精品解析：山东省泰安市新泰市弘文中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

弘文中学2024-2025学年度期中学情检测 高二数学试题 一、选择题 1. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知圆：，点，，在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 6. 已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（ ） A. B. C. =16 D. 8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线 与圆 的大致图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______． 13. 已知是方程组的解，则方程组的解是______． 14. 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知圆：. （1）若直线过定点且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的最小值. 16. 如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角. （1）求证：平面； （2）若，二面角的正弦值为，求的值. 17. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘文中学2024-2025学年度期中学情检测 高二数学试题 一、选择题 1. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 2. 若圆与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论: 当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为. ①当两圆外切时，有，此时. ②当两圆内切时，有，此时. 综上，当时两圆外切；当时两圆内切. 故选：C 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题. 3. 已知圆：，点，，在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造圆：，由条件可得圆与圆相切或相交，列出不等式，即可得到结果. 【详解】 如图，构造圆：，当圆与圆有且仅有一个公共点时，， 即圆与圆的关系可以为相切或相交，所以，解得. 故选：C 4. 已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围. 【详解】由圆，设圆心且半径， 由圆，设圆心且半径，由， 所以时，两圆相交，则， 故选：C. 5. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 6. 已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可. 【详解】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离， 所以的最小值为. 故选：B 7. 以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（ ） A. B. C. =16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2， 则，，，设， ，， 则直线DE与直线AF所成角的余弦值， 而，故，， 故选： C. 二、多项选择题 9. 已知平面上一点，若直线上存在点P使，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别计算点M到四条直线的距离,结合点M相关直线的定义，即可得到答案. 【详解】对于A，,直线为,所以点到直线的距离为:, 即点到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点使成立.故A错误， 对于B，,直线为,所以点到直线的距离为, 所以点到直线的最小值距离小于4, 所以直线上存在点使成立.故B正确， 对于C，,直线为,所以点到直线的距离为:, 所以点到直线的最小值距离等于4, 所以直线上存在点使成立，故C正确， 对于D，,直线为,所以点到直线的距离为:, 即点到直线的最小值距离大于4, 所以直线上不存在点使成立.故D错误， 故选：BC. 10. 已知圆：，圆：（）交于不同的，两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的公共弦所在直线方程可判定A，D，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定B，C. 【详解】圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：， 即，分别把点，两点坐标代入 得：，， 上面两式相减得：， 即，所以选项A正确； 由上得：，所以选项D正确； ∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有，， 变形可得，，故C正确，B错误. 故选：ACD 11. 直线 与圆 的大致图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据每个选项的直线的斜截式方程可以判断出的正负性，再判断圆心的位置即可. 【详解】A：直线不经过第四象限，所以，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确； B：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确； C：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令， 得或，因为， 所以，因此本选项可能正确； D：直线不经过第二象限，所以，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令， 得或，因为， 所以，因此本选项不可能正确， 故选：AC 三、填空题 12. 在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 即直线的倾斜角为. 故答案为： 13. 已知是方程组的解，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个方程组之间的关系，观察可得出方程组的解. 【详解】由题意，代入方程组可得， 所以当时，代入方程组， 可得，成立， 所以方程组的解是， 故答案为： 14. 平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案． 【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知圆：. （1）若直线过定点且与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，求的最小值. 【答案】（1）直线的方程为和. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由条件可得当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小，再由弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 已知圆心，半径， 当直线斜率存在时，设直，即， 圆心到直线的距离为，解方程可得， 此时直线方程为，整理得. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意. 所以直线的方程为和. 【小问2详解】 直线的方程可化为点斜式，所以l过定点. 又点在圆C内，当直线l与直线垂直时，直线l被圆截得的弦最小. 因为，所以l的斜率， 所以l的方程为，即， 因为，， 此时 所以当时，的最小值为. 16. 如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角. （1）求证：平面； （2）若，二面角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：在平面内取点E，过E作直线，由于二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面，故； 同理过E作直线，由于二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面，故； 由于不平行，故不重合，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）在平面内取点E，过E作直线，，根据面垂直的性质可证明，，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得，可以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 二面角的正弦值为，故其余弦值的绝对值为， 即，即，解得， 故. 17. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，所以， 又且，平面，所以平面， 且平面，故，同理，， 平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 在平面中， 设平面的一个法向量为， 则，可取 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则 故所求的夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在四棱锥中，底面为矩形，则， 由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质及面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由，得，令， 则有，即，， ，由平面，得存在实数使， 即，解得，， ， 设平面的法向量，则，令，， 设平面的法向量，则，令，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明:因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 而底面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又因为，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示， 过作圆柱的母线，连接， 因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小， 因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径， 因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为为上底面的直径，所以，而平面， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 又因为在底面射影为，所以，， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面，平面，所以， 所以, 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $