：重心，即； ，， 边的高线所在直线为；边的高线所在直线为，即； 由得：，即的垂心； ，则欧拉线方程为：，即. 【小问2详解】 设，圆的半径为，，， ，解得：或； 当时，，圆心到直线的距离， ，解得：， 圆的方程为：； 当时，，圆心到直线的距离， ，解得：， 圆的方程为：； 综上所述：圆的标准方程为：或. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1），距离最大值； （2）面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0. 【解析】 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【小问1详解】 已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值． ∵， ∴的斜率为，得，解得； 【小问2详解】 若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点， 则设直线为，，则，， ． （当且仅当时，取“=”）， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，，，，点E在BC上，且． （1）证明：平面APE； （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为，，， 所以，， 因为，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为，，， 所以，， 取BC的中点，则，且， 所以点A到BC的最短距离为3， 因为，所以点E，重合，， 因为，平面APE，平面APE，所以平面APE， 因为在平行四边形ABCD中，，所以平面APE． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，，证明平面APE，又，得证平面APE． （2）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，PB，PC，PA两两垂直， 以点P为坐标原点，PB，PC，PA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面PCD的法向量为，则有得 取，则，得， 设直线AE与平面PCD所成角为， 则， 所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰正德高中 高二数学2024年10月月考试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l经过点，则“直线l的斜率为”是“直线l与圆C：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 6. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（ ） A. B. 10 C. 5 D. 0 10. 圆与圆的公切线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，圆，，则（ ） A. 两圆可能外离 B. 两圆可能相交 C. 两圆可能内切 D. 两圆可能内含 三、填空题 12. 直线l1：和l2：的交点的坐标为________． 13. 已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 14. 是直线上的两点，，，且直线与直线成的角，则两点间的距离是____________． 四、解答题 15. 求下列方程（组）或不等式的解集. （1） （2） （3） （4） 16. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆的圆心在的欧拉线上，且满足，直线被圆截得的弦长为． （1）求的欧拉线的方程； （2）求圆的标准方程． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，，，，点E在BC上，且． （1）证明：平面APE； （2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $