第3章 勾股定理 单元测试题 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八上数学 第3章 勾股定理 单元测试题 直角三角形的三边长分别为 ，，，则 的值有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 下列条件中，不能判断 是直角三角形的是 A． B． C． D． 在 中，，，，则点 到 的距离是 A． B． C． D． 下列各组数中是勾股数的是 A． ，， B． ，， C． ，， D． ，， 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边的长为 ，较短直角边的长为 ，大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 可以表示为 A． B． C． D． 图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 A． B． C． D． 如图，长方形 中，点 在边 上，将长方形 沿直线 折叠，点 恰好落在边 上的点 处，若 ，，则 的长是 A． B． C． D． 如图， 中，，，， 是 的平分线，若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 A． B． C． D． 如图，在 中，，点 在边 上，， 平分 交 于点 ．若 ，，则 的长为 ． 在 中，，若 ，，则 的长是 ． 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设 步为 米），却踩伤了花草． 已知直角三角形的两条直角边长为 ，，那么斜边上的中线长是 ． 已知 ，， 是 的三边长，且满足关系式 ，则 的形状为 ． 已知一直角三角形木板的三边长的平方和为 ，则斜边长为 ． 利用图①②中两个图形的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，其数学表达式是 ． 如图，在离水面高度为 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为 米，几分钟后船到达点 的位置，此时绳子 的长为 米，则船向岸边移动了 米． 如图，圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径为 ． 《九章算术》提供了许多整勾股数，如 ，，， 等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 是大于 的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数；若 是大于 的偶数，把它除以 后再平方，然后把这个平方数分别减 ，加 得到两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由 生成的勾股数”．若“由 生成的勾股数”的“弦数”记为 ，“由 生成的勾股数”的“弦数”记为 ，则 ． 如图，已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，且 ，． (1) 求证： 是直角三角形； (2) 求 的长． 如图，在 ，，，，． (1) 求 的长和 的长． (2) 点 从点 出发，以每秒 的速度沿 运动，运动到点 时停止，设运动时间为 秒，当 为何值时， 的面积为 ？ 满足 的三个正整数，称为勾股数． (1) 请把下列三组勾股数补充完整： ① ，，；② ， ，； ③ ，， ； (2) 小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数中，都有一个数是偶数，如果将它写成 ，那么另外两个数可以写成 ，，如 ，，．请你帮小敏证明这三个数 ，， 是勾股数； (3) 如果 ，， 是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求 的值． 如图，在 中， 为 的中点，，，．试判断 与 的位置关系． 如图，在 港有甲、乙两艘渔船同时航行，若甲船沿北偏东 方向以 千米/时的速度前进，乙船沿南偏东某方向以 千米/时的速度前进， 小时后甲船到达 岛，乙船到达 岛，两岛相距 千米，你知道乙船沿哪个方向航行吗？ 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．已知 ，，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长． 回答下列问题： (1) 【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式， 年 月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图①所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为 ，，斜边长为 ． （）图中阴影部分的小正方形的边长可表示为 ； （）图中阴影部分的小正方形的面积用两种方法可分别表示为 ， ； （）你能得出的 ，， 之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）； （）一直角三角形的两条直角边长为 和 ，则其斜边长为 ； (2) 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图②是棱长为 的正方体，被如图所示的分割线分成 块． （）用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ； （）已知 ，，利用上面的规律求 的值． 答案 1. 【答案】B 2. 【答案】D 3. 【答案】A 4. 【答案】B 5. 【答案】C 6. 【答案】A 7. 【答案】A 8. 【答案】B 9. 【答案】 10. 【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】等腰直角三角形 14. 【答案】 15. 【答案】勾股定理 ； 16. 【答案】 17. 【答案】 18. 【答案】 19. 【答案】 (1) ，，， ， 为直角三角形． (2) 设 的长为 ， 是等腰三角形， ． ， ． 解得 ， ． 20. 【答案】 (1) 因为 ，，， 所以 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． (2) 当点 在线段 上时，， 所以 ， 此时 ． 当点 在线段 上时，， 所以 ， 所以 ， 此时 ， 所以当 为 或 时， 的面积为 ． 21. 【答案】 (1) ；； (2) ， ， ， ，， 是勾股数． (3) 把 ，， 分别除以 ，得 ，，， 偶数 ，，， ，， ． 22. 【答案】 ． 理由如下： 延长 至点 ，使得 ，连接 ， 为 的中点， ． 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 23. 【答案】由题意知， 千米， 千米， 在 中，， ， ， 是直角三角形， ， ， 乙船沿南偏东 方向航行． 24. 【答案】根据题意，得 ，， ， ， ，即 ， ， ， 这个风车的外围周长是 ． 25. 【答案】 (1) （）； （）；； （）； （） (2) （）； （）因为 ，，， 所以 ． 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$