26.2　实际问题与反比例函数 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级下册

第26章　反比例函数 26.2　实际问题与反比例函数 1. 反比例函数实际问题的特点 实际问题中存在三个数量：两个变量和一个常量，且两 个变量的乘积恰好等于常量时，则可建立反比例函数模 型解决问题. 常见的与实际相关的反比例关系： （1）面积一定时，矩形的长与 （三角形的一边 长与这条边上的 ）成反比例； （2）体积一定时，柱（锥）体的 ⁠与高成反 比例； 宽　 高　 底面积　 知识导航 （3）工作总量一定时，工作效率与 ⁠成反 比例； （4）总价一定时，单价与商品的件数成反比例； （5） 一定时，平均速度与所用时间成反比例. 工作时间　 路程　 知识导航 2. 解决反比例函数实际问题的步骤 （1）在审题的基础上，设出所求的函数关系式； （2）从题中寻找一对变量的值，把它作为点的坐标， 代入所设的函数关系式，求出常量； （3）写出所求的函数关系式，并注意自变量的取值 范围. 知识导航 3. 解决反比例函数实际问题的关键 建立数学模型，列出符合题意的反比例函数关系式，然 后根据函数的性质，结合方程（组）、不等式（组）及 图象信息求解. 知识导航 4. 物理学中常见的反比例函数关系 （1）当压力F一定时，压强p与物体的受力面积S成反 比例函数关系，可写成 ⁠； （2）当蓄电池的电压U为定值时，电流I与电阻R成反 比例函数关系，可写成 ⁠； （3）当物体的质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例 函数关系，可写成 ⁠. p＝ 　 I＝ 　 ρ＝ 　 知识导航 题型一　利用反比例函数解决实际问题 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜 片焦距x（m）的对应数据如表： 镜片焦距x（m） 1.00 0.50 0.25 0.20 0.10 近视眼镜的 度数y（度） 100 200 400 500 1 000 典例导思 （1）请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与 镜片焦距x的关系； （2）小高同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习 惯，有效抑制近视度数增长.一年来他的近视眼镜的度 数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜 的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少？ 典例导思 [分析] （1）根据表格中两个变量的对应值，探索两个 变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式；（2） 分别求出当y＝150和y＝175时对应的x的值，由此可解 答此题. 解：（1）由表格中两个变量的对应值可得， 100×1.00＝200×0.50＝400×0.25＝500×0.20＝ 1 000×0.10＝100， ∴y与x成反比例函数关系. ∴y与x的函数关系式为y＝ . 典例导思 （2）当y＝150时，x＝ ＝ ； 当y＝175时，x＝ ＝ . ∵ － ＝ （m）， ∴他所佩戴眼镜的镜片焦距减少了，减少了 m. 典例导思 1. 某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销 售时售货员发现坚果的日销售量和每斤的利润正好成反 比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销售量为80 斤，那么该坚果的日销售量y（斤）与每斤价格x （元）之间的函数表达式为 ⁠. y＝ （x＞30）　 典例导思 2. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的 残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏 晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗 时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水 （约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗 后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣 服中残留的洗衣粉还有2克. 典例导思 （1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留 量y与漂洗次数x的函数关系式； 解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗 次数的函数关系式分别为y1＝ ，y2＝ ， 将和分别代入两个关系式，得 1.5＝ ，2＝ ，解得k1＝1.5，k2＝2. 典例导思 ∴小红衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式 是y1＝ ，小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的 函数关系式是y2＝ . 典例导思 （2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗 干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更 值得提倡？为什么？ 解：（2）把y＝0.5分别代入两个函数，得 ＝0.5， ＝0.5，解得x1＝3，x2＝4， 10×3＝30（升），5×4＝20（升）. ∵30＞20，∴小敏的漂洗方法更值得提倡. 答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的漂洗方 法更值得提倡. 典例导思 题型二　反比例函数图象在实际生活中的应用 某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说 明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg） 与药物点燃后的时间x（min） 成正比例关系，药物燃 尽后，y与x成反比例关系（如图）.已知药物点燃8 min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6 mg. 典例导思 （1）分别求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间函数 的表达式； 解：（1）设药物燃烧时，y关于x的函 数表达式是y＝kx（k≠0）， 将点（8，6）代入，得k＝ ， ∴药物燃烧时，y关于x的函数表达式是 y＝ x， 其中0≤x≤8； 典例导思 设药物燃尽后，y关于x的函数表达式是y＝ ， 把点（8，6）代入，得m＝48， ∴药物燃尽后，y关于x的函数表达式是y＝ ， 其中x＞8. 典例导思 （2）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药 量低于1.6 mg时，对人体是安全的，那么从开始药薰， 至少需要经过多长时间后，学生才能进教室？ 解：（2）当x＞8，y＝1.6时，代入 y＝ ，得x＝30. 答：至少需要经过 30 min后，学生才能 进教室. 典例导思 （3）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药 量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀 灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 解：（3）此次灭蚊有效.理由如下： 将y＝3分别代入y＝ x，y＝ ， 得x＝4和x＝16， 则持续时间是16－4＝12（min）＞10 min， ∴此次灭蚊有效. 典例导思 3. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　C　） A. 4月份的利润为50万元 B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D. 9月份该厂利润达到200万元 （第3题） C 典例导思 4. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降.水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： （第4题） 典例导思 （1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的 函数关系式； 解：（1）当0≤x≤8时， 设y＝k1x＋b， 将（0，20），（8，100）分别代 入y＝k1x＋b， 得解得 （第4题） 典例导思 ∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20. 当8＜x≤a时，设y＝ ， 将（8，100）代入y＝ ，得k2＝800. ∴当8＜x≤a时，y＝ . 综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20； 当8＜x≤a时，y＝ . 典例导思 （2）求出图中a的值； 解：（2）将y＝20代入y＝ ， 解得x＝40，即a＝40. （第4题） 典例导思 解：（3）将y＝40代入y＝10x＋20，得x＝2； 将y＝40代入y＝ ，得x＝20. ∴要想喝到不低于40 ℃的水，x 需满足2≤x≤20， 即李老师要在7：32到7：50之间接水. （第4题） （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想 在8：10上课前喝到不低于40 ℃的水，则他需要在什么 时间段内接水？ 典例导思 题型三　反比例函数在物理中的应用 如图，取一根长1 m的质地均匀的木杆，用细绳绑 在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中 点30 cm处挂一个重9.8 N的物体，在中点O右侧用一个 弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O 的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位： N，精确到0.1 N）有什么变化.小慧在做此活动时，得 到下表的数据： 典例导思 L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 F/N 58.8 60.2 19.6 14.7 11.8 9.8 8.4 7.4 结果老师发现其中有一个数据明显有错误. （1）你认为当L＝ cm时所对应的F数据是明显 错误的； 10　 典例导思 （2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函 数关系式； 解：（2）根据杠杆原理知F·L＝30×9.8. ∴F与L的函数关系式为F＝ . 典例导思 （3）若弹簧秤的最大量程是60 N，求L的取值范围. 解：（3）当F＝60 N时，由F＝ ，得L＝4.9 cm， 根据反比例函数的图象与性质可得L≥4.9 cm. 由题意可知L≤50 cm， ∴L的取值范围是4.9 cm≤L≤50 cm. 典例导思 5. 如果100 N的压力F作用于物体上，产生的压强p （Pa）要大于1 000 Pa，则下列关于物体受力面积S （m2）的说法正确的是（　A　） A. S小于0.1 m2 B. S大于0.1 m2 C. S小于10 m2 D. S大于10 m2 A 典例导思 6. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它 的电阻R（单位：kΩ）随温度t（单位：℃）（在一定 范围内）变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料 的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温 度成反比例函数关系，且在温度达到30 ℃时，电阻下 降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 1 ℃，电阻增加 kΩ. （第6题） 典例导思 解：（1）当10≤t≤30时，可设R和t之 间的函数解析式为R＝ （k≠0）， 将点（10，6）代入上式中，得6＝ ， 解得k＝60. 故当10≤t≤30时，函数解析式为 R＝ . （第6题） （1）写出当10≤t≤30时，R和t之间的函数解析式； 典例导思 （2）求温度在30 ℃时，电阻R的值，并求出当t≥30 时，R和t之间的函数解析式； 解：（2）将t＝30代入R＝ 中， 得R＝ ＝2（kΩ）. ∴温度在30 ℃时，电阻R的值为2 kΩ. 由题意知，当t≥30时， R＝2＋ （t－30）＝ t－6. （第6题） 典例导思 （3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内 时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？ 解：（3）把R＝6代入R＝ t－6中，得 t＝45. ∴温度在10 ℃～45 ℃时，发热材料的电 阻不超过6 kΩ. （第6题） 典例导思 $$