第五章第04讲 解题技巧专题：二元一次方程组中含参数问题（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第04讲 难点探究专题：二元一次方程组中含参数问题 (5类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 1 【考点二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 3 【考点三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 5 【考点四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 8 【考点五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 12 【考点一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）若是二元一次方程，则 ， 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 【答案】 3 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且， 即①且②， ①②，得， ， 把代入①，， ． 故答案为：3，0． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程， ． 【答案】3 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑． 【详解】根据题意，得且． 解得或者，且． 所以． 故答案是：． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，有理数的乘方，掌握二元一次方程的含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ，，， ，， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得，，即可求解． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，且， ∴，且， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 【答案】1或2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当，即：时，此时方程化为：，为二元一次方程，满足题意； 当，即：时，则：， 解得：或， 当时，方程转化为：，即：，为二元一次方程，满足题意； 当时，方程转化为：，即：，为一元一次方程，不满足题意，舍去； 综上：或； 故答案为：1或2． 【考点二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：2． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入，得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，根据二元一次方程解的定义得到，再利用整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将代入二元一次方程得，然后将分解因式，利用整体代入法即可求解． 本题考查了二元一次方程的解，以及用整体代入法求代数式的值．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为： 4．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入，得 故答案为：4． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】23 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，把代入方程得，，再根据，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：23． 【考点三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于m，n的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入方程组，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把，的值代入方程组进行计算，求出，的值，然后再代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中得： ， 解得：， ， 故答案为：10． 4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解，以及式子的值，求代数式的值，把代入方程组，由①②得，由①②得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 由①②得：， 即， ∴， 由①②得： 即， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 【考点四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的情况求参数，所给两个方程作差可得，进而得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得：， ， ， 解得， 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组的解互为相反数． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、相反数的定义 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组的解即可求出的值． 【详解】解：由题意得，把代入方程得， 整理得， 把②代入①，得 ， ∴时，原方程组的解互为相反数， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相加，根据方程组的解的情况得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 4．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组， （1）若，互为相反数，则 ； （2）若，满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，幂的乘方和同底数幂的乘法，有理数的乘方，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）根据，互为相反数即可求出的值； （2）先解方程求出，，由可得，进而求出，再代入即可求解． 【详解】解：（1），互为相反数， ， 即， 解得：， 故答案为：； （2）由， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 【考点五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得： ∵关于、的方程组的解为整数， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 【答案】4 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程解的定义．先利用加减消元法消去，求出，根据为正整数和方程组有整数解，列出关于的方程，求出的值，再把求的代入②求出，最后根据也是整数，对的值进行取舍，然后解答后即可． 【详解】解：， ①②得：， 是正整数， 或， 解得：或7， 把代入②得：， 把代入得， 把代入得， 已知二元一次方程组有整数解， 不符合题意舍去， ， ， 故答案为：4． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最小整数值，则有最小整数值， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 5．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 难点探究专题：二元一次方程组中含参数问题 (5类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 1 【考点二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 3 【考点三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 5 【考点四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 8 【考点五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 12 【考点一 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·四川南充·期中）若是二元一次方程，则 ， 【变式训练】 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）当方程是二元一次方程时，则 ， ． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程， ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）若方程是二元一次方程，则的值为 ． 5．（23-24七年级下·江西上饶·期末）若关于的方程是二元一次方程，则整数m的值为 【考点二 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·吉林·期末）若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是方程的一个解，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知是方程的解，则代数式的值为 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 4．（23-24七年级下·广东珠海·期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则代数式的值为 ． 5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【考点三 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）已知方程组 的解是，则m，n的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）若是方程组的解，则的值为 ． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【考点四 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）若方程组 的解满足，则等于 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）当 时，方程组的解互为相反数． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知关于x，y的方程组的解的和是k，则 ． 3．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组， （1）若，互为相反数，则 ； （2）若，满足，则 ． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【考点五 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值】 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏南通·期中）a为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则 ． 2．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）． （1） （用含p的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（q为整数，且q不等于0或）的解，p也是整数，则q的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 4．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 5．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$